线性代数：第5章 相似矩阵第1节_第1页
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文档简介

1、第五章 相似矩阵第一节 特征值与特征向量第二节 相似矩阵第三节 向量的内积第四节 实对称矩阵的对角化概念求法性质AX = X其中，A为n阶矩阵 X为n维非零向量特征向量特征向量特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法由定义可知是n n 阶矩阵A 的特征值阶矩阵A 的特征值0 使齐次线性方程组有非零解 。(A-E)X det0 是满足的值。(A-E)特征矩阵特征矩阵 n对 阶方阵 ，含有未知量的矩阵。AAE detn的一个 次多项式( -)。AE特征多项式特征多项式det()0 。AE特征方程特征方程求特征值和特征向量的步骤求特征值和特征向量的步骤(1) det()计算特征多项式AE12(2

2、) det()0, n解特征方程求得特征值 ， ， ，AE(3) ()0 ii对每一个 ，求解方程组的基础解系AE X =121122, iiiiiiriiririkkk为则为的属于特征值 基础解系的全部特征向量XXXXXXA比如比如性质性质1 1111 ( ,0) tttkkkk不全为也是的特征向量X =XXA1 ,t为的一个特征值，为属于特征值 特征向量AXX ,n 12的特征值为A111d et()niiniiiiinaA等式两边同次幂系数必相等迹性质性质性质性质4 4即教材定理即教材定理2 2性质性质3 301( )mmf xaa xa x为特征值为相应特征向量X01( )( ),mm

3、faaaf的特征值为特征向量为AEAAX不同特征值所对应的特征向量线性无关不同特征值所对应的特征向量线性无关证明？证明？1,mm1设是互不相等的特征值，相应特征向量为。XXm对 用数学归纳法1X ,Xm线性无关110 m 当时， 结论成立,Xmk假设时结论成立11111, kkkkkkkkmkcc1111当时，设线性相关线性无关可由线性表示1120,0kkac cc不全为证证1111 1111kkkkkkkkkkkcccccc111两边同时左乘AAA1111()(0)kkkkkcc1111111(1,2, ), ,0()()0,ikkkkkkkikcccc1不全为，不全为线性相关1,kkk11与线性无关矛盾所以，线性无关性质性质5 5112, ,(1,2,)imiiirnmim是 阶矩阵 的 个互异特征值线性

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