线性代数复习

1、第一章行列式内容：1全排列的逆序数；(练习 2(3,6)2 行列式的计算：(1) 二、三阶行列式(对角线法则，练习1(1);(2) 四阶或者以上(化三角行列式，练习4(1,2)(3) 行列式的代数式(行列式的性质，练习6(2,3)(4) Dn形式(行列式性质，Dn的递归式和归纳法，练习 6(5),练 习 8(1,2,6)；(5) 特殊行列式(范德蒙德行列式)3. 行列式按行(列)展开(例13、练习9);4 克拉默法则及齐次线性方程组(练习11、12)第二章矩阵及其运算内容：1.矩阵的运算：线性运算、乘法、转置及方阵行列式(练习1(4)，练习2) 1 *2 .逆矩阵：(1)方阵A可逆充分必要条件

2、是|A| = 0，且A = A/|A|; (2)二阶、三 阶方阵的逆矩阵求法 (伴随矩阵法，练习10(1,3); (3)简单的矩阵方程(11(1,3) o (4)稍显复杂的矩阵方程(练习15、练习16)3. 矩阵多项式(矩阵的对角化，练习19、练习20)4. 分块矩阵及其计算(练习25,练习27和练习28)第三章矩阵的初等变换与线性方程组内容：1.矩阵的初等变换，行阶梯形矩阵，行最简形矩阵(练习1(1,3);2. 初等变换法求逆矩阵，解矩阵方程AX = B (练习2、4、5(1)和6);3. 矩阵的秩及最大的r阶子式的求法(练习10(1,2);4. 解线性方程组初等变换法(练习14(1,4)(

3、1) 非齐次线性方程组判别定理：无解( R(A) < R(A);有唯一解(R(A) = R(A)=n);无穷多解(R(A) = R(A) = r = n)(2) 求解的一般方法：(i) 将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，若R(A) < R(A)无解，停止，反之(ii) 进一步化成行最简形矩阵；(iii )将未知数分为两类：非零行首元所在列对应的作为非自由未知数，其他的作为自由的，用自由未知数的表示非自由的；(iv)令自由未知数为任意常数，代入到表示非自由未知数的方程中，最后 得到通解。(3) 齐次方程组是否有非零解得判别定理(只有零解 R(A) = n；有非零解R(A) < n)及

4、其求解(练习13(1,2)(4) 含参数的线性方程组(练习 16、17和18)第四章向量组的线性相关性内容：1.向量b或向量组B被向量组A线性表示的判别法:能线性表示R(A) = R(A, b)或R(A)=R(A, B),不能线性表示 R(A) < R(A, b)或R(A) < R(A, B);(练习 1、2)2. 向量组A的线性相关与线性无关的判定法：线性相关R(A) < n,无关R(A) = n。(练 习 4、5);3. 向量组的秩及最大无关组的求法( 练习11、12 (2);4 线性方程组的结构，齐次线性方程组的基础解系，非齐次线性方程组的通解（练 习 20（i）和 2

5、6（2）;第五章相似矩阵及二次型内容：i 向量的长度（范数）、两个向量的内积和夹角的计算公式（练习i）2. 施密特正交化（练习 2）;3. 正交矩阵（练习3、4、5）4. 特征值和特征向量（练习 6）:（1）写成特征方程A-入E|；（2） 解特征方程|A-入引=0，求出所有的特征值 入，拒，；（3） 对每个特征值 入，解齐次线性方程组（A-入E）x = 0,求出其对应的特征向量的基 础解系典型例题例1计算n阶行列式bnNaobian 2（未标明的元素为0）-1a +iaDn =ia斗1i例2计算n阶行列式Dn =练习1计算n阶行列式IH a一1（未标明的元素为0）Ia十1ai +1a?Illa

6、naia2 +2 HI an4Fqaia? 川 a. + n分析：这是比较典型的行列式，技巧是拆（行列式性质5），由于除对角线上的元素外，每bn丄an分析：这是典型的计算Dn的例题，由于第一行或最后一行只有两个元素非0,因此通过按-行（经观察，最后一行展开比第一行更容易处理）展开，建立Dn与 Dn-i的递归关系。解 Dn关于最后一行展开得Aa0 _iDn =（"“十厲丄ai工-i+ an J_bja 一i卜FT卜 1 an Nbn_2an_2bn J an dDn 1 二 bn'an J_bn _2andan_2Dn_2 二nan_2 .a2aiao二 bn an 二bn_2

7、"anan_2bn 彳"anan_2比0 aDn =a1 +1 a1Ra2川比+2川11an an卜卜+a1 +1aqqa2a+2ii-IHIH00卜卜=an1 0qq021)11川0 0a1a2川anaa2IHn00IH 1=(n -1)!an nDnj一列元素相同，因此按列拆是合理的。 解nDn 1n!an 1 ： ：；1 a1 n!_ 1用归纳法可证明Dn =an n!n练习2计算n阶行列式n -1x1 3Dn 二X2X23XnXnX2Xn +3说明：第一章例13和例16是第一章的典型例题，练习中也有相关的习题，要求理解并掌握。0'0，则(A*)<33分

8、析：伴随矩阵和逆矩阵之间的关系是AA=IAI E 二，贝U A-A A* 二 E，即IAI IAI'(A)练习3，其中A，B为方阵，则C的伴随矩阵(A)|A|AOoIB IB*(B)|B|AOoI A|B*(C)IAIB*OOIB I A*(D)|B|BoO|A|C*01-130 , AB=A+2B，求 B。3丿分析：这是典型的矩阵方程，现作简单的代数变换AB=A 2BAB-2B=A（A-2E）B=A（这化为典型矩阵方程：AX =B，即X二A七。如果A，容易求，则直接用 A左乘B，得X,否则用初等变换法）<-233033、r1 -p11-10110；2E,A)=1-1011001

9、325332-121-123<011033n-10110 '00033、r3 -2丄013253010韵23r1七e01110丿1°0111°(A-=E,(A 2E)A所以 B=(A2E)A =0-11练习4设<4200200000-75003-1，且 BA = A B，求 B。广1练习5设3阶矩阵A, B满足A*BA=2BA8E，且A=0<000 I-20，求 B。0例5问入取何值时，线性方程组农2 X3 =入咫3 _X4 =入唯一解、无解或有无穷多解？并在无穷多-X1 ?0<2 入解时求其通解。解对增广矩阵实施初等行变换:x00T-10-

10、1r40-1入0-1100入-冬-100X-x 14 X100X-X010-XX X010-XX X001_X_X -X -x001-X3_ X _ x2 - x卫0X-1X10002(X1)(X +1)( X +1)2X x+1)(X +1)一_兀2观察增广矩阵的行阶梯形矩阵有：(1)、当X-1时，Rank(A) =3 ： Rank(B) =4 ,方程组无解;(2) 、当入=-1时，Rank(A)=Rank(B) =3 v4，方程组有无穷多个解；(3) 、当入式出时，Rank(A)=Rank(B) =4，方程组有唯一解。_10 0-11_0 10-10当入=1时，增广矩阵B的行最简型矩阵为0

11、0111，对应的方程为00000X1 =X41X1 =X4于是有X2 =X4，对应齐次线性方程组为X2 =X4X3 = %1X3 二-X4令X4 =0，得方程组的一个特解(1,0,1,0)T，令X4 =1，得齐次线性方程组的基础解系为(1,1,-1,1)T，因此原方程的通解为(1,0,1,0)T k(1,1,-1,1)T .练习6 已知线性方程组(1»(1 - )X2(12 )X1( )X2X3 =1X3 二 1X1X2(1 - )X3 = 1问入取何值时，线性方程组唯一解、无解或有无穷多解？并在无穷多解时求其通解。(提示:这种3x3的系数矩阵A,用克拉默法则更合理 )例6设已知向量

12、组A：冷B :杠=-2,艮=-212-1 _1 I-31-1 I证明B能被A线性表示，并求线性表示矩阵。1/ 5，则由B = AK，即K-3/5解 对(A, B)实施初等变换，化为行最简形矩阵-102/5r011/5(A, B) 000-0001/53/5002/5 因为R(A) = R(A, B) = 2，所以B能由A线性表示，令K =卜1/ 5即为所求的线性表示矩阵。例7求下列向量组的一个最大无关组，并把其余向量用此最大无关组表示和解线性方程组的方法基本相分析：线性相关、线性无关、向量组的秩和最大无关组等等,同，作初等变换，将矩阵化为行最简形矩阵。解对矩阵实施初等行变换-122531100

13、5-H23-526-4r 01021A =(0(1,02,03,0(4,05)=33-48_91001-211-122_卫0000一则 01,02,0(3 为最大无关组，o(4 =5o(i +2(/2 20(3 , 0(5 = Y(1 +o(2 +o(3例8 设向量组A ：宀，：2'£3，及向量组B ： r =3宀亠:込亠:让，2 = r 2、£2,F：3 =2用1亠:£3，证明向量组B线性无关的充分必要条件为 A线性无关。解只需证明A和B的秩相同，因为12暑B =(B, IV 3)=(8,(X2,03)120=AK701丿2而 |K|=121 00 =1式0，即K可逆，即有 A=BK，所以R(A) = R(B),证毕。1Tips：当涉及到线性无关(齐次方程