因动点产生的最值问题

1、好学生都在这里因动点产生的最值问题（1）1. 在平面直角坐标系中，已知点𝐴(2，0)，点𝐵(0，4)，点𝐸在𝑂𝐵上，且𝑂𝐴𝐸 = 𝑂𝐵𝐴 ()如图，求点𝐸的坐标；()如图，将 𝐴𝐸𝑂沿𝑥轴向右平移得到 𝐴𝐸𝑂，连接𝐴𝐵、𝐵𝐸设

2、19860;𝐴 = 𝑚，其中0𝑚2，试用含𝑚的式子表示𝐴𝐵2 + 𝐵𝐸2，并求出使𝐴𝐵2 + 𝐵𝐸2取得最小值时点𝐸的坐标；当𝐴𝐵 + 𝐵𝐸取得最小值时，求点𝐸的坐标（直接写出结果即可）青果学院好学生都在这里2. 如图，将直角梯形 OABC 放在平面直角坐标系中，已知 OA=5，OC=4，BCOA，BC=3，点

3、 E 在 OA 上，且 OE=1，连接 OB、BE（1）求证：OBC=ABE；（2）如图，过点B 作 BDx 轴于 D，点 P 在直线 BD 上，连接 PC、PE、PA 和 CE当PCE 的周长最短时，求点 P 的坐标；如果点 P 在 x 轴上方，且满足 SCEP：SABP=2：1，求 DP 的长青果学院好学生都在这里3. 如图，在平面直角坐标系中，RtOAB 的顶点 A 在x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（3，3），点 C 的坐标为（1，0），且B=60°，点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则PA+PC 的最2小值为多少？青果学院好学生都在这里参考1.解：（）如图，点 A（-

4、2，0），点 B（0，4），OA=2，OB=4OAE=0BA，EOA=AOB=90°，OAEOBA，解得 OE=1，点 E 的坐标为（0，1）；（）如图，连接 EE由题AA=m（0m2），则 AO=2-m在 RtABO 中，由 AB2=AO2+BO2，得 AB2=（2-m）2+42=m2-4m+20AEO是AEO 沿x 轴向右平移得到的，EEAA，且 EE=AABEE=90°，EE=m 又BE=OB-OE=3，在 RtBEE 中，BE2=EE2+BE2=m2+9，AB2+BE2=2m2-4m+29=2（m-1）2+27当 m=1 时，AB2+BE2 可以取得最小值，此时，点

5、E的坐标是（1，1）如图，过点 A 作 ABx，并使AB=BE=3 易证ABAEBE，BA=BE，AB+BE=AB+BA当点 B、A、B在同一条直线上时，AB+BA最小，即此时 AB+BE取得最小值青果学院好学生都在这里易证ABAOBA，AA=3×2=6，77EE=AA=6，7点 E的坐标是（6，1）72. 解：（1）OC=4，BC=3，OCB=90°，OB=5OA=5，OE=1，𝐴𝐵 = 𝑂𝐴，𝐴𝐸𝐴𝐵又OAB=BAE，OABBAE，AOB=AB

6、EBCOA，OBC=AOB，OBC=ABE；（2）BDx 轴，ED=AD=2，E 与A 关于 BD 对称，当点 C、P、A 三点共线时，PCE 的周长最短PDOC，𝐴𝐷 = 𝑃𝐷，即2=𝑃𝐷，𝐴𝑂𝑂𝐶5 4PD=8，5青果学院好学生都在这里点 P 的坐标为（3，8）；5设 PD=t当 0PD4 时，1111DEP= （t+4）×3- ×4×1- ×2t= t+4，S=S 梯形 OCPD-S-SCE

7、POCE2222=1×2（4-t）=4-t，SABP2SCEP：SABP=2：1，（1t+4）：（4-t）=2：1，2t=DP=8；5当 PD4 时，1111DEP= （t+4）×3- ×4×1- ×2t= t+4，S=S 梯形 OCPD-S-SCEPOCE2222=1×2（t-4）=t-4，SABP2SCEP：SABP=2：1，（1t+4）：（t-4）=2：1，2t=DP=8青果学院好学生都在这里故所求 DP 的长8或 853. 解：作 A 关于 OB 的对称点 D，交 OB 于点 M，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP，过 D 作 DNOA 于 N，则此时 PA+PC 的值最小，DP=PA，PA+PC=PD+PC=CD，B（3，3），AB=3，OA=3，B=60°，由勾股定理得：OB=23，由三角形面积公式得：1×OA×AB=1×OB×AM，22AM=3，2AD=2×3=3，2AMB=90°，B