微分方程自测题答案

1、提示：差分方程内容不用看微分方程自测题A答案与提示一、单项选择题1. 答案：A提示： 原方程可化为.2. 答案：D提示：原方程可化为（伯努利方程）.3. 答案：A提示：特征方程为，.故特解为.4. 答案：C提示：特征方程为,.故特解为.5. 答案：B提示：所求齐次微分方程的特征方程的根应为，而选项B的特征方程为，满足条件.6. 答案：B提示：由已知条件，特征方程有根.故，则.7. 答案：B提示：按照差分及差分方程的定义验证即可.8. 答案：C提示：差分方程的定义验证即可.二、填空题1答案：提示：原方程可化为变量可分离方程，解得.由，得，从而.2. 答案：提示：原方程可化为变量可分离方程，解得.

2、3. 答案：提示：原方程可化为齐次方程.令，则，解得，即.由，得，故.4.答案：提示：特征方程为，特征根为.则齐次方程的通解为.由于是特征方程的根,所以应设特解为.把它代入原方程，可得.5. 答案：提示：设曲线方程为.过曲线上点的切线方程为.因切线被切点平分，则.由此得微分方程，解得，又曲线通过点，则.6. 答案：提示：函数连续，则可导，从而可导.对其求导，得，解得.由,得.故.7. 答案：提示：，代入函数并化简得8. 答案：提示：特征方程为，特征根为，按照齐次差分方程的求解公式得通解为.三、计算题1.解：(1）(2）(3）(4）(5）(6）(7）(8）2解：原方程化为，令u = x y ,

3、得(分离变量方程)3解：代入原方程整理得令得4.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得，得故原方程为对应齐次方程通解: ，由于原方程通解为5解：用对等式左边的积分进行替换，然后再两边求导数，得出需满足的微分方程便能解出.6解：7解：验证及都是对应齐次方程的解.用齐次线性方程解的性质即可得出证明.8.解：由两种不同类型的自由项，分别设定试解得.微分方程自测题B答案与提示一、单项选择题1. 答案：A提示：.2. 答案：C提示：解方程可得.由，知.由此可得.3. 答案：D提示：原方程可化为.4. 答案：B提示：方程对应齐次方程的通解为，故原方程的通解为.5. 答案：A提示：代换将微分方程化为,为一阶齐

4、次方程，则有，从而.6. 答案：C提示：特征方程为，得.则通解为.7. 答案：A提示：方程的通解是方程的特解形式为待定），代入方程得到，所以选择A.8. 答案：B提示：的特征根是1是特征单根，所以特解形式是.二、填空题1答案：通解是提示：原方程化为可分离变量方程，可得通解为.2. 答案：特解提示：特征方程为，.非齐次项属于型，其中是特征方程的单根，故非齐次方程的特解可设为，代入原方程可得.3. 答案：通解是提示：由已知条件，可证和是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解.故原方程的通解是.4.答案：通解是提示：特征方程为，特征根为(二重),(二重). 故原方程的通解可表示为.5. 答案：通解是

5、提示：作变量替换，则原方程可化为.则通解为，即.6. 答案：需求函数提示：由题意，知需求价格弹性函数,解得.当时，需求量为，则.从而需求函数为.7. 答案：通解是提示：方程是一阶线性非齐次方程，对应齐次方程的通解为，非齐次的特解形式为,代入方程求得，所以通解是.8. 答案：通解是提示：方程的特征方程为，特征根是所以通解是.三、计算题1解：将代入微分方程，所以-=，方程成立，因此是方程特解。2解：时，；，时，令，有方程，。3（1）解：，为一阶齐次微分方程，令，则，原方程化为，解得即或（2）解：，当时，为一阶线性非齐次方程，代入其通解公式=，当时，C=1,因此（3）解：，是一阶线性非齐次方程，代入

6、通解公式， 或 （4）提示：令解：令，是一阶线性非齐次方程，因此4 解：，得到，代入一阶线性非齐次方程通解公式，又，因此5（1）解:二阶常系数齐次微分方程的特征根，因为，二阶常系数非齐次微分方程特解应为（2）解:二阶常系数齐次微分方程的特征根（二重根），因为，二阶常系数非齐次微分方程特解应为（3）解:二阶常系数齐次微分方程的特征根因为，二阶常系数非齐次微分方程特解应为（4）解:二阶常系数齐次微分方程的特征根因为，二阶常系数非齐次微分方程特解应为6解:的特征方程：，的特解设为，代入解出，的特解设为，代入解出，所以，方程的特解为7解:通解为通解为通解为8解：化方程为令 , 则(齐次方程)令，得可分

7、离变量方程解为，将变量回代得通解为9解：（）由题设可得解此方程组，得（）原方程为所以10.解：由两种不同类型自由项构成，特解有两种形式，与方程对应的特解为，与方程对应的特解为，分别代入方程求待定系数得，；所以方程通解为代入初始条件得到特解为。 11.解：由于，把代入，方程可改写为这是一阶常系数非齐次线性差分方程，对应齐次方程的特征方程故对应齐次方程的通解.因为1不是特征方程的根，是零次多项式，故设特解，代入原方程，得. 所以该商品价格随时间变化的规律为微分方程自测题C答案与提示一、单项选择题1答案：A提示：, 则.令即可.2答案：C提示：，从而是的极小值点.3答案：D提示：由题意，特征方程为，

8、可知所求微分方程对应的齐次方程为.选项C、D可能正确. 选项C中的非齐次项，为型，（为特征方程的一单根），则对应的方程的特解形式为，其与不符.故选项C错. 选项D中的方程的特解形式为,与已知条件相符.4答案：B提示：满足方程，解得.5. 答案：B提示：由已知条件，可知特征方程为. 故所求的齐次线性微分方程为.6. 答案：A提示：由为方程的特解可知，特征方程的特征根为：,1是二重根，为一对单复根. 因此特征方程为,即，故所求方程为 则方程的通解为.7答案：C提示：这是二阶常系数齐次线性方程，其通解形式由特征方程的特征根决定.当，为不等的实特征根，原方程的通解为，这时通解不可能是的周期函数；当时，

9、原方程的通解为，这时通解也不可能全是的周期函数；当，原方程的通解为，当时，它的通解才是的周期函数，这时，因此选C.8. 答案：B提示：由于右端函数，所以特解是两个函数的和，与对应的特解是，与，所以选择B.二、填空题1答案：提示：令，则，从而，即.方程两边同乘，得，解得，即.2. 答案： 提示：方程的通解为.把代入，得，从而.3. 答案：提示：函数满足微分方程，解得.把代入，则.所以.4.答案：提示：.是二阶齐次方程的通解，是非齐次方程的特解.特征方程为，可知齐次方程为.设非齐次项为，则.故所求方程为.5. 答案：提示：作极坐标变换，得.则满足微分方程，解得.由于当时，得.从而.6. 答案：提示

10、：令，对求导，得，则有.并且.由此，方程可化为.7. 答案：（万元）提示：由动态平衡法建立差分方程，定初值条件为（万元），（万元）.8. 答案：，提示：利用线性差分方程解的结构，是齐次方程的特解，可以确定，又由是非齐次方程的解，可以确定.三、计算题1.解:特征方程特征根: 对应齐次方程通解: 代入原方程得故原方程通解为时，代入原方程得故原方程通解为2.解: 分项组合得即选择积分因子同乘方程两边 , 得即因此通解为即因x = 0 也是方程的解 , 故C为任意常数 . 3解：令，则，原方程化为 属于贝努里方程再令 则有 通解：4.解. 令则， 得到 令, 得到为关于y的一阶线性方程. 且解得  所以, .于是 ,  , , ,  得到,  得解  5解: 注意x, y同号,故方程可变形为这是以为因变量, y为自变量的一阶线性方程由一阶线性方程通解公式, 得所求通解为6解: (1)因所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:(2) 由一阶线性微分方程解的公式得，于是7. 解:（1) 先解定解问题利用通解公式, 得由条件得，故有（2) 再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得 因此有