搞定空间几何体的外接球

1、精品专题 3搞定空间几何体的外接球与内切球一、基本方法：（1 ）定心：确定球心，构造直角三角形利用正余弦定理及勾股定理求解（R2r 2d 2 ）；该方法是解决外接球问题的主要的通法，但对空间想象能力、作图能力要求较高；所以熟悉以下的几种模型才能准确快速的解决外接球问题。（ 2 ）补形：补成长方体，利用长方体对角线求解（4R2a2b2c2 ）；有些几何体比较难确定球心，而几何体刚好是长方体的一部分，其外接球与长方体的外接球是同一个球，故可利用长方体模型求解。另外有些不规则的几何体还可以选择建系，设球心，利用球心到各顶点的距离相等求出球心坐标求解。 但该方法计算量大，高考一般不会考查。高考中以模型

2、一、P二、三、四为主。OC类型一：锥体模型（P 的射影是ABC 的外心即侧棱长相等）AO1DB第一步：确定球心O 的位置，取ABC 的外心 O1 ，则 P, O,O1 三点共线；图 5-4第二步：先算出小圆O1 的半径 AO1r ，再算出棱锥的高 PO1h ；第三步：勾股定理：OA2O1 A2O1O 2R2(h R) 2r 2，解出 R类型二：柱体模型（直棱柱、圆柱）第一步：确定球心 O 的位置， O1 是ABC 的外心，则 OO1平面 ABC ；C1A 1O2FO1的半径 AO1r ， OO11 AA11 h ；B1第二步：算出小圆2h2O第三步：勾股定理：OA2O1 A2O1O2R2)2r

3、2(C2AO 1E( h) 2BRr 2，解出 R图 3-12感谢下载载精品类型三：线面垂直模型（一条直线垂直于一个平面，柱体也可以归于该模型）P第一步：将ABC 画在小圆面上，D 为小圆上任意的一点，；O第二步： O1 为ABC 的外心，所以OO1平面 ABC ，算出小圆 O1 的半CAO1D径 O1Dr （ 三 角 形 的 外 接 圆直径 算 法 ： 利 用 正 弦 定理， 得Babc1PA；图 52r ）， dOO1sin Asin Bsin C2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：R2r 2d 2.类型四：长方体模型1. 三条棱两两垂直，可补形为长方体PPPcccAbCCCabb

4、ABAaaBB图 1-1图 1-2图 1-3方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a2b2c2，求出 R2. 三棱锥（即四面体）中，三组对棱分别相等，亦可补形为长方体第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b, c ， ADBC x ，AB CDy ， ACBDz ，第三步：由2R a 2b 2c 2x2y2z2，求出 R.2AxDyyczzxCabB图2-1类型五：二面角模型（两个三角形拼在一起，一般为两等腰三角形或直角三角形）A'1. 当两等腰三角形由公共底边折叠时，OH 2DH 1AEC第一步：先画出如图所示的图形，将BCD 画在小圆上， 找出 BCDB图6感谢下载载精品和 A BD的外心 H1和H2；第二步：过 H1和 H 2分别作其所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接 OE ,OC ；第三步：解OEH 1 ，算出 OH 1 ，再由勾股定理： OH 12CH 12OC 2，求出球的半径 R 。2. 当两直角三角形由公共斜边折叠时，其公共斜边就是外接球的直径。类型六：内切球问题1 正棱锥的内切球.PEO第一步：先现出内切球的截面图，E, H 分别是两个三角形的外心；ACPOE 相似于 PDH ，建立等式： OEPO ，解出 rDH第二步：由BDHPD图 8-12 任意多面体