太阳能小屋设计第六组

1、2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书

2、籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：S13006所属学校（请填写完整的全名）：河南科技学院参赛队员(打印并签名) ：1.姜慧芳 2. 许朝阳 3.董文涛指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：数学建模指导小组 日期：2012年9月10日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编

3、号（由全国组委会评阅前进行编号）：太阳能小屋的设计摘要太阳能是一种清洁的能源，它的应用正在世界范围内快速地增长。利用太阳光发电就是一种使用太阳能的方式，可是目前建一个太阳能发电系统的成本还是较高的。本题主要是在设计太阳能小屋的电池组件的分布时，在坚持节省成本的基础上，为了更加充分有效地利用太阳能，建立优化模型，以实现太阳能发电量较大。我们的想法如下：对于问题一，我们在合理假设的基础上，建立了双目标的整数线性规划模型。具体是以年发电量最大和单位发电量费用最小为目标，再用面积和电池的连接加以约束。但是此模型计算繁琐，故为了方便计算而简化该模型，然后用lingo软件对其进行求解，得出电池组件的数量分

4、布情况。通过人为地对两目标进行加权，以发电量大和空间利用率大为原则，分组排列出较优的电池组件铺设方案。用逆变器的额定功率和允许输入电压的范围对电池组件连接加以约束，求出较优的电池组件连接方案。于是我们可以求出最大年发电量和最小投资，根据条件中给出的条件容易算出，小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益及投资回收年限。对于问题二，通过比较东、南、西、北四个方位接受的年太阳辐射总量，我们发现南向面受到的年太阳辐射量远远多于其他三面，故我们取光伏组件的方位角为正南方。我们提出年最佳倾角这个概念，即是电池组件架空时与水平面的夹角，而太阳高度角是太阳相对于地平线的高度角，我们可以通过求解太阳高度角

5、来确定年最佳倾角。然后对问题一中的整数优化模型进行改进，较之问题一，问题二中光伏电池的受辐射面积改变了，只把问题一的数学模型中光伏电池的受辐射面积改成架空后的受辐射面积，便能够用类似的方法求接出架空安装时的最大年发电量和最小投资，以及小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益及投资回收年限。对于问题三，题中已给出要设计的太阳能小屋的建筑要求，问题二中也给出年最佳倾角和较好的方位角，以发电量最大为目标，使小屋的屋顶的倾角等于年最佳倾角，开门窗在年辐射强度较小的方位上。用和问题一同样的方法对小屋外表面优化铺设光伏电池，给出铺设方案及连接方案，易得小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益及

6、投资回收年限。在模型的推广问题上，问题二中在确定年最佳倾角是，可以更加详细地加上地势环境、季节等影响因素，这个可作为深入研究的一个方向。关键词： 最优分布 整数线性规划模型年最佳倾角 lingo算法一、问题的重述在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。光伏电池每峰瓦的实际发电效率受到很多因素的影响，如太阳辐射强度、环境、建筑物所处的地理纬度、安装部位及方式（贴附或架空）等。参考附件提供的数据，我们主要解决下列三个问题，并分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发

7、电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限。根据要求：在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联；在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。我们要对以下三个问题进行考虑。问题1：根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。问题2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，我们选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。问题3：根据附件给出的小屋建筑要求，我们要为大同市重新设计一个小

8、屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。二、合理的假设1 假设除门窗外小屋其他地方都可以铺设光伏电池；2 假设额定功率是在辐射度为1000W/,光谱为AM1.5，温度为25标准下测试结果；3 在实际发电量计算时可以不考虑AM值的影响，根据电池表面接收到的太阳总辐射量参数进行计算即可；4 假设小屋四面的门窗都是规则的；5 假设太阳高度角不受地球自转的影响；6 假设光伏电池寿命约为35年。三、符号的说明m第m部分的编号；n第n组连接方式编号；i第i种电池的编号；j第j种逆变器的编号； 第n种连接方式中连接到逆变器j上的第i

9、种电池的数目； 第i种电池的转换效率； 第j种逆变器的逆变效率（直流变交流时） 第i种电池的单位面积；第n组连接方式中第j种逆变器的数目;第i种电池的单价； 第j种逆变器的单价；小屋第部分所对应的单位面积的太阳辐射量；小屋第m部分的表面积；第j种逆变器允许输入电压的下限；第j种逆变器允许输入电压的上限；小屋第m部分上第i种电池数目；阳高度角；为时角；赤纬角，也称为太阳赤纬，即太阳直射纬度；为当地的纬度(大同的纬度为);年最佳倾角；太阳时；Q光伏电池35年内总发电量；z1光伏电池的年发电量。四、模型的建立与求解1问题一1.1求解电池组件数量分布建立整数线性规划模型表1：各方位年辐射量（w/平方米

10、）方位东南西北年辐射量594213.541050165.66881238.3011261478.82由表1可知，北立面的年太阳辐射量较低，从投资收益角度上来看对北立面铺设电池组件意义不大，所以我们舍弃对北立面进行电池组件铺设的计划。我们按附录中给出的顺序对电池、逆变器进行编号，对给出的电池及逆变器的三组连接方式也进行编号，将小屋的外表面分割，并对每部分进行编号。首先按照题目中要求的年发电量最大和单位发电量费用最小为目标，即：建立约束条件：1、所有电池的面积之和不应小于太阳能小屋的有效面积，即：2、并联的光伏组件端电压相差不应超过10%，所以我们要求不同类型电池组件尽量不并联，且两并联分支的所串

11、联电池组件的数目应大致相等；则在三种连接方式里，应满足连接好的电池组件的电压应在所选择的逆变器允许输入电压范围内，即： (j=1,2,318)13、在三种连接方式里，应满足连接好的电池组件的功率和应不超过所选择的逆变器的额定功率，即： （n=1,2,3; j=1,2,3,18）4、必须为整数；模型的简化由于资源的有限，时间的紧迫，为了方便计算，对上述双目标整数规划模型进行简化如下：目标：小屋的每部分外表面上的电池组件的年发电量（直流）最大；约束条件：1、小屋的该部分外表面上的电池组件的总面积不得大于该部分外表面的面积；2、为整数；模型的编程和求解用lingo软件编程，求出小屋各个部分（除北立面

12、外）上第i种电池数目（i=1,2，24）。求解结果如下：表2：小屋各部分的第i中电池数目电池型号南向面东向面西向面前倾屋顶后倾屋顶A100000A211010A3201717185A412111A500010A600000B100000B200000B300000B400000B500000B600000B700000C100000C200000C300000C400000C500000C601017820C710100C800000C900000C1000000C1100000因为，该模型很简略，很多地方考虑并不周全，故求解的结果不能严格执行，只能作为参考，故问题二和问题三种不再考虑数量要求

13、。21.2求解电池组件的铺设方案电池组件的铺设模型考虑已建成模型的目标与约束要求，对小屋的每块表面积进行铺设电池组件，对于模型一中的两个目标，我们考虑给它们加权，且我们决定发电量大这个目标权重较大；具体原则是光电转换率大且面积较小的优先。（图1）通过对比分析图1，我们发现A3较为理想，A4、B1次之；并且在铺设电池组件过程中先使用A类、B类电池组件铺设大片面积，之后再用C类电池组件填充小面积。电池组件的铺设方案下面是小屋各个表面电池组件铺设情况：前倾屋顶（南向）电池组件优化铺设图如下：（图2）后倾屋顶（北向）电池组件优化铺设图如下：（图3）南立面电池组件优化铺设图如下：（图4）东立面电池组件优

14、化铺设图如下：（图5）西立面电池组件优化铺设图如下：（图6）1.3求解电池组件的连接方案电池组件的连接模型下面要实现电池组件的串并联和搭配逆变器的选择；因为并联电压相差不能超过10%，所以我们尽量使同种类型电池组件间进行并联，并使并联的几支中串联的同种型号电池组件个数相同；在选择逆变器上，我们要求逆变器利用率最大，即在逆变器自身客观条件允许的情况下连接尽可能多的电池组件；另外在前面的那些前提下还要兼顾逆变器的价格，以使投资成本尽量小。3电池组件的连接方案综上所述看，我们可以找到较好的一种组件连接方式如下：前倾屋顶（南向）电池组件优化连接：1.型号为SN17的逆变器连接一个有三个分支的并联，每个

15、分支均由17个型号为A3的电池组件串联而成；2.型号为SN11的逆变器连接一个串联，该串联由8个型号为C6的电池组件串联而成。后倾屋顶（北向）电池组件优化连接：1.型号为SN17的逆变器连接一个有两个分支的并联，每个分支均由18个型号为C6的电池组件组成；2.型号为SN11的逆变器连接一个串联，该串联由6个型号为A3的电池组件串联而成。南立面电池组件优化连接：1.型号为SN17的逆变器连接一个串联，该串联由7个型号为A3的电池组件串联而成；2.型号为SN11的逆变器连接一个串联，该串联由3个型号为C2的电池组件串联而成；3.型号为SN17的逆变器连接一个串联，该串联由23个型号为C6的电池组件

16、串联而成；4.型号为SN3的逆变器连接一个有三个分支的并联，每个分支均由4个型号为C7的电池组件串联而成。东立面电池组件优化连接：1.型号为SN17的逆变器连接一个串联，该串联由15个型号为A3的电池组件串联而成；2.型号为SN17的逆变器连接一个串联，该串联由11个型号为C6的电池组件串联而成。西立面电池组件优化连接：1.型号为SN17的逆变器连接一个串联，该串联由13个型号为A3的电池组件串联而成；2.型号为SN17的逆变器连接一个串联，该串联由17个型号为C6的电池组件串联而成。1.4计算35年寿命期内的发电总量、经济效益及投资的回收年限数学公式模型在此已给定的优化图的基础上，可计算出小

17、屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限。根据以下公式：（1）35年寿命期内的发电总量=年发电总量*（10+15*90%+10*80%）即Q=z1*（10+15*90%+10*80%）（2）年发电总量=小屋每块表面积上每种电池的总面积*该面积对应的辐射强度*光电转换率*交流电转化率即（3）35年内经济效益=35年寿命期内的发电总量*交流电单价（0.15元/kwh）-投资费用Z=0.15*Q-z2（4）投资费用=电池组件购买费用+逆变器购买费用（5）令k年内经济效益为0，即投资费用=年发电总量*交流电单价*k，若求出的k<=10，则

18、k即为所求投资的回收年限；若25>k>10,则再令k年内经济效益为0，即投资费用=年发电总量*交流电单价*10+(k-10)*90%若求出k满足25>k>10,则满足题意，否则再令投资费用=年发电总量*交流电单价*10+15*90%+(k-10)*80%若求得的35>k>25,则满足题意，否则就算投资失败求解代入数据，经计算得：35年寿命期内的发电总量=(kw.h)35年内经济效益=(元)k<1,即在一年内即可收回投资成本。42问题二此题与第一题的差别在于要找一个最好的倾角并使电池组件朝向一个好的方位，我们用年太阳辐射强度来判断这个好的倾角较好的方位。

19、由于小屋墙体上不易架空铺设电池组件，后倾屋顶面积较小，为了简化模型，我们只考虑前倾屋顶铺设优化问题，即四壁仍是贴附铺设。2.1最佳方位角的选取分析附件中的资料，我们整理出东、南、西、北四个方位的年辐射强度如下：各方位年辐射强度（w/平方米）方位东南西北年辐射强度594213.541050165.66881238.3011261478.82通过对比分析，容易得到南向面的年辐射强度值较大，故我们选正南方为最佳方位角。2.2年最佳倾角的选取5倾斜角是太阳电池方阵平面与水平地面的夹角，并希望此夹角是方阵一年中发电量为最大时的最佳倾斜角度，称之为年最佳倾角。 一年中的最佳倾斜角与当地的地理纬度有关，当纬

20、度较高时，相应的倾斜角也大；但是也要考虑到屋顶的倾斜角等方面的限制条件。我们取一年中太阳辐射强度最大的那一天及那天里太阳辐射强度最大的那一小时来计算这个年最佳倾角；另外，我们知道太阳高度角是太阳相对于地平线的高度角，这是以太阳视盘面的几何中心和理想地平线所夹的角度，且年最佳倾角和太阳高度角是互余的，所以可以通过求太阳高度角来求得这个年最佳倾角。（1）太阳高度角可以使用下面的算式，经由计算得到很好的近似值：其中为太阳高度角，为时角，为当时的太阳赤纬，为当地的纬度(大同的纬度为)。（2）赤纬角也称为太阳赤纬，即太阳直射纬度，其计算公式近似为其中为日期序号，例如，1月1日为，3月22日为。（3）时角

21、是以正午12点为0度开始算，每一小时为15度，上午为负下午为正，即10点和14点分别为-30度和30度。因此，时角的计算公式为其中为太阳时（单位：小时）。我们取十月十一日十八时为一年中太阳辐射强度最大的时刻；代入公式，分析计算可得太阳高度角=。综上，可求出年最佳倾角。；2.3前倾屋顶电池组件的铺设可用与问题一同样的方法对问题二中的模型进行阐述、求解。即据已建成模型的思路，对小屋前倾屋顶进行铺设电池组件，对于模型中的两个目标，我们考率给它们加权，且发电量大这个目标权重较大；具体原则是光电转换率大且面积较小的优先，并且在铺设电池组件过程中先使用A类、B类电池组件铺设大片面积，之后再用C类电池组件填

22、充小面积。下面是小屋前倾屋顶电池组件铺设情况：前倾屋顶电池组件铺设优化图（俯视图）如下：（图7）前倾屋顶电池组件铺设优化图（侧视图）如下：（图8）2.4前倾屋顶电池组件的连接下面实现电池组件的串并联和搭配逆变器的选择，可用同样的方法对问题二中的模型进行阐述、求解。综上所述看，我们可以找到较好的一种组件连接方式如下：前倾屋顶（南向）电池组件优化连接：（1）型号为SN17的逆变器连接一个有三个分支的并联，每个分支均由17个型号为A3的电池组件串联而成；（2）型号为SN11的逆变器连接一个串联，该串联由8个型号为C6的电池组件串联而成。2.5计算35年寿命期内的发电总量、经济效益及投资的回收年限问题

23、一种已给出求小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限的各个计算公式，代入数据计算得：35年寿命期内的发电总量= (kw.h)35年内经济效益=(元)k<1,即在一年内即可收回投资成本。3问题三3.1太阳能小屋的设计这是一个优化问题，目标是获得最大太阳辐射强度，为达到这一目标，我们设计的屋顶以问题二中求出的年最佳倾角作为屋顶的倾斜角，并朝向太阳辐射强度最大的方位正南方；在满足太阳能小屋建筑要求的基础上，尽量使南方少开或不开门窗，尽量使门窗分布在北面。6再综合小屋各个建筑要求，我们作出如下设计：小屋的设计图如下：（图9）南立面侧视图

24、如下：（图10）北立面侧视图如下：（图11）东立面侧视图如下： 西立面测试图如下：（图12）3.2电池组件铺设方案用和问题一类似的方法，对电池组件进行铺设，同样为了简化模型，减少计算量，合理地舍弃对北立面的铺设计划。下面是小屋各个表面电池组件铺设情况：南立面电池组件铺设优化图如下：（图13）西立面电池组件铺设优化图如下：东立面电池组件铺设优化图如下： （图14）屋顶电池组件铺设优化图如下：（图15）3.3电池组件连接方案用和问题一中同样的方法，我们可以找到的新设计的小屋的一种较好的组件连接方式，如下：屋顶电池组件较优连接方式：1.型号为SN17的逆变器连接一个有三个分支的并联，每个分支均由17

25、个型号为A3的电池组件串联而成；2.型号为SN17的逆变器连接一个串联，该串联由15个型号为C6的电池组件串联而成。南立面电池组件优化连接：1.型号为SN17的逆变器连接一个有两个分支的并联，每个分支均由9个型号为A3的电池组件串联而成；2.型号为SN17的逆变器连接一个串联，该串联由11个型号为C2的电池组件串联而成。3.型号为SN11的逆变器连接一个串联，该串联由10个型号为C6的电池组件串联而成。东立面电池组件优化连接：1. 型号为SN11的逆变器连接一个串联，该串联由5个型号为A3的电池组件串联而成。西立面电池组件优化连接：1. 型号为SN11的逆变器连接一个串联，该串联由5个型号为A

26、3的电池组件串联而成。3.5计算光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益及投资的回收年限问题一种已给出求小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限的各个计算公式，代入数据计算得：35年寿命期内的发电总量=(kw.h)35年内经济效益=(元)k<3,即在3年内即可收回投资成本。五、模型的评价问题一中建立的双目标规划模型，结构、算法比较严谨，可以得到很好地计算结果；不足之处是计算工作过于繁琐复杂；光伏电池铺设和连接方法简单实用且样式灵活。问题二中认真分析了并确定了最佳方位和年最佳倾角，繁简得当，充分体现了建模思想灵活性。问题三种结合

27、给定条件，成功设计出简单实用的太阳能小屋，方法简单，得出的结果却很好。在确定年最佳倾角上，可以更加详细地加上地势环境、季节等影响因素，这个可作为深入研究的一个方向。六、参考文献1 胡运权，运筹学基础及应用（第五版），北京：高等教育出版社，2008。2王冬琳，数学建模及实验，北京：国防工业出版社，2004。3刘锋,数学建模,南京：南京大学出版社，2005。4 范玉妹，徐尔,数学规划及其应用(第二版), 北京：冶金工业出版社，2003。5 H. P. Williams， 数学规划模型建立与计算机应用,北京：国防工业出版社, 1991。6姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社

28、，2005。七、附录1.使用Lingo编写的程序：model:max=1050165.66*x11*1.27664*0.1684+1050165.66*x12*1.938396*0.1664+1050165.66*x13*1.27664*0.187+1050165.66*x14*1.637792*0.165+1050165.66*x15*1.63515*0.1498+1050165.66*x16*1.938396*0.1511+1050165.66*x17*1.63515*0.1621+1050165.66*x18*1.938396*0.1639+1050165.66*x19*1.470144

29、*0.1598+1050165.66*x20*1.62688*0.148+1050165.66*x21*1.940352*0.1598+1050165.66*x22*1.940352*0.152+1050165.66*x23*1.668*0.1499+1050165.66*x24*1.43*0.0699+1050165.66*x25*0.939231*0.0617+1050165.66*x26*1.575196*0.0635+1050165.66*x27*1.54*0.0584+1050165.66*x28*1.54*0.0649+1050165.66*x29*0.11005*0.0363+1

30、050165.66*x30*0.1107*0.0363+1050165.66*x31*0.218325*0.0366+1050165.66*x32*0.3266*0.0366+1050165.66*x33*0.29039*0.0413+1050165.66*x34*1.17124*0.0427;x11*1.27664+x12*1.938396+x13*1.27664+x14*1.637792+x15*1.63515+x16*1.938396+x17*1.63515+x18*1.938396+x19*1.470144+x20*1.62688+x21*1.940352+x22*1.940352+x23*1.668+x24*1.43+x25*0.939231+x26*1.575196+x27*1.54+x28*1.54+x29*0.11005+x30*0.1107+x