陶哲轩无与伦比的头脑

1、  陶哲轩无与伦比的头脑今年四月的一天，加州大学洛杉矶分校一间不起眼的办 公室外面，学生们迈着悠闲的步子，而在办公室里面，数学 家陶哲轩正思忖着水是否会自发爆炸。他告诉我，一组被广 泛运用的方程描述了流体(比如水)的特性，但这些方程好 像不能解释为什么不规则的涡流没有自发内收，进而收紧成 为一个激烈漩涡，直到漩涡中心的能量密度增至无限大，成 为一个灾难性的“奇点”。某人往大学教工中心旁的喷泉投掷 一美分，或是在圣莫妮卡( Santa Monica )沙滩用一块石头 打水漂都可能导致连锁反应，甚至进而掀翻整个南加州。 但这不太可能发生，“不过没人能准确地解释原因”，陶哲轩 解释道。这个

2、难题困扰了学界数十年之久，而陶哲轩最近正 在尝试某种解题方法。这个方法既有奇思妙想，又有荒诞不 经的一面，仿佛是 爱丽丝漫游仙境里遗失的章节。 他说，想象有个聪明绝顶的人用纯水造了一台机器。这台机 器由相互作用的水流而非杆子和齿轮构成。陶哲轩边说边用 手在空中比划形状，就像一位魔术师。进而想象这台机器能 制造一台更快、更小型的复制品，如此循环，直到出现一台 “占据极小空间并具有无限速度的机器，然后它爆炸了。”陶 哲轩并不是要提议打造这样一台机器“我不知道怎么做！ 他大笑着说。这只是一场思想实验，就像爱因斯坦当年构想 狭义相对论时做的那样。但是陶哲轩解释道，如果他能用数 学证明这样一台魔幻装置原

3、则上是可以实现的，那么这就意 味着水能爆炸。而在这个过程中，他也将解决纳维叶斯托 克斯问题的全局正则性问题 (译者注： Navier-Stokes 方程， 描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程) ，而这个问题 自它被提出之后一个多世纪以来，一直都是数学界最重要的 研究内容之一。四十岁的陶哲轩坐在窗边的书桌旁，桌沿上的纸张随意摆放 着。他踩着勃肯凉拖，穿着皱巴巴的蓝灰色的 Polo 衫与袖 口翻起来的牛仔衫，身材瘦弱，一点也没有教授的架子。在 他身后是一张杏色的沙发，沙发对着一块横跨整个房间的黑 板，黑板上面写满了数学符号。沙发没有贴着墙壁，为的是 腾出空间停放他骑着上班的旧山地车。房间的另一

4、边放着一 个纤维板搭的书架，上面的书随意地堆着，里面包括他的两 本著作紧性与矛盾性 ( Compactness and Contradiction ) 与庞加莱的遗产： 第一部( Poincar s Legacies, Part I ， ) 陶哲轩十几岁就开始著书，现在已经出版了 16 册。 出生在澳大利亚南部的陶哲轩，很早就小有名气了。家乡的 报纸广告者报 ( The Advertiser )曾刊出头条： “小哲轩 七岁的高中天才”。剪报上还有一张他在高二数学课上的照片， 照片中小个儿的陶哲轩穿着一件 V 领外套与白色高领毛衣， 跪坐在椅子上，从而能和一位年龄是他两倍的姑娘共用一张 桌子。他

5、的老师告诉记者，他几乎教不了陶哲轩什么东西， 因为陶哲轩总是比别的同学提前学两课时。 （陶哲轩在两岁 的时候就自己学会了阅读。 ） 几个月后，学年刚过一半，陶哲轩就跳级开始上 12 年级的 数学课。三年后，年仅十岁的陶哲轩成为国际数学奥林匹克 竞赛史上最年轻的奖牌获得者。从此他开始频繁获奖，包括 麦克阿瑟天才奖和被誉为“数学界的诺贝尔奖”的菲尔兹奖。 现在，许多人认为陶哲轩是他这一代最出色的数学家。 那个春日，我去他的办公室拜访他，陶哲轩回想起他迄今为 止的学术生涯，他说他对数学的观念从小就彻底地改变了。 他用一种轻快的澳洲口音说道： “当我一点点长大的时候， 我 清楚我想成为一名数学家，但我

6、并不知道那究竟是要干什么， 我有点以为会有一个组织交给我要解决的问题。”但事实是， 真正数学家做的事和学生时期的做题技巧和公式背诵完全 不沾边。甚至那些大学时代经历了巨大成功的人也可能缺少 数学家的某些素质。陶哲轩发现，对于数学这门古老的艺术 而言，速度的重要性远远不及耐心和狡黠，以及爵士乐大师 身上那种即兴发挥和合作的天赋。陶哲轩现在认为，年轻时 的自己，那位震惊数学界的奇才，并不是真正地在做数学研 究。“就好像你学音乐，却只是一直在练习音阶， 学习乐理”， 他将目光移向窗外， 阳光洒在他的脸上， “我在很久之后才知 道数学更深层的含义。”出生于 18 世纪的德国数学家卡尔弗雷德里希高斯(

7、Carl Friedrich Gauss )可能是有史以来最伟大的数学家，然而他 并不近人情。他和自己的孩子也不打交道，并且把重要的研 究成果束之高阁，认为它们不适合公开发表。这些研究成果 在他逝世后于手稿中被发现。纵观古今，不乏与周遭事务格 格不入的数学家，从孤独一生、脾气暴躁的艾萨克牛顿，到 拥有“美丽心灵”的约翰纳什(John Nash )，尽管后者的成果 改写了经济学甚至政治科学的教科书，但本人却饱受妄想症 的困扰；再到最近，独自解决了庞加莱猜想的俄罗斯人格里 高利佩雷尔曼( Grigory Perelman )，他拒绝领取菲尔兹奖， 还任由指甲自由生长一直到卷起来。 相比之下，陶哲轩

8、的一位同事认为陶哲轩“超级正常”他 举止很绅士，又善于自省。他放弃了美国东海岸名校提供的 职位，因为他偏好放松、平平淡淡的机构，在那里他可以享 受加州的天气。而在课堂上，他能让数学变得有趣起来。他 的一个学生告诉我，他最近和同学开玩笑说陶哲轩颠覆了好 莱坞许多“疯子天才”的形象。“他们永远也不可能给他拍电 影，”他说。“他的生活安定，家庭幸福，他总是在微笑。” 这种特质可以追溯到他的童年， 他认为自己经历了“非常正常” 的生活，但显然外人都不这么想。早些年，陶哲轩的家人大 部分时间住在澳大利亚南阿德莱德的山麓一幢复式的砖房 里，看得到圣文森特海湾。 房子由陶哲轩的父亲比利 (Billy )设计

9、。他的父亲是一位儿科医生， 1972 年和陶哲轩的母亲 格蕾丝（ Grace ）从香港移民澳大利亚，三年后的 1975 年， 三个孩子中的长子陶哲轩出生。 三个男孩尼格尔 （Nigel ）， 特雷弗（ Trevor ）与“特里”（译者注：陶哲轩的小名）总是 一起玩耍，而他们最大的消遣就是发明桌游。根据现供职于 谷歌的弟弟尼格尔所言，他们通常挪用一块拼字游戏板，在 上面的网格里放入拼字游戏片，棋子，中国跳棋，麻将牌和 龙与地下城的骰子。故事情节通常照搬当时发行的电子游戏， 比如超级马里奥兄弟，然后加上几层复杂而异想天开的规则。 （特雷弗是国际象棋少年冠军，实力太强很难击败，所以孩 子们给游戏增加

10、了一些变数：每一轮从摇骰子开始，决定哪 个棋子能被移动。 ）陶哲轩还是一个科幻小说的狂热爱好者， 比如特里普拉切特（ Terry Pratchett ）的碟形世界 （ Discworld ）系列。上课无聊的时候，他还会随手为幻想 的世界画些错综复杂的地图。 7 岁的陶哲轩在上高二数学课。 广告者报摄，陶家提供 到了 1985 年春季， 9 岁的陶哲轩同时就读高中与附近的弗 林德斯大学时，父母带他去美国转了三个礼拜，寻求顶尖数 学家与教育学家的建议。他们在约翰霍普金斯（ Johns Hopkins ）大学巴尔的摩校区与朱利安史丹利（ Julian Stanley ）会面。朱利安史丹利是出生于佐治

11、亚州的心理学 家，并在此地为天才少年建立了一个教育中心。陶哲轩是史 丹利测试过的最具数学天赋的学生他八岁的时候 SAT 的数学部分拿了 760 分(译注： SAT 即美国高考， 数学满分 800 分。)但史丹利建议父母把节奏放慢， 给予给予陶哲轩时 间发展情感与社会技能。尽管步伐相对保守，陶哲轩还是在 17 岁的时候完成了硕士 论文右单演调和核产生的卷积算子 (Convolution Operators Generated by Right-Monogenic and Harmonic Kernels)并且去普林斯顿大学开始他的博士生涯。陶哲轩在申请普林 斯顿大学时附上了一封信，来自德高望重的

12、匈牙利数学家保 罗埃尔德什(Paul Erdos )。“我确信他会成为一位一流的数 学家，还可能是一位伟大的数学家， 我毫无保留地推荐他。” 埃尔德什用打字机打出了这几段简明扼要的话。然而到达普 林斯顿后，反而是陶哲轩这位少年天才被吓到了。博士第一 年，后来成为普林斯顿教授的安德烈怀尔斯 ( Andrew Wiles ) 宣布他证明了传奇般的费马大定理(Fermat as sLtTheorem )，这个定理三百多年来无人能解。陶哲轩身边的 同学总是在对他一无所知的数学领域发表高谈阔论。 陶哲轩渐渐沉迷于游戏，他彻夜在计算机房玩文明 一款历史模拟类游戏(译者注： 文明系列游戏严格意义 上并非模拟

13、历史的游戏，它基本不涉及真实的历史进程，而 只是以人类发展历史为背景的回合制策略游戏。 )，这桩丑事 在普林斯顿人尽皆知(他告诉我他现在不玩电脑游戏了，因 为他的“完美主义者倾向”让他玩的时候根本停不下来） 。在当 地的一家漫画店，陶哲轩遇到了一群玩万智牌的朋友这 是一款奇幻背景的卡牌游戏，规则复杂，这是他第一次真正 意义上与和他一般大的人玩耍。但陶哲轩也承认，这一定程 度上也是为了逃避来自普林斯顿的压力。天才儿童面对他们 无法出色解决的挑战时常常选择逃避。在陶哲轩来到普林斯 顿前，他在弗林德斯大学的成绩已经下滑了。在一门量子物 理学的课程中，老师告诉全班期末考试包括一篇关于量子物 理学历史的

14、论文。而当时 12 岁的陶哲轩完全不学习，当他 坐在考场，开始答题时，他震惊地发现这篇文章要占一半成 绩。“我记得当时我都哭了”，陶哲轩说，“监考老师不得不把 我护送出考场”。陶哲轩挂科了。 在普林斯顿，危机以“会考”的形式出现了，这是一场覆盖范 围广，难度大的口头测试，学生需要同时面对三名教授的提 问（译者注：普林斯顿大学数学系的博士生需要在第一或第 二学年参加并通过一场口头考试，才能继续博士学习。考试 内容通常包括代数、实变函数分析和复变函数分析） 。当其 他学生用数月的时间来做习题并相互模考时，陶哲轩依旧选 择他的常用策略来准备考试临时抱佛脚。 “我走进考场开 始答题，很快就被测出 了深

15、浅。”陶哲轩说，“他们问的问题 我没有能力回答。”随即，陶哲轩和他的导师埃利亚斯斯坦 （ Elias Stein ）见面，感觉他已经让导师失望了。陶哲轩还未真正努力过，而最困难的部分还在后面。 在博士课程学习的后期，学生们才开始体验数学家真正的工 作内容用创新的方式证明一个定理，以此来创造知识。 通常他们算了一张又一张纸， 算到季节变换， 却又回归原点， 一无所获；亦或是找到了证明过程中微小的逻辑错误，意味 着整个证明从一开始就注定失败。茫然无措无所进展是数学 研究的常态。数学天才及菲尔兹奖得主，普林斯顿教授查里 斯费弗曼(Charles Fefferman )把这个过程形容为“与魔鬼 下棋”

16、。不过，费夫曼解释道，与魔鬼下棋的规则有些特别： 魔鬼远比你擅长下棋，但你想悔几步棋就能悔几步棋，而魔 鬼不能。当你下第一局时，魔鬼理所当然地碾压了你。所以 你悔了几步棋，试着换种下法，然后它又用同样的方式碾碎 了你。如果你足够“狡猾”，你最终能找到一招，迫使魔鬼改 变对策。你还是输了，不过啊哈！你找到了击败他 的第一条线索。被数学吸引的这一群人倾向于看重确定性、 逻辑性和结果的简洁性， 这也让数学研究成为一种特别的“折 磨”。你可能花费数周、 数月甚至数年时间去研究一个你甚至 不知道是否有解的问题，这是任何想要成为数学家的人都必 须鼓起勇气去面对的。这就像你发现自己待在了一个没有门 窗的房间

17、里，你可以尽情呼喊，但是没有人在听。陶哲轩最出名的是其对质数一项性质的证明。质数是所有仅 能被 1 和其本身整除的大于 1 的整数。最小的几个质数是 2,3,5,7 和 11 。4 不是质数，因为它能被 2 整除；9 不是质数， 因为它能被 3 整除。质数是数学的基石，就像化学中的元素 一样，质数的组合构建起整个数学大厦。对于化学家来说， 水分子是由两个氢原子和一个氧原子组成的。类似地在数学 中，数字 12 是由两个 2 和一个 3 构成的( 12 = 2 x 2 x 3 ) 质数是最基本的数， 也是神秘的数。 它们由简单的逻辑得出， 却似乎随机地出现在数轴上，你永远不会知道下一个质数何 时出

18、现。他们有序而又无序。它们被引入神秘主义理论和宗 教仪式中，启发了音乐作品，甚至成为一本意大利小说质 数的孤独的灵感。如是，数学家为何将质数奉为宇宙运行 的基础之一就显而易见了。人们从数数开始建立起数的概念， 然后自然而然地建立起加减乘除这些基本运算符的概念。有 了这些概念，你就可以发现质数了。而惊人的是，科学家已 经揭示了质数和量子力学之间深刻的联系，但他们还无法解 释为什么会这样。如果在遥远的某颗恒星上存在着外星人的 高等文明的话，它们说的肯定不是英语，它们可能发明了电 视，也可能没有，但我们几乎可以确定，外星人数学家已经 发现了质数，并为之着迷。 陶哲轩的研究与孪生质数猜想有关，这是由法

19、国数学家波林 那克 ( Alphonse de Polignac )于 1849 年提出的。 如果我们 在数轴上将质数一个个圈起来，有时我们会发现两个质数之间仅相差 2，比如 5 和 7、11 和 13 、17 和 19 这些就是 “孪生质数”。越往后，孪生质数出现的频率就越低： 2237 和 2239 后是 2267 和 2269 ； 31391 和 31393 之后的一对是 31511 和 31513 。欧几里得简洁而优雅地证明了质数有无穷 多个，那么孪生质数呢？如果我们一直在数轴上找下去，我 们总能找到下一对孪生质数吗？所有试图证明这一猜想的 尝试都失败了。 当数学家遇到一个他们无法回答

20、的问题，他们有时选择构建 一个稍弱的命题，以期能够通过解决这一问题来取得一定的 洞见。这就是陶哲轩和牛津大学的本格林（ Ben Green ）在 2004 年选择的方法。孪生质数是一对相差正好等于 2 的质 数，而陶哲轩和格林则考察一个较弱的定义一串相差正 好为某常数的质数，不论这个常数是否为2 （例如：质数3,7,11 之间相隔都为 4 ）。他们试图证明： 不论一串相等间隔 的质数串有多长（译者注：即包含多少质数） ，我们总能找 到另一串更长的相等间隔的质数串。当年 2 月，在经过一些 初期讨论后，格兰来到加利福尼亚大学洛杉矶分校拜访陶哲 轩，仅仅过了两个月，他们就得出了令人振奋的成果，也就

21、 是现在的“格林-陶定理”，这可能是证明孪生质数猜想的一个 方向。这一定理将数学中各个独立领域深刻地融合在一起， 帮助建立了一个新的跨学科研究的领域加性组合论。 “它 开辟了许多新的研究方向”， 曾与陶哲轩合作过的英属哥伦比 亚大学(译者注： University of British Columbia ，简称 UBC ， 又名“卑诗大学”)数学家伊莎贝拉拉芭( Izabella Laba )说， “数学家又有很多事可以做了。” 这种跨领域的协作能力是陶哲轩研究生涯的一项标志。绝大 多数数学家倾向于专精一个领域，而陶哲轩则广泛研究，博 采众长，和别人一起研究，作出新的发现。陶哲轩长期的搭 档兼

22、好友马库斯吉尔( Markus Keel )借用科幻电影来形容 陶哲轩快速消化和利用各种数学思想的能力。他告诉我，陶 哲轩工作起来让他想到黑客帝国 ，尼奥将中国功夫的数 据下载到大脑里， 然后睁眼说到： “我会功夫了”。陶哲轩 2006 年获得的菲尔茨奖的颁奖词称赞了他在多个数学领域中的 贡献，并特别提到了他对霍恩猜想( Horns conjecture )作 出的“优美的研究成果”这一成果是陶哲轩和他的朋友共 同完成的，他在博士阶段曾与这个朋友一起玩桌上足球。这 对陶哲轩而言是一个全新的世界，与他之前主攻的领域大相 径庭。 颁奖词这样说到： “这就像是一个杰出的英语小说家突 然发表了一部优秀

23、的俄语小说。”格林 -陶质数定理也同样是 协作的成果。格林是数论领域的专家，而陶哲轩一直接受调 和分析方面的训练。不过他们告诉我，这个证明也仰赖许多 其他数学家的洞见。与魔鬼对弈时，玩家若是没有研究前辈 大师们的好局，取胜的希望便十分渺茫。一个得证的结论可 以用于后续的证明，并提供一系列战胜对手的计策狡黠 地凑成大龙，掐灭一次反击，或是在残局里弃象杀王，占据 有利位置。就像棋手也许会尝试西班牙开局与王翼印度防御 (译注：西班牙开局和王翼印度防御都是国际象棋开局开放 性开局的一种) ，数学家也会专门学习如何巧妙应用中国剩 余定理(译注：中国古代求解一次同余式组的方法，是数论 中一个重要定理)和埃

24、拉托色尼选筛法(译注：古希腊数学 家埃拉托色尼提出的一种筛选法， 是针对自然数列中的自 然数而实施的，用于求一定范围内的质数) 。博学的棋手怀 揣多种锦囊妙计，而老练的棋手凭直觉随机应变。 陶哲轩和格林在研究中，从前人认为错误而弃之不用的证明 方法中，重拾了关键的一部分，并将其用于其他目的。其他 一些证明技巧则来自英国人蒂莫西高尔斯( Timothy Gowers )和匈牙利人安德烈塞迈雷迪 ( Endre Szemeredi )。 后二者的成果则依次建立在埃尔德什、克劳斯罗特( Klaus Roth )和 1930 年去世时年仅 26 岁的弗兰克拉姆塞(Frank Ramsey )的贡献之上

25、，如此可以一直追根溯源下去。询问 数学家他们在数学界的体会，大多数会说是一种强烈的惺惺 相惜之感。 “数学家生命中核心的一部分， 就是这种与其它头 脑交汇的感觉，无论是同当代学者，还是同几千年前的毕达 哥拉斯(译注：古希腊数学家、哲学家) ，”康奈尔大学数学 教授史蒂文斯托加茨( Steven Strogatz )说，“我们和千百 年来的彼此对话。”格林 -陶定理的发现震惊了整个数学界， 因为大家普遍认为这 一问题仍需经年累月的工作才能被证明。有一天，我去拜访 陶哲轩，我们在战后风格的教工中心的露台上用午餐。陶先 生一边吃着一小碟寿司一边告诉我，他和格林与其他人一样， 都在继续研究与孪生质数相

26、关的问题，且在最近取得了许多 突破。他认为，离完整证明这一 150 年前提出的问题已经尽 在咫尺，“可能 10 年就够了”。 晚餐时间，我前往陶哲轩在校园西边角落的家。房子外墙白 中带褐，有五间卧室。陶哲轩本来是要送他 12 岁的儿子威 廉去上钢琴课的，但是威廉临时接到 Go-Gurt （译者注： Go-Gurt 是美国的酸奶品牌）的电话通知他去进行广告的拍 摄（他早已在本田汽车的广告片中饰演“在汽车后座睡得香甜 的男孩”一角）。在陶哲轩的妻子劳拉去接威廉回家时，他们 四岁的女儿玛蒂在宽敞厨房的一隅刚刚吃完饭。她刚咬了一 口甜点一个甜甜圈，便从长凳上爬下来，在屋里到处乱 跑，还一边把手举起一边

27、欢声尖叫。 说起打通数学各个领域的人，你就会很自然地想到陶哲轩。 到他获得菲尔茨奖的时候，他已经和 30 多个不同领域的数 学家合作并研究出成果。从那时起，他也成为了多产的数学 博客写手，带着绝对“非高斯的热情”（译者注：非高斯是随 机变量里的术语，描述随机变量概率分布形式的对称性和陡 峭性，在此文用来表示程度很高） 在博客里赞赏别人的成果， 分享自己爱用的研究技巧，记录他自己的研究进展并欣然回 应评论里的纠错指正。他也在网上组织过“合作战线”来研究 各种问题。曾与陶哲轩合作过的威斯康辛大学数学家乔丹艾 林伯格（ Jordan Ellenberg ）称赞陶哲轩是 21 世纪数学家的 典范。“他

28、总是在与人交流， 善于把自己的工作和他人的工作 联系起来。他是学术界网络中的一部分。” 拜访陶哲轩的时候，我只注意到他有一处数学教授的典型特 征：他常常心不在焉。当他还是小男孩时，他经常丢书，甚 至把书包也丢掉；他也曾把衣服前后里外穿反，又或者是穿 上了“鸳鸯袜”（。这也是他现在穿勃肯凉拖的原因，“因为又 少了一个步骤”，他解释道。）当他带我在屋子里参观的时候， 他的步履也略拙滞，就像是他并没兴趣好好走路一样。我提 出要参观他的办公室时，他指了指在走廊尽头的一间不起眼 的房间。现在他在这间办公室里完成的研究工作不像以前那 么多了，他说，最近他在飞机上效率最高，因为他有几个小 时完全不用理会邮件

29、，也不用接见访客。 威廉回家了，劳拉紧随其后，之后我们就一起用晚餐：猪扒 配番茄酱。这份封面上饰有泰迪熊的图案的食谱来自一本手 写的笔记本，这是陶哲轩的母亲送给劳拉的礼物。威廉是一 个很外向的孩子， Go-Gurt 的广告试镜很顺利（他最终通过 了试镜）。威廉今年读六年级，继承了父亲在数学上的天赋他在线学过高中数学。但目前他真正的兴趣是写作，尤 其是科幻类的作品； 以及表演， 尤其是即兴表演。 他也是我 的世界(译者注：我的世界即 Minecraft ，高自由度的沙 盒游戏，让每一个玩家在三维空间中自由地创造和破坏不同 种类的方块。)的狂热粉丝，不过他正为在游戏里升级工具 发愁。有一次，威廉说他和他的朋友曾经尝试证明 1=0 来“黑” 掉数学，后来却发现 0 不能做分母。陶哲轩听到后翻了个白 眼。证明 1=0 很可能徒劳无获， 这无可置否，但是黑客思维在数 学当中却是极为有用的。很久以前，数学家发明了一个数， 该数的平方等于 -1，这似乎违背了乘法法则。这个数同当时 的数学主流格格不入，以至于这个数被命名为“虚数”。实际 上，虚数是一个强大的发明， 现代物理和工程学也缺它不可。 你对数学的最初印象可能让你误会了数学。初看这门学科就 是在学习规则，学习怎样去应用老掉牙的把戏来得到答案： 曲奇罐