大学物理作业(1-5)

1、14 一质点的运动学方程为， (S1)。试求： (1)质点的轨迹方程：(2)在s时，质点的速度和加速度。解 (1) 由质点的运动方程 (1) (2) 消去参数t，可得质点的轨迹方程 (2) 由(1)、(2)对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 所以 (3) 所以 (4) 把t=2s代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。 16 质点的运动学方程为 (S1)，试求：(1)质点的轨道方程；(2)t2s时质点的速度和加速度。解 (1) 由质点的运动方程，可得 消去参数t，可得轨道方程 (2) 由速度、加速度定义式，有 将t=2s 代入上两式，得 ， 110 在重力和

2、空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为，g为重力加速度，B为与物体的质量、形状及媒质有关的常数。设t=0时物体的初速度为零。(1)试求物体的速度随时间变化的关系式；(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值为多大?解 (1) 由得 两边积分，得 (2) 当a=0时 有 a=g-Bv=0由此得收尾速率 v=g/B112 一艘正以速率匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶。其加速度的大小与速度的平方成正比，即， k为正常数。试求舰艇在关闭发动机后行驶了x距离时速度的大小。解 对上式两边积分 化简得 所以 117 火车在曲率半径R400m的圆弧轨道上行驶。已知火车的切向加速度，求火车的瞬时速率

3、为时的法向加速度和加速度。解 火车的法向加速度 方向指向曲率中心 火车的总加速度 设加速度a与速度v之间的夹角为，则118一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置。(1)在t=2s时，它的法向加速度和切向加速度各是多少?(2)切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，值为多少?(3)何时切向加速度与法向加速度大小相等?解 质点的角速度 质点的线速度 质点的法向加速度，切向加速度为 (1) (2)(1)把t=2s代入(1)式和(2)式，得此时 (2)质点的总加速度 由 得 解得 ，t=0.66s 所以 (3) 当即 时有 ， t=0.55(s)附加题目：湖中一小船，岸边的人用跨过高处的定滑轮

4、的绳子拉船靠岸(如图所示)。当收绳速度为v时，试问：(1)船的运动速度u比v大还是小?(2)若v常量。船能否作匀速运动?如果不能，其加速度为何值?解 (1) 由图知 两边对t求导数，并注意到h为常数，得 又 所以 Lv=su (1)即 u/v=L/s>1因此船的速率u大于收绳速率v。(2) 将(1)式两边对t求导，并考虑到v是常量 所以 即 23 质量为m的子弹以速率水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。解 设任意时刻子弹的速度为v，子弹进入沙土的最大深

5、度为s，由题意知，子弹所受的阻力 f= - kv(1) 由牛顿第二定律 即 : 所以 对等式两边积分 得 因此 (2) 由牛顿第二定律 即 所以 对上式两边积分 得到 即 23 质量为m的小球，在水中受到的浮力为F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为fkv(k为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v与时间的关系为证明 任意时刻t小球的受力如图所示，取向下为y轴的正方向，开始沉降处为坐标原点由牛顿第二定律 即 整理得 对上式两边积分 得 即 25 跳伞运动员与装备的质量共为m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即。求跳伞员的运动速率v随时间t变化的

6、规律和极限速率。解 设运动员在任一时刻的速率为v， 有牛顿第二定律 整理得 对上式两边积分 得 整理得 设极限速率为，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。此时 即 36 一质量为与另一质量为的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离由增加到时所需要作的功。解 万有引力两质点间的距离由x增加到时，万有引力所作的功为故外力所作的功：37 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为，k为常数。若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r时的势能。解由势能的定义知r处的势能Ep为: 38 设地球的质量为M，万有引力恒量为，一质量为m的宇宙飞船返回地球时，可认为它是在地

7、球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。求它从距地心下降到处时所增加的动能。解 由动能定理(或者根据机械能守恒定律)，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，即： 4-5如图所示，质量为M1.5 kg的物体，用一根长为l1.25 m的细绳悬挂在天花板上今有一质量为m10 g的子弹以v0500 m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v 30 m/s，设穿透时间极短求： (1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量解 （1） 由于穿透时间极短,可认为穿透过程在瞬间完成。此过程系统在水平方向满足动量守恒。 对M进行受力分析有 (2) 子弹在穿透过程中

8、所受的冲量：上式中负号表示冲量方向与方向相反。4-8 如图所示，砂子从h0.8m处下落到以3的速率沿水平向右运动的传输带上，若每秒钟落下100kg的砂子，求传输带对砂子作用力的大小和方向。解 如图所示，设时间内落下的砂子的质量为，则的动量改变水平方向：竖直方向：或者 方法二：显然有 根据动量定理 所以414 6月22日，地球处于远日点，到太阳的距离为m，轨道速度为。6个月后，地球处于近日点，到太阳的距离为m。求：(1)在近日点地球的轨道速度； (2)在近日点和远日点时地球的角速度。解 设在近日点附近地球的轨道速度为，轨道半径为，角速度为；在远日点地球的轨道速度为，轨道半径为，角速度为。(1)

9、取地球为研究对象，其对太阳中心的角动量守恒。所以 (2) 417 有两个质量都等于50kg的滑冰运动员，沿着相距1.5m的两条平行线相向运动，速率皆为10。当两人相距为1.5m时，恰好伸直手臂相互握住手。求：(1)两人握住手以后绕中心旋转的角速度； (2)若两人通过弯曲手臂而靠近到相距为1.0m时，角速度变为多大?解 取两人组成的系统为研究对象，系统对两人距离中点的角动量守恒(1) 设两人质量均为m，到转轴的距离为，握住手以后绕中心角速度为，则有： (2) 设两人相距1.0米时，角速度为，此时系统对转轴的转动惯量为，两人到转轴的距离为，则 421 如图所示，在水平光滑平面上有一轻弹簧，一端固定

10、，另一端系一质量为m的滑块。弹簧原长为，倔强系数为k。当t0时，弹簧长度为。滑块得一水平速度，方向与弹簧轴线垂直。t时刻弹簧长度为L。求t时刻滑块的速度v的大小和方向(用角表示)。解 因为弹簧和小球在光滑水平面上运动，所以若把弹簧和小球作为一个系统，则系统的机械能守恒，即 (1) 小球在水平面上所受弹簧拉力通过固定点，则小球对固定点角动量守恒，即 恒量故 (2)由(1)式得 代入(2)式得 5-5 有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为m的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动. 另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相撞，设碰撞时间极短，已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图所示. 求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间 (已知棒绕O点的转动惯量J=m1l2/3).lv2m1m2Ov1A解：由角动量守恒可以得到 碰后，由于摩擦产生的阻力矩为：由角动量定理，得