暑假平面几何讲义四点共圆(教师版)

1、四点共圆文武光华数学工作室潘成华平面几何中证四点共圆的几个基本方法方法一：平面上有四点A、 B、C、 D , 若AD ,则 A、 B、C、 D 四点共圆A方法二线段 AC、BD 交于 E , 若 AE ECBE ED ,则 A、 B、 C、 D 四点共圆DEB方法三线段 AC、BD交于 E,若AE BECE ED,CE则 A、 B、 C、 D 四点共圆ADBCA方法四：若四边形ABCD,AC180，则 A、 B、 C、 D 四点共圆DBC方法四、已知AD 是 ABC 内角或外角平分线， ABAC ,且 BDDC ,则A、 B、C、 D 四点共圆ADAOCOCBBD,因为ADADsin Bsin

2、 C证明 设BADDBDC,所以 sin BADsin CAD，所以 sin Bsin C ，内角时 BC 180,外角时 BC ，所以 A、B、 C、 D 四点共圆托勒密定理：Tolemy( 托勒密定理）若四边形 ABCD是圆 O内接四边形 , 则 AD?BC+AB?CD=AC?BDDDAAOOEBCBC证明 在 AC上取点 E, 使 EDC= ADB,因为 ABD=ACD,所以 ABD EDC, ADEBDC，于是 (AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC), 于是 AD?BC+AB?DC=AE? BD+BD?CE=AC?BD例 1、已知点 D、E 在 ABC 内， A

3、BDCBE , BAECAD .求证 ACDBCE .AAQRDDEECCBPB证明 ( 一) （文武光华数学工作室南京潘成华）作E 关于 BC、AB、 AC对称点P、R、Q , 易知BRD BPD ,ARD AQD, 于是DPDRDQ,所以DCP DCQ, 得到PCDQCD, 进而BCEACD.证明（二）作ABE ASCBDS 外接圆交 AD 延长线于 S , 可知, 所以ABS AEC , 得到ACEASBASCDBCDSB ,ABE , 得到所以BCEACD .ADECBS例 2、已知（文武光华数学工作室南京潘成华）E 是ABC内一点，点D在BC上，且BAEDAC,EDBADC. 则AE

4、CBED180AAKFEEGBDCBLDC证明 先证明 ABBEJ, 过 E 作 AB、 AC、 BC 垂线 EF、 EG、EL 交 AB、 AC、BC 分别ACEC于 F、 G、L ，直线 EL、 AD 交于 J , 取 AF 中点 K , 易知 B、F、E、L 四点共圆，ABsin CFLFLCEBEE、 G、 C、 L 四点共圆，所以 ACsin BLGLGBE (1),( B、 C 是 ABC 的内CE角) ，因为 EDBADC ，所以 ELLJ , 于是 KL / /AJ , 易知 A、F、E、 G 四点共圆，圆心是 K ， BAEDAC , 所以 ADFG , 进而 KL / /F

5、G ，得到 KL 是 FG 中垂线，所以 FL LG ，(1) 得 ABBEACEC下面我们证明AECBED180，因为 sin AECAC sin EAC,AEsin BAEABsin BAE, , 两式相除得sinAECsinEACsinBADBEsinBAEsinBAEsinDACAB sinBADECBDECsinBED, 因为AC sinDACBECDBEsinDECAECBAEBEDDEC360所以，AECBED180证明（二）在 AB 取 H , 使得AHBPDB, 所以AHP ADC , 进而得到AAHD APC , 易知 H、 P、 D、B 四点共圆，所以 APCBPDBHD

6、AHD180HPBDC例 3、叶中豪老师 20XX年国庆讲义一几何题我的解答已知， D 是 ABC 底边 BC 上任一点， P 是形内一点，满足 12，34。求证： PBABPCAC 。A1A122HIPP343B4DCBDC证明作BPD、CPD 外接圆交 AB、 AC 分别于 H、 I ，易知AHP ADC , 所以ACAD（1）, 易知 API ABD , 进而得到 ABP AHD APC ，所以 PCDHADI , 所以 BPABADDI （ 2） , 易知 A、 H 、P、 I 四点共圆，所以AHIAPIABC , 所以HI / /BC , IHDHDB3HDP3HBP4ADIIDCH

7、ID , 所以HD ID , 进而根据（ 1）、（ 2）得到 PBAB。PCAC例 4、已知 ABC 是锐角三角形， AD 是 BC 边上中线， H 是 ABC 垂心，HIAD 于点 I ，求证B、C、H、I 四点共圆AAIHIHBDCBDCG证明（一）：延长 AD 到 G 使得 AD =DG , 易知四边形 ABGC 是平行四边形，因为CH AB， BHAC,所以HBGHCG 90 , 得到 I、B、G、C、H ，所以B、C、H、I 四点共圆AIHFBDC证明（二）HACHBDBFD , 所以 FD 是 (AIHF ) 切线，所以DC2FD2DIDA ,所以DIC DCA , 得到DCADA

8、CBHI , 所以 B、 C、 H 、 I 四点共圆第四题、第51 届波兰数学奥林匹克，1999例 5、已知 在ABC 中， ABAC, 点 P在ABC 内部，点 D是 BC中点，CBPACP .求证BPDAPC180 .AAPP yxBDCxDyBC证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设ACPx ,ABPy ,BPD,DPC,APB,APC,因为 BDCD,可知BP sinPC sin，可 知 sin y sinsin xsin, （ 1）， ABAPACAP , 可知得到 sin ysinsin x sin（ 2），根据（ 1）、（ 2）得sinsin180 ，即BPDAPC 180 。s

9、insinsin ysin xsinsin证明 ( 二) （文武光华数学工作室潘成华给出）延长 CP交以 A为圆心， AB为半径的圆于 F , 直线 FA 交 BP于 G ,FACPPBC, , 因此GPCB , 于是 G在 A上，PFG PBC , 所以 APF DPB , 可知 APFBPD ,即 BPDAPCAPFAPC180 , 得证GAFPBDC例 6、已知 M是ABC 边 BC中点， AM 交ABC 外接圆 O于 D ,过点D作DE /BC交O于E,在AD上取点 F ,使得 FC AC.求证AFCEFCAAOOMMCCBFBFEDED证明 ( 一) （文武光华数学工作室南京潘成华）

10、因为 DE / / BC , 点 M 是 BC 中点，所以 ABEC 是调和四边形，易知直线AE 、过点 B、 C 切线共点，得到 MC 平分AMC ,ECF90ABEOAEPME 1 EMF ,因此 C是EMFP旁心，进而2AFCEFC .证明（二）因为 M 是 ABC 边 BC 中点，所以 S ABDSACD ,得到 AB BDAC CD,易知BCED 是等腰梯形，所以AB CEACBE , 根据托勒密定理可知2AB CEAB CE+AC BE =AE BC2BM AE , 得到 AB CE BMAE ，ABMAEC ,所以 ABM AEC ，所以EACBAD , 可知 EABCAD ,

11、取 AE中点 S, 同理可得ACSECBBAEDAC , 所以 CS与 AD交点设为 N, 则 N为 AF 中点，所以CN/EF ,于是EFCNCFAFCANSBMCFCJ /BD交 AD于J，所以DE证明（三）（田开斌老师）作ACJ BDCE ,JCEBDCBCE ,AFC90DAC90DBC90ECBJEC , 所以JJ、F 、 E、 C 四点共圆，因为JCEC , 所以 AFCEFCBMCFDE例 7、 已知 AD 是ABC 角平分线交BC 于 D ，ABD、ACD、ABC 外心分别是O1、 O2、 O , 求证 O1O=OO2AAO1O1O2O2OOBDCBDC证明易知O AB90AO

12、 O90ADC90B1 BACOACDAC112OAD ， BAO901 AOB90CDAO2 , 所以O1AO=O2 AO （1），又21ADC、AO2OADB，于是12ADC +ADB=180，所以AOOAOO +AO OA 、 O1、 O2、 O 四点共圆，根据（1）得到 O1O=OO2证明（二）记ABC三角 A、B、C，设直线BO1、 CO2交于 E，BCECACO2C (90ADC )C(90B 1A)B CA ,同理·EBCBC A,所以 BECE ，222BOO1ADC、 CO2OADB ，BOO +COOADC +ADB =18012EA所以 E、 O1、 O2、 O

13、 四点共圆得到 O1O=OO 2O1O2O例8、已知DC P 、 O 交于 A、 B , 四边形 ABCD 是平行四边形， C 在O上， PFBC交 AB于 F,直线 CF 交 O于G .求证E、 G、 D、 C四点共圆DADAKPPGOFGOFCECBE证明延长 DA 交等腰梯形， CFFGP 于点 AF FBK , 连接 KE 、 KB ，易知 AKBE 是等腰梯形，EFFK , 所以 K 、 G、 E、 C 四点共圆，因此DKEC是K、 G、 E、 C、D五点共圆 , 进而E、 G、 D、 C 四点共圆例 9、已知O、 I分别是ABC外心，内心，求证OIAI的充要条件是ABAC2BC,A

14、AOOIIC证明CB延长 AI 交圆 O于 D, 根据托勒密定理， AB?DC+AC?BDBD=AD?BC(1), 因为 OIAI ，所以 AI=ID, 由（ 1）得：（ AB+AC)?BD=BC?2DI, 因为 BID= IBD, 于是 BD=DI,所以 AB+AC=2BC此题，若 O，I 分别是 ABC外心，内心， AB+AC=2BC，求证 OI AI证明方法是一样的例 10 、 P 为 ABC 外接圆上一点，P在 BC、AC上的射影为 D、E. 点 L、M 分别是 AD、 BE 中点。证明 DE LM .AALLN证明取AB 中点N ，连接MN 、 NL、 AP、 BP , 易知BPD

15、APE ，所以DPPEBDAE,所以DPPENLMN, 可知MNLEPD , 所以DELM第十题、已知M是ABC边 BC 中点，AM交ABC外接圆O于D,过点D作 DE / /BC 交O 于E ,在AD 上取点F ,使得FCAC.求证AFCEFC例 11、已知（文武光华数学工作室南京于S,O弦AB切 I 于T ,点P是 AI 延长线上一点,潘成华）O、I外切求证BPAB 充要条件是TSSP. （2014 6 8 8：49 于镇江大港中学）PPBBOOARASQSTTII证明（文武光华数学工作室南京 潘成华）过 S 作两圆公切线交 AT 于 Q ,线段 AS、QI 交于 R , TSSP 等价于

16、 IR / / PS , 等价于 APAIASAR, 因为QTRQSAABS , 得到 TR /BS, 因此， AIAR 等价于AIAT, 等价于APASAPAPIT /BP ,即 BPAB例 12、刚才看了一下 20XX年第 5 期中等数学数学奥林匹克问题（高） 383，不难，我把解答写一下已知 H是锐角ABC 的垂心，以 AH 、 AB 为直径的圆交BHC 外接圆于 D、 E , 直线 AD交BC于G ,直线 AE、HC 交于 F,求证 GF / /BHAAHDEMHDEFFBGCBGCOJN证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设BHC 外接圆为 O ,直线 AG交O于N ,所以 H、O、

17、N 共线，延长 CH 交AB于点 M ,易知A、M、H、D 四点共圆，所以BADDHCANC , 所以 AB / /CN , 同理 BN / / AC ,所以 ABNC 是平行四边形，得到 G 是 BC、 AN 中点，连接 AF 交 O 于 J , 因为 BE AF , 可知 B、 O、J 共线，所以 OG 是 AHN 、 BJC 中位线，得到 AH 、 CJ 平行且相等，所以 F 是 HC 中点，可知 GF / /BH例 13、（文武光华数学工作室南京潘成华）设 ABC 周长为 2 p ，AEAF pAC ，求证 ABC 的 C旁切圆与ABC 外接圆外切。（ 2014-6-12 8：56）证

18、明设 ABC 的C旁切圆切直线 EF、 AB、 AC 于 D、L、M , AC 交 AEF 外接圆于N ,直线 AD交 ABC 的C旁切圆于 K ,AF 2AL2AD AK,所以 AFD AKF ,所以AKFAFDAEF180ANF , 所以点 K 在 AEF 外接圆外接圆上，因为A是BAF 中点，所以点 K 是两圆的切点，即ABC的C旁切圆与 ABC 外接圆外切。CFEBACFNEBLA例 14、CDAB 于D ， H、O 是ABC 垂心，外心，ODDE 交 AC 于 E ，求证BACDHECCOOHHEEABDBDAKJ证明 (一) 延长 CD 交 O 于 J ,延长 ED 交 BJ 于

19、K ,根据蝴蝶定理可知 DEDK ,根据鸭爪定理可知 DHDJ ,所以 HE / /BJ ,等腰BACBJDDHE .证明（二）在 BD 取 S 使得 DS AD ,所以SCDACDBCO ,设 BH、CS 交于 T ,CBODBT ,根据等角共轭点性质，可知CDTBDOCDE ,又CDBHACDCDS ,可知 C、 D、 S、 H 四点共圆，可知DHEDHTCSDABCOTHE例 15、第 47 届 IMO 预选，BASD如图，在梯形 ABCD 中， AB / /CD , ABCD , 点 K 、 L 分别在线段 AB、 CD 上，且AKDL分别在直线 KL 上，且APBADC ,CQDBA

20、D .KBLC , P、Q求证A、 D、P、 Q 四点共圆OJDLCPAKBQ证明（一）因为 AKDL，易知 AD、 QP、DC 共点，设为 O ,KBLC设 AQ 交圆 (DCQ ) 于J, CQDBADODC , 因此 QD是圆 (QDC ) 切线，APDADCDJC,所以DJ/AP,所以 PADODJAQP , 因此 A、 D、 P、 Q 四点共圆EDLCSPTXAYKBQ证明 （二）（文武光华数学工作室潘成华）因为 (AK/KB)=(DL/LC),AB/CD,根据位似知识可知AD、 QL、 BC的延长线共点，设为E, 过点 L 作 LX/AP 交 AD于 X, 作 LY/PB 交 BC

21、于 Y, 因此 XY/AB, 设 XL、 DQ交于 S,LY、QC交于 T,根据 Menelaus 定理可知 (XS/SL)=(XD/DE)*(EQ/LQ)=(YC/CE)*(EQ/LQ)=(YT/TL), 于是 ST/XY,SQT+ SLT=DAB+ADC=180°, 所以 L、 S、Q、T 四点共圆，易知 SQL= STL=XYL= ABP=180°- APB- BAP=180° - ADC-BAPDAP,进而 A,D,P,Q 四点共圆例 16、20XX年西部数学奥林匹克几何题已知 ABC外心、垂心分别是O 、 H , ADBC 于 D ,AO 中垂线交 CB

22、 延长线于 E . 求证AEF 外接圆过 OH 中点 .AAFFOMOHHEBDECBDKC证明（文武光华数学工作室南京潘成华）取 OH 、 BC 中点M 、K, 根据欧拉定理可知 AH2OK 、AH / /OK ,所以MF OK、MF / /OK , 所以 MKOFAF ,又易知 MD MK , 所以 AF MD , 因此 AFMD 是等腰梯形，可知 A、 F、 M 、 D 四点共圆，因为 A、 F、 E、 D 四点共圆，所以 M 在 AEF 外接圆上 , 即 AEF 外接圆过 OH 中点M.例 17、已知两同心圆，从大圆上一点A作 AB、AC 切小圆于 B、C ,直线 AC 交大圆于 D

23、. 求证 AE2BE2DECEAABCEBCEODSD证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设两圆圆心O ,延长 AB、AC 交 AB、 AC分别交大圆于 S、 D , 所以 BC 是 ASD 中位线，DAEDSEBEC ,BSEADE , 所以 ADE ESB ,所以AEDEDEAE 2BE2BE 2BEBEBSDC , 所以 DE2DC2 ,结论等价于 DC 2CE ，等价于DC 2BE CE ,因为 DC2DO 2OC 2EO 2OC 2BE CE 得证例 18、（ 日本数学奥林匹克几何题）已知如图，点 D、 E 分别是 AB、 AC 上两点，且 ADCE过点D、 E分别作DBAEAC、

24、AB 的平行线交过点 A 作 ABC 外接圆的切线分别于 H 、 I , 延长直线 DE 交ABC 外接圆于 F 、 G求证（ 1）H、F、G、I四点共圆， (2)BC是切线（HFG）HHAAIIGEGEDDFFBCBJC证明 因为HG / /AC,AD / /EI, 因为ADCEDBAE ，所以直线 DH 、 EI 交点必在 BC 上设为J, ABCIACAHJ , 所以 A、 H 、B、 J 四点共圆，同理 A、 I、 C、 J 四点共圆 AD DBHD DJGD DF 因此 H 、F、J、G 四点共圆同理 I、 F、J、G 四点共圆，于是 H 、 F、 G、 I 四点共圆， AJBACB

25、HABAIJ , 所以 BC 是切线（HFG）例 19、已知 AB、 AC 分别是圆 O 两切线、AB于D, DF 切O于E,交BC延长线于 F.B、 C 是切点，CD 平分ACB,交求证BC3CFAADHDEEBKBICF证明（文武光华数学工作室南京潘成华）连接 AO 交 BC 于 I , BE、 DO 交于K , 设线段 CD 交 O 于 H ，易知 I、 K 分别是 BC、BE 中点， A、 H 、 I、O 共线，根据配位中线知识可知ECDBCK , 所以ECAHCB , 又 BECBHC , 所以EKCHBCHCBECB , 进而 BE 2KE2EC ,又 ECF BFE,得到 BF2

26、EF4CF,即BC 3CF .A证明（二） ED 2DHDCDKDO ,所以DKE DCO ,DKHDCO , 所以HKEHBC , 所以HKE HBC , 可知DHEHCEACHACEBCHCBCHBCCBEHBK于是BKHCEH , 得到 CEBKKE , 下面同证法（一）例 20、回答广州陈泽桐老师几何题B K F CO已知 J 是ABC 的 A旁切圆， D、 E 是切点，点F 是 DE 延长线上一点，CF交 AB于G.则 FCAB的充要条件是FGABFGACBCACGFBEACGFBESDJRDJT证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设 JC、 DE 交于 S , BS 延长线交直线

27、AE于 R , CS 交直线 AD 于点 T , 三角形三角 A、 B、 C , 根据 Menelaus 定理 ADGFCE 1,DGCFAE所以 CFCE ,ABAB,CSE901ABC =DBJDCJ 所以FGDGACBCAEBD2B、 S、 J、 D 四点共圆，可知 BSCS , 可知 BS SR , 根据 Menelaus 定理 ,1,所以 ERBD ,sinCERADBSACABABABsin(B2,ABBDSRBCAEBDARC )2FCABECsin C(1) ，成立的充要条件是2FGACBCDGsin( BC )2ECECJCsin CJC,FGAB 等价于 JCTC11,DG

28、JCDG2DGDGTGsin GCTsin( AC )CC2即 ECsinsin根据（ 1）结论成立2C )2DG sin( Asin( BC )22例 21、已知：自 O 外一点 P 作切线 PA、PB 及割线 PCD ，自 C 作 PA 的平PEF 。行线，分别交 AB、AD 于 E、 F 。求证： CEPCAEBFOCAEBMFODD证明：联结 OA、 OB O，作 OMCD 于 M 。由垂径定理知CMMD 。由OAPOBPOMP90 ，得 A、B、M 都在以 PO 为直径的圆上，即 P、 A、M 、 B 四点共圆，ABMAPM 。而 CE / /PA ，得APMECM 由此ABMECM

29、 ，推出 B、 C、E、 M 四点共圆。得EMCEBC、而EBCD ，故EMCD ， EM / / AD 。在CDF 中，由中位线逆定理即得ECEF 。例 22、已知 A为 O 上一点， B 为圆外一点， BC、 BD 分别与 O 相切于C、D ， DEAO 于 E ， DE 分别交 AB、AC 于 F、G 。求证： DFFG 。BBDKDCFCMFGGOAAEOE证明：设 AB交 O于 K ，联结 OB、CD 交于 M 。则 OB 垂直平分 CD ，即 M 是 CD中点。联 KM 、KD、MF 。由 BKBABD 2BMBO ，得BKM BOA ，于是BMKBAO ，由此DMKAFEKFD ，得 K 、 M 、 F、 D 四点共圆，于是DMFDKFDCA ， MF / / CA 。因 M 是 DC 中点，故 F 也是 DG 中点，即 DF FG 。证毕例 23、已知 PA、PB 是 O 切线， A、 B 是切点， PCD 是割线， DJ / / AP 交 AB 于 J , 直线 JC 交 AP 于 I , 求证