四边形与一次函数综合练习三(共34页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上四边形与一次函数综合练习三1. 甲、乙两人各自加工相同数量的零件，甲先开始工作，中途因故停机检修 1 小时，重新工作时依旧按照原来的工作效率加工零件，如图是甲、乙两人在整个过程中各自加工的零件个数 y（个）与甲工作时间 x（时）之间的函数图象（1）图中 m=  ，a=  （2）求重新工作后甲加工的零件个数 y 与 x 之间的函数关系式（3）求乙工作期间两人加工的零件个数相差 100 个时 x 的值2. 已知：正方形 ABCD 中，MAN=45，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB，DC（或它们的延长线）于点 M，N当 MAN 绕点 A

2、 旋转到 BM=DN 时（如图 1），易证 MN=BM+DN（1）当 MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时（如图 2），线段 BM，DN 和 MN 之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明（2）当 MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM，DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明 3. 小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏 OB 与底板 OA 所在的水平线的夹角为 120 时，感觉最舒适（如图 1），侧面示意图为图 2；使用时为了散热，她在底板下垫入散热架 ACO 后，电脑转到 AOB 位置（如图 3），侧面示意图为图 4已知 OA=OB=24cm，O

3、COA 于点 C，OC=12cm（1）求 CAO 的度数；（2）显示屏的顶部 B 比原来升高了多少?（3）如图 4，垫入散热架后，要使显示屏 OB 与水平线的夹角仍保持 120，则显示屏 OB 应绕点 O 按顺时针方向旋转多少度?4 某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为 4000 元，销售 20 台 A 型和 10 台 B 型电脑的利润为 3500 元（1）求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台，其中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍设购进 A 型电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润为 y

4、元求 y 与 x 的关系式；该商店购进 A 型、 B 型各多少台，才能使销售利润最大?（3）实际进货时，厂家对 A 型电脑出厂价下调 m0<m<100 元，且限定商店最多购进 A 型电脑 70 台若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使这 100 台电脑销售总利润最大的进货方案 5. 如图甲所示，有一组平行线 l1l2l3l4，正方形 ABCD 的四个顶点分别在 l1，l2，l3，l4 上，EG 过点 D 且垂直于 l1 于点 E，分别交 l2，l4 于点 F，G，EF=DG=1，DF=2（1）AE=  ，正方形 ABCD 的边长 = 

5、0;（2）如图乙所示，将 AEG 绕点 A 顺时针旋转得到 AED，旋转角为 0<<90，点 D 在直线 l3上，以 AD 为边，在 ED 左侧作菱形 ADCB，使点 B,C 分别落在直线 l2,l4 上 写出 BAD 与 的函数关系，并给出证明； 若 =30，求菱形 ADCB 的边长6. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=43x+4 分别交 x 轴、 y 轴于 A，B 两点，点 C 为 OB 的中点，点 D 在第二象限，且四边形 AOCD 为矩形（1）直接写出点 A，B 的坐标，并求直线 AB 与 CD 交点的坐标；（2）动点 P 从点 C 出发，沿线段 CD 以每秒 1 个单

6、位长度的速度向终点 D 运动；同时动点 M 从点 A 出发，沿线段 AB 以每秒 53 个单位长度的速度向终点 B 运动，过点 P 作 PHOA，垂足为 H，连接 MP，MH设点 P 的运动时间为 t 秒若 MPH 与矩形 AOCD 重合部分的面积为 1，求 t 的值；（3）在第（2）的条件下，若点 Q 是点 B 关于点 A 的对称点，问 BP+PH+HQ 是否有最小值如果有，求出相应的点 P 的坐标；如果没有，请说明理由7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x-m）2-m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，ACAB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD作

7、AEx轴，DEy轴（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？过点D作AB的平行线，与第（3）题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？（备用图）8. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 -1,0，点 C 的坐标为 0,-2，点 M 的坐标为 12,-3，经过点 M 的直线 l 垂直于 x 轴，点 B 是点 A 关于直线 l 的对称点（1）求直线 BC 的函数表达式；（2）若点 P 是直线 l 上的一个动点，当 PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；（3）Q 是第三象限内一点，

8、且四边形 AQCB 是平行四边形，是否存在经过点 P 的直线将平行四边形 AQCB 的面积分成相等的两部分，若存在，求出这条直线的函数表达式；若不存在，请说明理由 9. 如图，已知直线 AB 与正比例函数 y=kxk0 的图象交于点 A5,5，与 x 轴交于点 B-52,0点 P 为直线 OA 上的动点，点 P 的横坐标为 t，以点 P 为顶点，作矩形 PDEF，满足 PDx 轴，且 PD=1 ， PF=2（1）求 k 值及直线 AB 的函数表达式；并判定 t=1 时点 E 是否落在直线 AB 上，请说明理由；（2）在点 P 运动的过程中，当点 F 落在直线 AB 上时，求 t 的值；3）在点

9、 P 运动的过程中，若矩形 PDEF 与直线 AB 有公共点，求 t 的取值范围10. 已知一次函数 y=-x+7 与正比例函数 y=43x 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B（1）求点 A 和点 B 的坐标；（2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 ly 轴动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 O-C-A 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动在运动过程中，设动点 P 运动的时间为

10、t 秒当 t 为何值时，以 A 、 P 、 R 为顶点的三角形的面积为 8?是否存在以 A 、 P 、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由11. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，线段 OA，OB 的长 OA<OB 是方程组 2x=y,3x-y=6 的解，C 是直线 y=2x 与直线 AB 的交点，点 D 在线段 OC 上，OD=25（1）求直线 AB 的函数表达式及点 C 的坐标（2）求直线 AD 的函数表达式（3）已知 P 是直线 AD 上的点，则在平面内是否存在点 Q，使以 O，A，P，Q 为顶点的四边形

11、是菱形?若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 （备用图）12. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=43x+8 分别交 x 轴，y 轴于点 A，C，点 Dm,4 在直线 AC 上，点 B 在 x 轴正半轴上，且 OB=2OC点 E 是 y 轴上任意一点，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 按顺时针旋转 90 得线段 DG，作正方形 DEFG，记点 E 为 0,n .（1）求点 D 的坐标；（2）记正方形 DEFG 的面积为 S，求 S 关于 n 的函数关系式；当 DFx 轴时，求 S 的值；（3）是否存在 n 的值，使正方形的顶点 F 或 G 落在 ABC 的边上?若存在，求出所有满

12、足条件的 n 的值；若不存在，说明理由 （备用图）13. 已知正方形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上，BA 在 y 轴上，点 B 与原点 O 重合，点 D 在第一象限，ABE 是等边三角形，点 E 在第二象限，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点（1）如图 ，若 BC=6，当 AM+CM 的值最小时，求点 M 的坐标；（2）如图 ，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 BN，连接 EN，AM，CM 求证 AMBENB； 当 AM+BM+CM 的最小值为 3+1 时，直接写出此时点 M 的坐标 14. 如图1，正方形 OABC 的边长为 2，点 C 在 y 轴上，经过原点 O

13、且不与坐标轴重合的直线 l 交对角线 AC 于点 D，过 D 作 OD 的垂线，与直线 AB 相交于点 E（1）当 OCDDAE 时，求出 CD 的长；（2）通过动手测量线段 OD 和 DE 的长来判断它们之间的大小关系，并证明你得到的结论；（3）现将直线 l 绕 O 点旋转，使交点 D 在 AC 的延长线上，如图2，试判断 OD=DE 是否成立?并证明你的结论；是否存在直线 l，使 ADE 为等腰三角形?若存在，求出 l 的解析式，若不存在，请说明理由 15. 如图（ 1 ）所示，在菱形 ABCD 中，ABC=60，若点 E 在 AB 的延长线上，EFAD，EF=BE，点 P 是 DE 的中

14、点，连接 FP 并延长交 AD 于点 G（1）过 D 作 DHAB 垂足为 H，若 DH=23，BE=14AB，求 DG 的长（2）连接 CP，求证：CPPF（3）如图（ 2 ）所示，在菱形 ABCD 中，ABC=60，若点 E 在 CB 的延长线上运动，点 F 在 AB 的延长线上运动，且 BE=BF，连接 DE，点 P 为 DE 的中点，连接 FP，CP，那么第（2）问的结论成立吗?若成立，求出 PFCP 的值；若不成立，请说明理由16. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，BAD=60，过点 D 作 DEAB 于点 E，DFBC 于点 F（1）如图1，连接 AC 分别交 DE，DF 于

15、点 M，N，求证：MN=13AC；（2）如图2，将 EDF 以点 D 为旋转中心旋转，其两边 DE，DF 分别与直线 AB，BC 相交于点 G，P，连接 GP，当 DGP 的面积等于 33 时，求旋转角的大小并指明旋转方向 17. 如图，已知抛物线 y=-12x2+x+4 交 x 轴的正半轴于点 A，交 y 轴于点 B（1）求 A 、 B 两点的坐标，并求直线 AB 的解析式；（2）设 Px,y（x>0）是直线上的一点，Q 是 OP 的中点（O 是原点），以 PQ 为对角线作正方形 PEQF若正方形 PEQF 与直线 AB 有公共点，求 x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形

16、PEQF 与 OAB 公共部分的面积为 S，求 S 关于 x 的函数解析式，并探究 S 的最大值 18. （1）问题情境：如图 1，已知，锐角 AOB 内有一定点 P，过点 P 任意作一条直线 MN，分别交射线 OA 、 OB 于点 M 、 N将直线 MN 绕着点 P 旋转，旋转过程中 MON 的面积存在最小值请问当直线 MN 在什么位置时，MON 的面积最小，并说明理由方法探究：小明与小亮二人一起研究，一会儿，小明说有办法了小亮问：“怎么解决?”小明画出了图 2 的四边形，说：“四边形 ABCD 中，ADBC，取 DC 边的中点 E，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F显然有 ADE

17、FCE，则 S四边形ABCD=SABF（S 表示面积）借助这图和图中的结论就可以解决了”请你照小明提供的方法完成“问题情境”这个问题（2）实际应用：如图 3，若在道路 OA 、 OB 之间有一村庄 Q 发生疫情，防疫部门计划以公路 OA 、 OB 和经过防疫站 P 的一条直线 MN 为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区 MON若测得 AOB=70，POB=30，OP=4km，试求 MON 的面积（结果精确到 0.1km2）（3）拓展延伸：如图 4，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 、 B 、 C 、 P 的坐标分别为 6,0 、 6,3 、 92,92 、 4,2，过点 P 的直

18、线 l 与四边形 OABC 一组对边相交，将四边形 OABC 分成两个四边形，则其中以点 O 为顶点的四边形的面积的最大值是  19. 已知中，边上的高线与的两条内角平分线、分别交于、两点，、的中点分别为、，求证：。20.已知，为边的中点，求证：。21. 如图，分别以的和为一边，在的外侧作正方形和正方形，点是的中点求证：点到边的距离等于的一半。【答案】1. （1） 2；80【解析】m=3-1=2，根据题意得：a2=240-a7-3，解得：a=80      （2） 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b， 80=3

19、k+b,240=7k+b. k=40,b=-40. y 与 x 之间的函数关系式为 y=40x-40；      （3） 设直线 CE 的函数关系式为 y=px+q， 0=4p+q,240=7p+q. p=80,q=-320. 直线 CE 的函数关系式为 y=80x-320，根据题意得：80x-320-40x-40=100，解得：x=92=4.5，或 x=192=9.5答：乙工作期间两人加工的零件个数相差 100 个时 x 的值是 4.5 小时或 9.5 小时2. （1） 结论：BM+DN=MN证明：延长 MB 到 E，使 BE=DN

20、，连接 AE在 ADN 与 ABE 中， AB=AD,D=ABE,BE=DN, ADNABE SAS DAN=BAE AN=AE BAD=90，MAN=45， BAM+NAD=45， BAM+EAB=45 EAM=MAN在 EAM 与 MAN 中， AN=AE,EAM=MAN,AM=AM, EAMNAM SAS MN=ME DN+BM=MN      （2） 结论：DN-BM=MN证明：在 DC 上截取 DE=BM，连接 AE在 ADE 与 ABM 中， AB=AD,D=ABM,BM=DE, ADEABM SAS DAE=BAM，AE

21、=AM MAE=BAD=90 MAN=45， EAN=MAN=45在 EAN 与 MAN 中， AM=AE,EAN=MAN,AN=AN, EANMAN SAS MN=NE DN-BM=MN3. （1） OCOA 于点 C，OA=OB=24cm sinCAO=OCOA=OCOA=1224=12 CAO=30      （2） 如图，过点 B 作 BDAO 交 AO 的延长线于点 D sinBOD=BDOD， BD=OBsinBOD AOB=120， BOD=60 BD=OBsinBOD=24×32=123 OCOA，CAO=3

22、0， AOC=60 AOB=120， AOB+AOC=180 OB+OC-BD=24+12-123=36-123 显示屏的顶部 B 比原来升高了 36-123cm      （3） 显示屏 OB 应绕点 O 按顺时针方向旋转 30，理由如下：显示屏 OB 绕点 O 按顺时针方向旋转 度至 OE 处，OFOA 电脑显示屏 OB 与水平线的夹角仍保持 120 EOF=120， FOA=CAO=30 AOB=120 EOB=FOA=30，即 =30 显示屏 OB 应绕点 O 按顺时针方向旋转 304. （1） 设每台 A 型电脑的销售利润为

23、 a 元，每台 B 型电脑的销售利润为 b 元.则有 10a+20b=4000,20a+10b=3500. 解得 a=100,b=150. 即每台 A 型电脑的销售利润为 100 元，每台 B 型电脑的销售利润为 150 元.      （2） 根据题意得 y=100x+-x，即 y=-50x+15000 . 根据题意得 100-x2x .解得 x3313 . y=-50x+15000，-50<0， y 随 x 的增大而减小. x 为正整数， 当 x=34 最小时，y 取最大值，此时 100-x=66 即商店购进 A 型电脑 3

24、4 台，B 型电脑 66 台，才能使销售总利润最大.      （3） 根据题意得 y=100+mx+-x ，即 y=m-50x+150003313x70当 0<m<50 时，m-50<0，y 随 x 的增大而减小 当 x=34 时，y 取得最大值即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑才能获得最大利润；当 m=50 时，m-50=0，y=15000即商店购进 A 型电脑数最满足 3313x70 的整数时，均获得最大利润；当 50<m<100 时，m-50>0，y 随 x 的增大而增

25、大 x=70 时，y 取得最大值即商店购进 70 台 A 型电脑和 30 台 B 型电脑才能获得最大利润5. （1） 1；10【解析】由题意可得：1+3=90,1+2=90， 2=3，在 AED 和 DGC 中， AEFDGC32ADCD AEDDGC（AAS）， AE=GD=1， DE=1+2=3， 正方形 ABCD 的边长 =12+32=10      （2） BAD=90-理由：过点 B' 作 B'M 垂直于 l1 于点 M，在 RtAE'D' 和 RtB'MA 中， B'MAE&

26、#39;AB'AD' ， RtAE'D'RtB'MA（HL） D'AE'+B'AM=90， B'AD'+=90， B'AD'=90- 2213过点 E' 作 ON 垂直于 l1 分别交 l1,l3 于点 O，N，若 =30，则 E'D'N=60，AE'=1，故 E'O=12，EN=53，ED=533 由勾股定理可知菱形的边长为： 253+1=843=2213 .6. （1） A-3,0，B0,4，当 y=2 时，43x+4=2，x=-32所以直线 AB 与 C

27、D 交点的坐标为 -32,2      （2） 当 0<t<32 时，MPH 与矩形 AOCD 重合部分的面积即 MPH 的面积过点 M 作 MNOA，垂足为 N由 AMNABO 得 ANAO=AMAB所以 AN3=53t5，所以 AN=t所以 MPH 的面积为 12×23-t-t=3-2t当 3-2t=1 时，t=1当 32<t3 时，设 MH 与 CD 相交于点 E，MPH 与矩形 AOCD 重合部分的面积即 PEH 的面积过点 M 作 MGAO 于点 G，MFHP 交 HP 的延长线于点 F FM=A

28、G-AH=AM×cosBAO-AO-HO=53t×35-3-t=2t-3 HF=GM=AM×sinBAO=53t×45=43t由 HPEHFM 得 PEFM=HPHF所以 PE2t-3=243t，所以 PE=6t-92t所以 PEH 的面积为 12×2×6t-92t=6t-92t当 6t-92t=1 时，t=94综上所述，若 MPH 与矩形 AOCD 重合部分的面积为 1，t 为 1 或 94      （3） BP+PH+HQ 有最小值连接 PB，CH，则四边形 PHCB

29、是平行四边形， BP=CH， BP+PH+HQ=CH+HQ+2，当点 C，H，Q 在同一直线上时，CH+HQ 的值最小 点 C，Q 的坐标分别为 0,2，-6,-4， 直线 CQ 的解析式为 y=x+2， 点 H 的坐标为 -2,0，因此点 P 的坐标为 -2,28. （1） 由题意得 B2,0 设直线 BC 的表达式为 y=kx+b， b=-2,2k+b=0. 解得 b=-2,k=1. 直线 BC 的表达式为 y=x-2      （2） 点 A 和点 B 关于直线 l 对称，连接 PC，交直线 l 于一点，该点即为使 PAC 周长

30、最小的 P 点 当 x=12 时，y=12-2=-32 P12,-32      （3） 存在，理由如下：在平行四边形 AQCB 中，经过对角线交点的直线平分平行四边形的面积取 AC 中点 N ，点 N 即为平行四边形对角线交点 A-1,0，C0,-2， AC 的中点 N 的坐标为 -12,-1设直线 PM 的表达式为 y=kx+b， 12k+b=-32,-12k+b=-1. 解得 k=-12,b=-54. 直线 PN 的表达式为 y=-12x-549. （1） k=1 ， y=23x+53；点 E 是落在直线 AB 上，得 E2,3

31、，把 x=2 ， y=3 代入 y=23x+53 中成立；      （2） Ft,t+2，把 Ft,t+2 代入 y=23x+53 中，解得 t=-1；      （3） Dt+1,t，把 Dt+1,t 代入 y=23x+53 中得方程，解得 t=7 ， t 的取值范围为 -1t710. （1） 解方程组 y=-x+7,y=43x, 得 x=3,y=4. 所以点 A 的坐标是 3,4令 y=-x+7=0，得 x=7所以点 B 的坐标是 7,0  

32、0;   （2） 如图，当 P 在 OC 上运动时，0t<4由 SAPR=S梯形CORA-SACP-SPOR=8，得 123+7-t×4-12×4×4-t-12t7-t=8整理，得 t2-8t+12=0解得 t=2 或 t=6（舍去）如图，当 P 在 CA 上运动时，APR 的最大面积为 6因此，当 t=2 时，以 A 、 P 、 R 为顶点的三角形的面积为 8我们先讨论 P 在 OC 上运动时的情形，0t<4在 AOB 中，B=45，AOB>45，OB=7，AB=42，所以 OB>AB因此 OAB>AO

33、B>B如图，点 P 由 O 向 C 运动的过程中，OP=BR=RQ，所以 PQx 轴因此 AQP=45 保持不变，PAQ 越来越大，所以只存在 APQ=AQP 的情况此时点 A 在 PQ 的垂直平分线上，OR=2CA=6所以 BR=1，t=1我们再来讨论 P 在 CA 上运动时的情形，4t<7在 APQ 中，cosA=35 为定值，AP=7-t，AQ=OA-OQ=OA-53OR=53t-203如图，当 AP=AQ 时，解方程 7-t=53t-203，得 t=418如图，当 QP=QA 时，点 Q 在 PA 的垂直平分线上，AP=2OR-OP解方程 7-t=27-t-t-4，得 t=

34、5如图，当 PA=PQ 时，那么 cosA=12AQAP因此 AQ=2APcosA解方程 53t-203=27-t×35，得 t=22643综上所述，t=1 或 418 或 5 或 22643 时，APQ 是等腰三角形11. （1） 解方程组2x=y,3x-y-6,得x=6,y-12. 由题意，得 OA=6，OB=12， 点 A6,0，B0,12设直线 AB 的函数表达式为 y=kxb，则0=6k+b,b=12,解得k=-2,b=12. 直线 AB 的函数表达式为 y=-2x+12联立y=-2x+12,y=2x,解得x=3,y=6. 点 C 的坐标为 3,6  &

35、#160;   （2） 设点 D 的坐标为 a,2a由 OD=25，得 a2+2a2=252，解得 a=2 （负值舍去） 点 D 的坐标为 2,4设直线 AD 的函数表达式为 y=mxn .把点 A6,0，D2,4 的坐标代入得6m+n=0,2m+n=4,解得m=-1,n=6. 直线 AD 的函数表达式为 y=-x+6      （3） 存在，如下图点 Q1-32,32， Q26,6， Q332,-32， Q43,-312. （1） 点 Dm,4 在直线 AC 上； 4=43m+8，解得 m=-3 点 D

36、 的坐标为 -3,4      （2） 如图 1，过点 D 作 DHy 轴于 H，则 EH=n-4， S=DE2=EH2+DH2=n-42+9；当 DFx 轴时，点 H 即为正方形 DEFG 的中心， EH=DH=3， n=4+3=7， S=7-42+9=18      （3） OB=2OC=16， B 为 16,0， BC 为：y=-12x+8；当点 F 落在 BC 边上时，如图 2，作 DMy 轴于 M，FNy 轴于 N，在 DEM 与 EFN 中， DME=ENF=90

37、,DEM=EFN,DE=EF, DEMEFNAAS， NF=EM=n-4，EN=DM=3， F 为 n-4,n-3， n-3=-12n-4+8， n=263；当点 G 落在 BC 边上时，如图 3，作 DMy 轴于 M，GNDM 轴于 N，由同理可得 DEMGDN， GN=DM=3，DN=EM=n-4， 点 G 纵坐标为 1， 1=-12x+8， x=14， DN=14+3=17=n-4， n=21；当点 F 落在 AB 边上时，如图 4，作 DMy 轴于 M，由同理可得 DEMEFO， OE=DM=3，即 n=3；当点 G 落在 AC 边上时，如图 5， CDE=AOC=90，DCE=OCA

38、， DCEOCA， CEAC=CDOC， 8-n10=58， n=74，显然，点 G 不落在 AB 边上，点 F 不落在 AC 边上，故只存在以上四种情况综上可得，当 n=263或21或3或74 时，正方形的顶点 F 或 G 落在 ABC 的边上13. （1） 连接 AC 交 BD 于点 M，根据“两点之间线段最短”，得此时 AM+CM 的值最小，过点 M 作 MGBC 于点 G 四边形 ABCD 是正方形， MB=12BD，MC=12AC，BD=AC，BMC=90 MB=MC MGBC， BG=GC=12BC=62 在 RtBMC 中，有 MG=12BC=62， 点 M 的坐标为 62,62

39、       （2） ABE 是等边三角形， BA=BE，ABE=60 MBN=60， MBN-ABN=ABE-ABN 即 MBA=NBE BN 是由 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 OM=ON . AMBENB . 连接 MN ，作 EFCF 当 AM ， MN ， CM 共线时，AM+MN+CM 最小设 BC=x ，则 OE=AO=BC=x . EF=12x ， FO=32x . 12x2+32x+x2=3+12 .解得 x=2 . C2,0 ， E-62,22 ， D2.2 . CE 的解析式为 y=3-2x+22-6，

40、 OD 的解析式为 y=x . M32-66,32-6614. （1） 当 OCDDAE 时，AD=OC=2，而 AO=CO=2，所以 AC=22，所以 CD=22-2      （2） OD=DE，过 D 作 x 轴的平行线，交 OC 于 M，交 AB 于 N，因为 MCD 是等腰直角三角形，所以 CM=DM，而 MN=OA=OC，所以 OM=DN，而 DEDO，所以 EDN+ODM=90，又因为 DOM+ODM=90，所以 DOM=EDN；在 OMD 和 DNE 中， OMD=DNE,OM=DN,DOM=EDN, 所以 OMDDN

41、EASA，所以 OD=DE      （3） 存在直线 l 使三角形 ADE 为等腰三角形， OD=DE 成立，理由如下：分别过 D 作 x，y 轴的垂线，垂足分别为 G，H，因为 HAD=45，所以 DH=AH，而 AH=DG，所以 DH=DG，又因为 EDH+ODH=90，ODG+ODH=90，所以 ODG=EDH；在 OGD 和 DHE 中， OGD=DHE,OG=DH,DOG=EDH. 所以 OGDDHEASA；所以 OD=DE当 DE=AE，因为 EAD=45，所以 AED=90，此时，D 与 C 重合，不合题意，当 AD=

42、DE，因为 EAD=45，所以 ADE=90，此时 ODAD，不合题意；当 AD=AE，因为 lAC：y=-x+2，设 Dm,-m+2，其中 m<0，所以 DH=DG=-m+2，HE=OG-m，所以 AE=AH+HE=DG+HE=-2m+2；AD=2DG=22-m，所以 -2m+2=22-m解得：m=-2，所以 D-2,2+2，设 l：y=kxk0，代入解得：k=-2-1，所以 l：y=-2-1x15. （1） 四边形 ABCD 为菱形， DABC，CD=CB，CDG=CBA=60， DAH=ABC=60 DHAB，DHA=90在 Rt ADH 中，sinDAH=DHAD，AD=DHsi

43、nDAH=2332=4， BE=14AB=14×4=1EFAD，PDG=PEF P 为 DE 的中点，PD=PE DPG=EPF， PDGPEF，DG=EFEFAD，ADBC， EFBC，FEB=CBA=60 BE=EF， BEF 为等边三角形，EF=BE=1，DG=EF=1      （2） 如图（ 1 ）所示，连接 CG，CF由（ 1 ）知 PDGPEF，PG=PF在 CDG 与 CBF 中，易证：CDG=CBF=60，CD=CB，BF=BE=DG， CDGCBF，CG=CF PG=PF，CPPF  

44、    （3） 如图（ 2 ）所示，CPPF 仍成立过点 D 作 EF 的平行线，交 FP 延长于点 G连接 CG，CF，证 PEFPDG DG=EF=BF DGEF，GDP=FEP DABC，ADP=PEC，GDP-ADP=FEP-PEC又 GDA=BEF=60，CDG=ADC+GDA=120 CBF=180-EBF=120，CBF=CDG CD=BC，DG=BF，CDGCBF，CG=CF，DCG=BCF PG=PF，CPPF，GCP=FCP DCP=180ABC=120，DCG+GCE=120， FCE+GCE=120，即 GCF=120，FCP=1

45、2GCF=60在 Rt CPF 中，tanFCP=tan60=PFCP=3，即 PFCF=316. （1） 连接 BD，设 BD 交 AC 于点 O， 在菱形 ABCD 中，DAB=60，AD=AB， ABD 为等边三角形 DEAB， E 为 AB 的中点， AECD， AMCM=AECD=12，同理 CNAN=12， M，N 是线段 AC 的三等分点， MN=13AC      （2） ABCD，BAD=60， ADC=120，又 ADE=CDF=30， EDF=60当 EDF 顺时针旋转时，由旋转的性质知 EDG=FDP，GDP=

46、EDF=60， DE=DF=3，DEG=DFP=90， DEGDFP， DG=DP， DGP 是等边三角形，则 SDGP=34DG2，由 34DG2=33，又 DG>0，解得 DG=23， cosEDG=DEDG=323=12， EDG=60 当顺时针旋转 60 时，DGP 的面积是 33同理可得，当逆时针旋转 60 时，DGP 的面积也是 33综上所述，当 EDF 以点 D 为旋转中心顺时针或逆时针旋转 60 时，DGP 面积是 3317. （1） 令 y=0，得 -12x2+x+4=0，即 x2-2x-8=0 .解得 x=-2，x=4 .所以 A4,0 .令 x=0，得 y=4 .所

47、以 B0,4 .设直线 AB 的解析式为 y=kx+b .则有：4k+b=0,b=4. 解得 k=-1,b=4. 故此直线的解析式为：y=-x+4；      （2） 当 Px,y 在直线 AB 上时，x=-x+4，解得 x=2；当 Qx2,x2 在直线 AB 上时，x2=-x2+4，解得 x=4 .所以正方形 PEQF 与直线 AB 有公共点，且 2x4 .      （3） 当点 Ex,x2 在直线 AB 上时，（此时点 F 也在直线 AB 上）x2=-x+4，解得 x=83 .当 2x<83 时，直线 AB 分别与 PE 、 PF 有交点，设交点分别为 C 、 D .此时 PC=x-x+4=2x-4