误差分析和数据处理

1、误差分析和数据处理附录 误差分析和数据处理 被测量的真值和试验所得的给出值总存在一定的差异，这就是测量误差。而误差的存在使我们对客观事物的认识受到不同程度的歪曲，因此就必须进行误差分析。 误差分析和数据处理是判断科学实验和科学测试结果质量和水平的主要手段。 另一方面，一般原始的测试技术都是参差不齐的，需运用数学方法加以精选、加工，以求获得可靠、真正反映事物内在本质的结论，这就是要进行数据处理。附录 误差分析和数据处理-1 误差的基本概念 测量误差：是指被测量的实测值与其真值的差别。（一）误差定义：一、误差的定义和表示方法其中真值在以下情况下被认为是已知的。=绝对误差 测量值-真值、绝对误差（二

2、）表示方法-1 误差的基本概念（）相对真值（）规定真值：由国际上公认的某些基准量。（如一米是光在真空中于1/299792458 秒时间内所到之长度）（）理论真值：由理论公式计算所得结果；-1 误差的基本概念100%绝对误差相对误差被测真值相对误差相对误差便于评价测量精度的高低。-1 误差的基本概念=100%仪表的最大示值误差引用误差仪表的测量上限、引用误差（又称基本误差，而仪表的基本误差应不超过所允许的误差，允许误差可引用误差的形式表示，且当允许误差去掉百分号、正负号后的数字被称为仪表的准确度级，如 ）0.1;0.2;0.5-1 误差的基本概念（四）人为误差（三）方法误差（二）环境误差（一）测

3、量装置误差二、误差的来源-1 误差的基本概念三、误差的分类 在相同条件下，对同一对象进行多次测量，有一种大小、符号都作随机性变化而无确定规律的误差，称为随机误差。（一）随机误差-1 误差的基本概念（三）粗大误差 在相同条件下，对同一对象进行多次测量，有一种绝对值和符号不变，或按某一规律变化的误差，称为系统误差。（二）系统误差-1 误差的基本概念四、测试数据的精度 表示测量结果中随机误差大小的程度。反映了测试数据相互之间的偏差。（二）精密度 表示测量结果中系统误差大小的程度。反映测试数据的平均值与被测量真值的偏差。（一）准确度-1 误差的基本概念 表示测量结果中系统误差和随机误差综合大小的程度，

4、反映了测量结果与被测真值偏离的程度。（三）精确度-1 误差的基本概念五、不确定度B类分量：用其他方法估算出的近似的标准偏差。A类分量：对一系统多次重复测量后，用统计方法计算出的标准偏差。 根据国家计量局关于表达不确定度的建议草案，把不确定度按估计其权值所用的方法不同归并成两类：-1 误差的基本概念UKU总不确定度。K置信系数；其中： 合成不确定度； 而后用方和根的方法合成A类分量和B类分量，合成后仍以标准偏差的形式表征，称为合成不确定度。合成不确定度乘以一系数，从而得到总不确定度，用下式表示：-1 误差的基本概念-2 随机误差的性质与处理（二）单峰性：绝对值得误差出现的概率大，绝对值大的出现的

5、概率小。（一）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概率相等。 在工程应用中，大多数随机误差的分布具有以下几个特点：一、正态分布规律以上规律的概率分布成为正态分布。（四）抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的代数和趋近于零。（三）有界性：在有限次的测量中，绝对值很大的误差出现的概率近于零。（二）单峰性：绝对值得误差出现的概率大，绝对值大的出现的概率小。（一）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概率相等。随机误差的分布的几个特点：-2 随机误差的性质与处理22/21y( )2pe211limnininiisxT二、正态分布线sT为被测量的真值。ix为单次测量结果。i为随机误差为标准差或均方根差y其

6、中 为误差出现的概率密度 高斯于1795年提出了正态分布的随机误差值与其出现的概率之间的函数关系式：-2 随机误差的性质与处理( )( )baxbabxap xxxp x dxpd,abxx 测量值落在区间 内的概率为曲线在该段的积分，有 将式绘制成曲线就是著名的高斯正态分布曲线，如图-2 随机误差的性质与处理iixx三、随机误差的评价指标用 表示剩余误差，而（二）剩余误差sTx 测量的目的是为了得到被测量的真值 ，但每次都有随机误差（在不计粗大误差和系统误差的情况下）。而通常把测量值的算术平均值 作为被测量的近似真值。（一）算术平均值-2 随机误差的性质与处理2111niin 人们发现，标准

7、差 可以比较好的表达正态分布规律的分散性大小，在工程实际应用中， 用以下算式估算（三）标准差-2 随机误差的性质与处理21(1)niixn nn 一般用算术平均值 作为真值 的近似值，而用 表示算术平均值的标准差，用以表示 的分散程度。有关系式：xsTxx（四）算术平均值的标准差-2 随机误差的性质与处理()sT 显然置信区间取得宽，置信概率就大，反之则小。 一般，当置信区间宽为 时，测量值落入区间 内的概率为68.3%，也就是说，进行100次测量，大约有68次的值是落在 的范围的。（二）单次测量的极限误差x,abxx,abxx 在一组等精度的测量值中，大小 为的测量值落入指定区间 内的概率称

8、为置信概率，而该指定区间 称为置信区间。（一）置信概率四、置信概率和极限误差-2 随机误差的性质与处理当置信区间宽为 时，对应概率为95.4%2当置信区间宽为 时，对应概率为99.7%3 因此可认为绝对值大于 的误差几乎不可能出现，所以通常又把 的误差称为单次测量误差，用 表示。33limlim3 lim3x x算术平均值的标准差lim其中：算术平均值的极限误差（三）算术平均值的概率误差-2 随机误差的性质与处理-3系统误差的发现和消除 系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成的，一般说来这些因素是可以掌握的。对待系统误差的基本措施就是设法发现并消除它。一、系统误差的分类在测试过程中，

9、误差的大小和符号是不变的。（一）定值系统误差 按系统误差出现的特点及对测量结果的影响，可分为定值系统误差和变值系统误差两类。-3系统误差的发现和消除3、按复杂规律变化的系统误差：2、周期性系统误差：误差的大小和符号呈周期性变化。1、累积性系统误差：在测试过程中，随着测量时间的增长或测量数值的增大误差值也随它逐渐增大或减小这样的误差，称累积性系统误差或线形变化系统误差。（二）变值系统误差-3系统误差的发现和消除0siTix二、系统误差的发现和消除 定值系统误差在测量中是固定不变的，设其为，则测量值可表示为（一）定值系统误差的发现和消除 系统误差的消除和修正，主要靠对测量技术等的研究，以及对测量方

10、法、测量装置的原理与调整等的 仔细分析。-3系统误差的发现和消除其中： 为被测真值sT为定值系统误差0为第次测量的随机误差i为第次测量值。ix0siTix 定值系统误差在测量中是固定不变的，设其为，则测量值可表示为（一）定值系统误差的发现和消除-3系统误差的发现和消除1011ninisiixxTnn0sxT0sTx所以真值所以一组测量值的平均值为在 适当大时， 趋近于零，则上式变为nii 1n-3系统误差的发现和消除00011()()niisiiiixxTTn2、抵消法：设法使其在测量中一次为正，另一次为负，这样在均值中就可以被消除。1、预检法：对测试器具作预先检定。定值系统误差的消除一般采用

11、以下方法： 可见定值系统误差对剩余误差无影响，因此对标准差 也无影响，也就是说在分布曲线上，定值系统误差不改变误差分布曲线的形状，只是使随机误差分布曲线的位置作一下平移。另一方面：-3系统误差的发现和消除（二）变值系统误差的发现和消除 变值系统误差对每一个测量值的影响都不一样，因此，在均值中含有系统误差，且在剩余误差中也含有系统误差。因此它不仅影响被测量的算术平均值，而且也影响随机误差的分布规律，因此必须发现并加以消除。常用方法有：-3系统误差的发现和消除n 则可以认为没有显著的变值系统误差，这种方法在 较小时不太可靠。| 0nn、剩余误差符号检测法：观察剩余误差正负的个数，当满足 ，、剩余误

12、差观察法：将一组测量数据的剩余误差依次排列起来，观察其有无规律，从而消除，这种方法一般重复测量次数多于20次。-3系统误差的发现和消除-4 粗大误差的发现及剔除10n 当 时，此准则就不适用了。n当 较小时，此准则的可靠性较差。,ix 该依据应剔除，剔除后再重新算 。| | 3iixx时，一、莱依达法则（ 准则）3一般剔除粗大误差有许多准则，以下简介几种： 把误差超过 的测量值视为含有粗大误差，予以剔除，对优先次测量来说，即有：3|i注意：在剔除含有粗大误差的数据时，按照准则，每次是应剔除数据中 最大的一个。| |iixxG时，(1, )ix in 对一组数据 ，若二、格拉布斯准则 应予剔除，

13、其中值根据测量次数 和置信概率 查表而得（见p163）np-4 粗大误差的发现及剔除-5误差合成121rrii 它可以按上式从测量结果中加以修正。则总的定值系统误差为12,r测量中，若有个单项定值系统误差 ，（一）定值系统误差的合成一、系统误差的合成2222121ssiieeeee S12,se ee 即若有 次未定系统误差 ，且他们互不相关，则总的未定系统误差的极限误差为ie 未定系统误差是指系统误差虽然没有被确切掌握，但可估计出不致超过某一极限危险范围 的误差。（二）未定系统误差的合成。-5误差合成2222121qqii2222limlim1lim2limlim1qqii二、随机误差的合成

14、12,q 设多项随机误差的标准差分别为 ，且互不相关，则各随机误差综合作用的结果的标准差为lim1lim2lim,q 或已知 个独立的极限误差 ，且各项误差均服从正态分布，则总的极限随机误差为q-5误差合成lim1lim2lim,q12,se ee12,r22lim11qsiiiie 总三、系统误差与随机误差的合成 先修正掉正定系统误差，而后，测量结果总的极限误差就是总的极限误差与总的极限随机误差的方和根，即 设测量过程中同时存在 个单项已定系统误差，个单项未定系统误差，个单项随机误差，它们的极限误差分别是：rsq-5误差合成四、间接测量的误差合成12( ,)nyf x xx12,nx xx1

15、2,nxxx12,ne ee12,n 的正定系统误差为 ，及未定系统误差和随机误差的极限值为 和 ，且当误差均服从正态分布时，则有：n12,nx xx 设间接测量 与 个直接测量量 的关系是：y1212nnfffyxxxxxx的正定系统误差 为：yy-5误差合成221()inyiifeex 221()inyiifx 22yyye 的极限未定系统误差为：y的极限随机误差为：y的正定系统误差修正后的总的合成误差为：y-5误差合成-测量数据处理及测量结果的表示ix 总ix总其中 为单次的测量值， 为按21式的经验估算值。测量结果可表示为：一、单次测量二、多次测量5、求单次测量的标准差；()i4、由

16、判断是否有变值系统误差，设法消除；()i3、求剩余误差 ；x2、求算术平均值 ； 1、判断定值系统误差，并加以修正；12,nx xx 设对某量进行等精度的多次测量后得到数据 ，则：-测量数据处理及测量结果的表示xx总9、写出结果8、求测量结果的总极限误差；（由21式给出）7、求算术平均值的标准差及极限误差；6、判断有无粗大误差，若有，则剔除并重复前 2，3，5步骤，直至无粗大误差为止；-测量数据处理及测量结果的表示三、间接测量12( ,)nyf x xx多次时：12( ,)nyf x xx单次时：2、计算间接测量量；()iixx或i总1、先按前述方法处理各直接测量量的数据，给出各量的最佳值 ，

17、以及总极限误差 ，12,nx xx其中 为直接测量量，则应：y12( ,)nyf x xx若间接被测量为 ，且有-测量数据处理及测量结果的表示yy4、给出结果：22yyye 按25式得：3、给出间接测量量的总极限误差-测量数据处理及测量结果的表示-7一元线性回归01yaa x, x y设两变量 之间有线性关系 用数学处理的方法得出两变量之间的关系，就是工程上所说的拟合问题。若两变量间的关系是线形关系，就称这种拟合为线性拟合或一元线性回归。12,nx xx12,ny yy（一）端值法：一、回归方程的求法 0a1a去确定25式中的 和 。其方法有以下几种：所谓线形拟合实际上就是通过一组数据( , )x y01,a a 用数据中的两个端点值 代入28式中求出 即可。nn(,)xy-7一元线性回归（二）平均值法：将全部数据代入 中得：01yaa x101 101nnyaa xyaa x-7一元线性回归1011kkyaa x2012kkyaa x11kiikyyk11kiikxxk12nii kkyyk 12nii kkxxk 01,a a从而求出其中： 将上面 个方程分成两组，两组分别组内相加得到两