大学文科数学全部公式

1、1 sinlim0 特点特点:特特点点: e ) 1 1(lim 记记为为)( O ； 记记为为 ； 重要结论重要结论：, 0 时时当当x)(lim)()(lim)()(lim00000 xfxfxfxfxfxxxxxx 连续的概念xsinxtanxarcsinxarctan x( (0 x) )； （极值存在的必要条件极值存在的必要条件） 定理定理 设设)(xfy 在在,ba上连续，在上连续，在),(ba内二阶可导，则内二阶可导，则 （1 1）若若),(ba在在内，内，0)( xf，则曲线弧，则曲线弧),()(baxfy在在 内是向下内是向下凸的；凸的； （2 2）若若),(ba在在内，内，

2、0)( xf，则曲线弧，则曲线弧),()(baxfy在在 内是向上内是向上凸的凸的. 基本初等函数和常数的求导公式基本初等函数和常数的求导公式 （1 1）0)( c； （2 2）1)( xx； （3 3）aaaxxln)( ； （4 4）xxee )(； （5 5）axxaln1)(log ； （6 6）xx1)(ln ； （7 7）xxcos)(sin ； （8 8）xxsin)(cos ； 0000000()()( )()( )limlimlimxxxxf xxf xf xf xyf xxxx x ;0)(d)1( C;d0)1(Cx ;d)1(d)2(1xxx );1(1d)2(1 Cx

3、xx;d1)(lnd)3(xxx ;lnd1)3(Cxxx ;d11)(arctand)4(2xxx ;arctand11)4(2Cxxx ;d11)(arcsind)5(2xxx ;arcsind11)5(2Cxxx ;d)ln(d)6(xaaaxx ;lnd)6(Caaxaxx 1.积分公式积分公式;d)(d)7(xeexx ;d)7(Cexexx ;dcos)(sind)8(xxx ;sindcos)8( Cxxx;cotdcsc)11(2Cxxx ;tandsec)10(2Cxxx ;cosdsin)9(Cxxx ;dsec)(tand)10(2xxx ;dcsc)cot(d)11(2

4、xxx ;dtansec)(secd)12(xxxx .cscdcotcsc)13(Cxxxx ;dsin)cos(d)9(xxx ;secdtansec)12(Cxxxx .dcotcsc)csc(d)13(xxxx .coslndtanCxxx .sinlndcotCxxx 分分部部积积分分法法常常用用于于被被积积函函数数是是两两种种不不同同类类型型函函数数乘乘积积的的积积分分， 分分部部积积分分法法是是乘乘积积微微分分公公式式的的逆逆运运算算. . 一、分部积分公式一、分部积分公式 如如dxaxxn ，xdxxn sin，xdxxnarctan ，dxxex cos等等. . 反对幂指三

5、反对幂指三例例 1 10 0. .求求dxex 11 解解：令tex 1，12 tex， )1ln(2 tx，dtttdx122 ，则则 dttdttttdxex 1121211122.1111ln11ln22CeeCttxx 三角函数代换三角函数代换. . 当被积函数含有当被积函数含有 （1 1）22xa 时时，令令taxsin ； （2 2）22ax 时，令时，令taxtan ； （3 3）22ax 时时，令令taxsec . . 变变限限求求导导公公式式 奇偶函数在对称区间上的积分性质奇偶函数在对称区间上的积分性质可分离变量方程的一般形式为可分离变量方程的一般形式为 )()(ygxfdx

6、dy （1 1）分分离离变变量量：)0)( )()( ygdxxfygdy； （2）两两边边积积分分： dxxfygdy)()(； （3）求求出出积积分分，得得通通解解：CxFyG )()(， 其其中中)( ),(xFyG分分别别是是)( ,)(1xfyg的的原原函函数数。 （4 4）根据初始条件求）根据初始条件求方程的特解方程的特解. . （5）若）若有有0)(0 yg，则，则0yy 也是方程的解，称为也是方程的解，称为常数解常数解. 求解步骤求解步骤： （二）一阶线性非齐次方程的解法（二）一阶线性非齐次方程的解法 故原方程的通解为故原方程的通解为Cyyx 431. 这这是是一一个个关关于于

7、未未知知函函数数)(yxx 的的一一阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程， 行列式的计算行列式的计算 三角法三角法 ： 根据行列式的特点，利用行列式的性根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它逐步化为三角行列式，然后求得其值。质，把它逐步化为三角行列式，然后求得其值。 降阶法降阶法 ： 利用行列式按行（列）展开法则降阶，利用行列式按行（列）展开法则降阶，把它降为较低阶的行列式，然后求解；通常此法需把它降为较低阶的行列式，然后求解；通常此法需结合化简性质运用。结合化简性质运用。 递推法递推法 ： 通过降阶法建立起行列式与其同形的通过降阶法建立起行列式与其同形的较低阶的行列式的关系式较低阶的行列式的关

8、系式-递推关系式，然后由递推关系式，然后由递推关系式求解其值。递推关系式求解其值。三种常用方法三种常用方法1、用初等变换求逆矩阵的方法用初等变换求逆矩阵的方法: :1)1)构造构造:(A E);2)2)做初等行变换做初等行变换1 AEEA行行2、用初等变换解矩阵方程用初等变换解矩阵方程: :AX=B( (其中其中A可逆可逆) )的方法的方法: : BAEBA1) 1 行行BAX12 )3、用初等变换解矩阵方程用初等变换解矩阵方程: :XA=B( (其中其中A可逆可逆) )的方法的方法: :初等变换的应用：初等变换的应用： 1)1BAEBA列列12 BAX)4、用初等变换求矩阵的秩的方法用初等变

9、换求矩阵的秩的方法: :1 1）将）将A用初等变换化为行阶梯矩阵；用初等变换化为行阶梯矩阵；2 2）R(A)=A的行阶梯矩阵的非零行数。的行阶梯矩阵的非零行数。初等矩阵初等矩阵 由单位矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。经过一次初等变换得到的矩阵。 对对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等阵左乘矩阵初等阵左乘矩阵A; ;对对A施行一次初等列变换的结果等于施行一次初等列变换的结果等于用一个相应的初等阵右乘矩阵用一个相应的初等阵右乘矩阵A. .5、用初等变换求线性方程组的解用初等变换求线性方程组的解6、用初等变换求行列式用初等变换求行列式|

10、A 111nnnddd11nndd 线性方程组线性方程组(一一) 齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0 (1)设设A是是mn矩阵矩阵,则则: （1）齐次方程组）齐次方程组(1)只有零解只有零解 (未知量的个数未知量的个数). nAR )( （2）齐次方程组）齐次方程组(1)有非零解有非零解 (未知量个数未知量个数). nAR )(有非零解有非零解的充要条件是它的系数矩阵行列式的充要条件是它的系数矩阵行列式. 0 A有有n个未知数个未知数n个方程的齐次线性方程组个方程的齐次线性方程组 求解齐次线性方程组的一般步骤：求解齐次线性方程组的一般步骤： 对系数矩阵对系数矩阵A施行初等行变换化为行最简矩阵

11、；施行初等行变换化为行最简矩阵； 由行最简矩阵写出对应的同解方程组；由行最简矩阵写出对应的同解方程组；令同解方程组中的自由未知量令同解方程组中的自由未知量分别为分别为从而得出原方程组的全部解从而得出原方程组的全部解. . 12,nrccc 设矩阵设矩阵A与矩阵与矩阵B分别是非齐次线性方程方程组分别是非齐次线性方程方程组Ax=b的系数的系数矩阵与增广矩阵矩阵与增广矩阵, ,则则 (2) Ax=b有无穷多解有无穷多解 r(A)= r(B) 0两者不两者不能同时成立能同时成立3. 概率的计算方法概率的计算方法 直接计算直接计算中中样样本本点点总总数数中中包包含含的的样样本本点点个个数数SAP(A)

12、注注: :放回抽样放回抽样, ,不放回抽样不放回抽样, , 利用公式利用公式条件概率公式条件概率公式)()()|(APABPABP 乘法公式乘法公式)|()()(ABPAPABP )()()()(:,ABPBPAPBAPBA 事事件件)()(,111iniininAPAPAA 两两两两互互不不相相容容)(1)(APAP 加法公式加法公式分子分母针对同一样本空间分子分母针对同一样本空间. .重要技巧重要技巧)()()()(ABPAPABAPBAP ()()()( )()P ABP ABP AABP AP AB 减法公式减法公式贝叶斯公式贝叶斯公式全概全概率公式率公式11()()(|)()nnii

13、iiiP BP BAP B A P A ()()( )iiP A BP A BP B 1() ()() ()iinjjjP A P B AP A P B A ., 2 , 1ni .,).()()(,独立独立简称简称相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是两事件是两事件设设BABABPAPABPBA (1)两事件相互独立两事件相互独立),()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP .,21为为相相互互独独立立的的事事件件则则称称nAAA有有等等式式具具任任意意意意如如果果对对于于任任个个事事件件是是设设推推广广,1, )1(,2121niiinkknAAAkn 若试验若试验E单次试验的结果只有两个单次试验的结果只有两个A, ，且且P(A)=p保持不变，将试验保持不变，将试验E在相同条件下独立地在