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文档简介
1、“数值分析“计算实习大作业第三题SY1415215孔维鹏一、计算说明1、将xi=0.08i,yj=0.5+0.05j分别代入方程组(A.3)得到关于t,u,v,w的的方程组,调用离散牛顿迭代子函数求出与xi,yj对应的ti,uj。2、调用分片二次代数插值子函数在点(ti,uj)处插值得到z(xi,yj)=f(xi,yj),得到数表(xi, yj,fxi,yj)。3、对于k=1,2,3,4,分别调用最小二乘拟合子函数计算系数矩阵crs及误差,直到满足精度,即求得最小的k值及系数矩阵crs。4、将xi*=0.1i,yj*=0.5+0.2j分别代入方程组(A.3)得到关于t*,u*,v*,w*的的方
2、程组,调用离散牛顿迭代子函数求出与xi*,yj*对应的ti*,uj*,调用分片二次代数插值子函数在点(ti*,uj*)处插值得到z*(xi*,yj*)=f(xi*,yj*);调用步骤3中求得的系数矩阵crs求得p(xi*,yj*),打印数表xi*,yj*,fxi*,yj*,p(xi*,yj*)。二、源程序(FORTRAN)PROGRAM SY1415215DIMENSION X(11),Y(21),T(6),U(6),Z(6,6),UX(11,21),TY(11,21),FXY(11,21),C(6,6)DIMENSION X1(8),Y1(5),FXY1(8,5),PXY1(8,5),UX1
3、(8,5),TY1(8,5)REAL(8) X,Y,T,U,Z,FXY,UX,TY,C,E,X1,Y1,FXY1,PXY1,UX1,TY1OPEN (1,FILE='第三题计算结果.TXT') DO I=1,11 X(I)=0.08*(I-1)ENDDODO I=1,21 Y(I)=0.5+0.05*(I-1)ENDDO!*求解非线性方程组,得到z=f(t,u)的函数*DO I=1,11 DO J=1,21 CALL DISNEWTON_NONLINEAR(X(I),Y(J),UX(I,J),TY(I,J) ENDDOENDDO !*分片二次插值得到z=f(x,y)*DO I=
4、1,11 DO J=1,21 CALL INTERPOLATION(UX(I,J),TY(I,J),FXY(I,J) ENDDOENDDOWRITE (1,"('数表(x,y,f(x,y):')")WRITE (1,"(3X,'X',7X,'Y',10X,'F(X,Y)')")DO I=1,11 DO J=1,21 WRITE(1,'(1X,F5.2,2X,F5.3,2X,E20.13)') X(I),Y(J),FXY(I,J) ENDDO WRITE (1,"(&
5、#39;')")ENDDO!*最小二乘拟合得到P(x,y)*N=11M=21WRITE (1,'(" ","K和分别为:")')DO K=1,20 CALL LSFITTING(X,Y,FXY,C,N,M,K,K,E) WRITE (1,'(I3,2X,E20.13)') K-1,E IF(E<10E-7) EXITENDDOWRITE(1,'(" ")')WRITE(1,'("系数矩阵Crs(按行)为:")')DO I=1,K
6、 DO J=1,K WRITE (1,'(E20.13,2X,)') C(I,J) ENDDO WRITE (1,"('')") WRITE (*,"('')")ENDDODO I=1,8 X1(I)=0.1*IENDDODO J=1,5 Y1(J)=0.5+0.2*JENDDODO I=1,8 DO J=1,5 CALL DISNEWTON_NONLINEAR(X1(I),Y1(J),UX1(I,J),TY1(I,J) ENDDOENDDODO I=1,8 DO J=1,5 CALL INTERPOLAT
7、ION(UX1(I,J),TY1(I,J),FXY1(I,J) ENDDOENDDOPXY1=0DO I=1,8 DO J=1,5 DO II=1,K DO JJ=1,K PXY1(I,J)=PXY1(I,J)+C(II,JJ)*(X1(I)*(II-1)*(Y1(J)*(JJ-1) ENDDO ENDDO ENDDOENDDOWRITE(1,'(" ")')WRITE(1,'("数表(x,y,f(x,y),p(x,y):")')WRITE(1,"(2X,'X',6X,'Y',12
8、X,'F(X,Y)',14X,'P(X,Y)')")DO I=1,8 DO J=1,5 WRITE(1,'(F5.3,2X,F5.3,2X,E20.13,2X,E20.13)') X1(I),Y1(J),FXY1(I,J),PXY1(I,J) ENDDO WRITE (1,"('')")ENDDO CLOSE (1)END!*用离散牛顿法求解非线性方程组*SUBROUTINE DISNEWTON_NONLINEAR(X1,Y1,U,T)PARAMETER (N=4)REAL EPS !EPS为迭代精度
9、,M为最大迭代次数DIMENSION X(N),H(N),Y(N),JA(N,N),E(N),XK(N)REAL(8) JA,X,H,Y,E,XK,U,T,V,W,X1,Y1,E1,E2F1(T,U,V,W)=0.5*COS(T)+U+V+W-X1-2.67F2(T,U,V,W)=T+0.5*SIN(U)+V+W-Y1-1.07F3(T,U,V,W)=0.5*T+U+COS(V)+W-X1-3.74F4(T,U,V,W)=T+0.5*U+V+SIN(W)-Y1-0.79EPS=10E-12M=100X=1.0DO K=1,M H=1 !计算Y=F(x) Y(1)=F1(X(1),X(2),X(
10、3),X(4) Y(2)=F2(X(1),X(2),X(3),X(4) Y(3)=F3(X(1),X(2),X(3),X(4) Y(4)=F4(X(1),X(2),X(3),X(4) !计算JA(N,N) E=0.0 DO I=1,N DO J=1,N DO JJ=1,N IF(JJ=J) THEN E(JJ)=X(JJ)+H(JJ) ELSE E(JJ)=X(JJ) ENDIF ENDDO IF(I=1) THEN JA(I,J)=(F1(E(1),E(2),E(3),E(4)-F1(X(1),X(2),X(3),X(4)/H(J) ELSEIF(I=2) THEN JA(I,J)=(F2(
11、E(1),E(2),E(3),E(4)-F2(X(1),X(2),X(3),X(4)/H(J) ELSEIF(I=3) THEN JA(I,J)=(F3(E(1),E(2),E(3),E(4)-F3(X(1),X(2),X(3),X(4)/H(J) ELSEIF(I=4) THEN JA(I,J)=(F4(E(1),E(2),E(3),E(4)-F4(X(1),X(2),X(3),X(4)/H(J) ENDIF ENDDO ENDDO !求解线性方程组 CALL GAUSS(JA,XK,-Y,N) !判断精度 CALL NORM(XK,N,E1) CALL NORM(X,N,E2) IF(E1
12、/E2<=EPS) THEN T=X(1) U=X(2) EXIT ELSE DO I=1,N X(I)=X(I)+XK(I) ENDDO ENDIFENDDO RETURN END!*列主元高斯消去法求解线性方程组*SUBROUTINE GAUSS(A,X,B,N)DIMENSION A(N,N),B(N),X(N),T(N,N),TB(N)REAL M(N,N)REAL(8) A,B,X,T!消元过程DO K=1,N-1TA=A(K,K)TL=K DO L=K+1,NIF (A(L,K)>TA).OR.(A(L,K)=TA) THENTA=A(L,K)TL=LDO J=K,NT
13、(K,J)=A(K,J)A(K,J)=A(TL,J)A(TL,J)=T(K,J)ENDDOTB(K)=B(K)B(K)=B(TL)B(TL)=TB(K)ENDIFENDDODO I=K+1,NM(I,K)=A(I,K)/A(K,K)A(I,K)=0DO J=K+1,NA(I,J)=A(I,J)-M(I,K)*A(K,J)ENDDOB(I)=B(I)-M(I,K)*B(K)ENDDOENDDO!回代过程X(N)=B(N)/A(N,N)DO K=N-1,1,-1S=0.0DO J=K+1,NS=S+A(K,J)*X(J)ENDDOX(K)=(B(K)-S)/A(K,K)ENDDO RETURNEN
14、D!*求向量的无穷范数*SUBROUTINE NORM(X,N,A)DIMENSION X(N)REAL(8) X,AA=ABS(X(1)DO I=2,N IF(ABS(X(I)>ABS(X(I-1) THEN A=ABS(X(I) ENDIFENDDORETURNEND!*分片二次代数插值*SUBROUTINE INTERPOLATION(U,V,W) PARAMETER (N=6,M=6)DIMENSION X(N),Y(M),Z(M,N),LK(3),LR(3)REAL(8) X,Y,Z,H,TREAL(8) U,V,W,LK,LR !U,V分别为插值点处的坐标,W为插值结果INT
15、EGER R!*数据赋值*DATA Y/0.0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0/DATA X/0.0,0.4,0.8,1.2,1.6,2.0/DATA Z/-0.5,-0.42,-0.18,0.22,0.78,1.5,& &-0.34,-0.5,-0.5,-0.34,-0.02,0.46,& &0.14,-0.26,-0.5,-0.58,-0.5,-0.26,& &0.94,0.3,-0.18,-0.5,-0.66,-0.66,& &2.06,1.18,0.46,-0.1,-0.5,-0.74,& &3.5
16、,2.38,1.42,0.62,-0.02,-0.5/ H=0.4T=0.2!*计算K,R*IF(U<=X(2)+H/2) THEN K=2 ELSEIF(U>X(N-1)-H/2) THEN K=N-1 ELSE DO I=3,N-2 IF(U>X(I)-H/2).AND.(U<=X(I)+H/2) THEN K=I ENDIF ENDDOENDIFIF(V<=Y(2)+T/2) THEN R=2 ELSEIF(V>Y(M-1)-T/2) THEN R=M-1 ELSE DO J=3,M-2 IF(V>Y(J)-T/2).AND.(V<=Y(J
17、)+T/2) THEN R=J ENDIF ENDDOENDIFI=KJ=RLK(1)=(U-X(I)*(U-X(I+1)/(X(I-1)-X(I)/(X(I-1)-X(I+1)LK(2)=(U-X(I-1)*(U-X(I+1)/(X(I)-X(I-1)/(X(I)-X(I+1)LK(3)=(U-X(I)*(U-X(I-1)/(X(I+1)-X(I)/(X(I+1)-X(I-1)LR(1)=(V-Y(J)*(V-Y(J+1)/(Y(J-1)-Y(J)/(Y(J-1)-Y(J+1)LR(2)=(V-Y(J-1)*(V-Y(J+1)/(Y(J)-Y(J-1)/(Y(J)-Y(J+1)LR(3)=(
18、V-Y(J)*(V-Y(J-1)/(Y(J+1)-Y(J)/(Y(J+1)-Y(J-1)W=0DO K=1,3 DO R=1,3 W=W+LK(K)*LR(R)*Z(J+R-2,I+K-2) ENDDOENDDORETURNEND !*最小二乘拟合子函数*SUBROUTINE LSFITTING(X,Y,Z,A,N,M,P,Q,DT1)INTEGER P,QDIMENSION X(N),Y(M),Z(N,M),A(P,Q)DIMENSION APX(20),APY(20),BX(20),BY(20),U(20,20),V(20,M)DIMENSION T(20),T1(20),T2(20)RE
19、AL(8) X,Y,Z,A,DT1 DO I=1,P DO J=1,Q A(I,J)=0.0 ENDDOENDDOIF(P>N) P=NIF(P>20) P=20IF(Q>M) Q=MIF(Q>20) Q=20XX=0YY=0D1=NAPX(1)=0.0DO I=1,N APX(1)=APX(1)+X(I)ENDDOAPX(1)=APX(1)/D1DO J=1,M V(1,J)=0.0 DO I=1,N V(1,J)=V(1,J)+Z(I,J) ENDDO V(1,J)=V(1,J)/D1ENDDOIF(P>1) THEN D2=0.0 APX(2)=0.0 DO
20、 I=1,N G=X(I)-APX(1) D2=D2+G*G APX(2)=APX(2)+(X(I)-XX)*G*G ENDDO APX(2)=APX(2)/D2 BX(2)=D2/D1 DO J=1,M V(2,J)=0.0 DO I=1,N G=X(I)-APX(1) V(2,J)=V(2,J)+Z(I,J)*G ENDDO V(2,J)=V(2,J)/D2 ENDDO D1=D2ENDIFDO K=3,P D2=0.0 APX(K)=0.0 DO J=1,M V(K,J)=0.0 ENDDO DO I=1,N G1=1.0 G2=X(I)-APX(1) DO J=3,K G=(X(I)-
21、APX(J-1)*G2-BX(J-1)*G1 G1=G2 G2=G ENDDO D2=D2+G*G APX(K)=APX(K)+X(I)*G*G DO J=1,M V(K,J)=V(K,J)+Z(I,J)*G ENDDO ENDDO DO J=1,M V(K,J)=V(K,J)/D2 ENDDO APX(K)=APX(K)/D2 BX(K)=D2/D1 D1=D2ENDDOD1=MAPY(1)=0.0DO I=1,M APY(1)=APY(1)+Y(I)ENDDOAPY(1)=APY(1)/D1DO J=1,P U(J,1)=0.0 DO I=1,M U(J,1)=U(J,1)+V(J,I)
22、ENDDO U(J,1)=U(J,1)/D1ENDDOIF(Q>1)THEN D2=0.0 APY(2)=0.0 DO I=1,M G=Y(I)-APY(1) D2=D2+G*G APY(2)=APY(2)+(Y(I)*G*G ENDDO APY(2)=APY(2)/D2 BY(2)=D2/D1 DO J=1,P U(J,2)=0.0 DO I=1,M G=Y(I)-APY(1) U(J,2)=U(J,2)+V(J,I)*G ENDDO U(J,2)=U(J,2)/D2 ENDDO D1=D2ENDIFDO K=3,Q D2=0.0 APY(K)=0.0 DO J=1,P U(J,K)=
23、0.0 ENDDO DO I=1,M G1=1.0 G2=Y(I)-APY(1) DO J=3,K G=(Y(I)-APY(J-1)*G2-BY(J-1)*G1 G1=G2 G2=G ENDDO D2=D2+G*G APY(K)=APY(K)+Y(I)*G*G DO J=1,P U(J,K)=U(J,K)+V(J,I)*G ENDDO ENDDO DO J=1,P U(J,K)=U(J,K)/D2 ENDDO APY(K)=APY(K)/D2 BY(K)=D2/D1 D1=D2ENDDOV(1,1)=1.0V(2,1)=-APY(1)V(2,2)=1.0DO I=1,P DO J=1,Q A(
24、I,J)=0.0 ENDDOENDDODO I=3,Q V(I,I)=V(I-1,I-1) V(I,I-1)=-APY(I-1)*V(I-1,I-1)+V(I-1,I-2) IF(I>=4) THEN DO K=I-2,2,-1 V(I,K)=-APY(I-1)*V(I-1,K)+V(I-1,K-1)-BY(I-1)*V(I-2,K) ENDDO ENDIF V(I,1)=-APY(I-1)*V(I-1,1)-BY(I-1)*V(I-2,1)ENDDODO I=1,P IF(I=1) THEN T(1)=1.0 T1(1)=1.0 ELSEIF(I=2) THEN T(1)=-APX(1
25、) T(2)=1.0 T2(1)=T(1) T2(2)=T(2) ELSE T(I)=T2(I-1) T(I-1)=-APX(I-1)*T2(I-1)+T2(I-2) IF(I>=4) THEN DO K=I-2,2,-1 T(K)=-APX(I-1)*T2(K)+T2(K-1)-BX(I-1)*T1(K) ENDDO ENDIF T(1)=-APX(I-1)*T2(1)-BX(I-1)*T1(1) T2(I)=T(I) DO K=I-1,1,-1 T1(K)=T2(K) T2(K)=T(K) ENDDO ENDIF DO J=1,Q DO K=I,1,-1 DO L=J,1,-1 A(
26、K,L)=A(K,L)+U(I,J)*T(K)*V(J,L) ENDDO ENDDO ENDDOENDDODT1=0.0DO I=1,N X1=X(I) DO J=1,M Y1=Y(J) X2=1.0 DD=0.0 DO K=1,P G=A(K,Q) DO KK=Q-1,1,-1 G=G*Y1+A(K,KK) ENDDO G=G*X2 DD=DD+G X2=X2*X1 ENDDO DT=DD-Z(I,J) DT1=DT1+DT*DT ENDDOENDDO RETURNEND 三、计算结果数表(x,y,f(x,y): X Y UX TY F(X,Y) 0.00 0.500 1.345 0.243
27、 0.4465040260217E+00 0.00 0.550 1.322 0.269 0.3246832410866E+00 0.00 0.600 1.299 0.295 0.2101596387135E+00 0.00 0.650 1.277 0.322 0.1030436532994E+00 0.00 0.700 1.255 0.350 0.3401912404030E-02 0.00 0.750 1.235 0.377 -0.8873582055387E-01 0.00 0.800 1.215 0.406 -0.1733716589358E+00 0.00 0.850 1.196 0.
28、434 -0.2505346523772E+00 0.00 0.900 1.177 0.463 -0.3202764787154E+00 0.00 0.950 1.159 0.492 -0.3826681228086E+00 0.00 1.000 1.142 0.521 -0.4377957495101E+00 0.00 1.050 1.125 0.550 -0.4857588795274E+00 0.00 1.100 1.109 0.580 -0.5266672522606E+00 0.00 1.150 1.093 0.609 -0.5606385181100E+00 0.00 1.200
29、1.079 0.639 -0.5877965434618E+00 0.00 1.250 1.064 0.669 -0.6082697644452E+00 0.00 1.300 1.050 0.699 -0.6221894327719E+00 0.00 1.350 1.037 0.729 -0.6296883895048E+00 0.00 1.400 1.024 0.759 -0.6308997691168E+00 0.00 1.450 1.011 0.790 -0.6259561598452E+00 0.00 1.500 1.000 0.820 -0.6149885531129E+00 0.0
30、8 0.500 1.415 0.228 0.6380152050067E+00 0.08 0.550 1.391 0.253 0.5066117295708E+00 0.08 0.600 1.368 0.279 0.3821763157102E+00 0.08 0.650 1.346 0.306 0.2648635435247E+00 0.08 0.700 1.325 0.333 0.1547802220057E+00 0.08 0.750 1.304 0.360 0.5199267859948E-01 0.08 0.800 1.284 0.388 -0.4346806749373E-01 0
31、.08 0.850 1.265 0.416 -0.1316011021416E+00 0.08 0.900 1.246 0.444 -0.2124310552929E+00 0.08 0.950 1.229 0.473 -0.2860046192736E+00 0.08 1.000 1.211 0.502 -0.3523860630008E+00 0.08 1.050 1.194 0.531 -0.4116553841229E+00 0.08 1.100 1.178 0.560 -0.4639049136278E+00 0.08 1.150 1.163 0.589 -0.50923678297
32、93E+00 0.08 1.200 1.148 0.619 -0.5477611307544E+00 0.08 1.250 1.133 0.649 -0.5795943699592E+00 0.08 1.300 1.119 0.679 -0.6048572233071E+00 0.08 1.350 1.106 0.709 -0.6236734340898E+00 0.08 1.400 1.093 0.739 -0.6361682760837E+00 0.08 1.450 1.080 0.769 -0.6424676727883E+00 0.08 1.500 1.068 0.799 -0.642
33、6971176492E+00 0.16 0.500 1.483 0.214 0.8400813766831E+00 0.16 0.550 1.460 0.239 0.6997641125864E+00 0.16 0.600 1.437 0.264 0.5660613612391E+00 0.16 0.650 1.414 0.290 0.4391716517306E+00 0.16 0.700 1.393 0.316 0.3192421655770E+00 0.16 0.750 1.372 0.343 0.2063761909359E+00 0.16 0.800 1.352 0.370 0.10
34、06384973112E+00 0.16 0.850 1.333 0.398 0.2060692397577E-02 0.16 0.900 1.315 0.426 -0.8935398464083E-01 0.16 0.950 1.297 0.454 -0.1736270461058E+00 0.16 1.000 1.279 0.483 -0.2507999539520E+00 0.16 1.050 1.262 0.512 -0.3209321867511E+00 0.16 1.100 1.246 0.541 -0.3840977416274E+00 0.16 1.150 1.231 0.57
35、0 -0.4403822530309E+00 0.16 1.200 1.216 0.600 -0.4898811730659E+00 0.16 1.250 1.201 0.629 -0.5326979436866E+00 0.16 1.300 1.187 0.659 -0.5689418288271E+00 0.16 1.350 1.174 0.689 -0.5987265475032E+00 0.16 1.400 1.161 0.718 -0.6221686739756E+00 0.16 1.450 1.148 0.748 -0.6393865589031E+00 0.16 1.500 1.
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