数值分析题库及复习资料

1、模拟试卷一一、填空题每题3分，共30分3. y=f(x)的均差差商fXo,Xi,X214,f,X2,X331f，fX2,X3,X4 95，315fXo,X2,X38 ,那么均差 fX4,X2,X3=34. n=4时Newt on Cotes求积公式的系数分别是：C(4)7G,C(4)116 C(4)C24515,那么Cr)1有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.15232.设A210, x4 ，那么A =.，x1422y f (x, y)5.解初始值问题的改良的Euler方法是阶方法;y(x。)y。5x1 3x20.1x336 .求解线性代数方程组2x! 6x20.7x32的咼斯一塞德

2、尔迭代公式为x1 2x23.5x31假设取x(0)(1, 1,1),那么X7.求方程Xf (X)根的牛顿迭代格式是 .& d0(x), q(x)，fn(x)是以整数点x0,人，xn,为节点的Lagra nge插值基函数，那么nxk j (xk) =.k 09.解方程组 Axb的简单迭代格式x(k1) Bx(k) g收敛的充要条件是 .10 .设f (-1)1, f (0)0, f(1) 1, f (2)5 ,那么f (x)的三次牛顿插值多项式为，其误差估计式为.二、综合题每题10分，共60分1. 求一次数不超过 4次的多项式 p(x)满足：p(1) 15, p (1) 20 , p (

3、1)30p(2)57 , p(2)72.112. 构造代数精度最高的形式为xf(x)dx Agf ( ) AJ(1)的求积公式，并求出02其代数精度xk xk 13.用Newt on法求方程x In x 2在区间(2,)内的根,要求10xk24用最小二乘法求形如 y a bx的经历公式拟合以下数据：Xi19253038yi19.032.349.073.35.用矩阵的直接三角分解法解方程组1020X150101X231243X317 .0103x476试用数值积分法建立求解初值问题yy(0)f(x,y)y。的如下数值求解公式yn 1 yn 1 -(fn 1 4 fn fn 1)，其中 fif (

4、x, %), i n 1, n, n 1.三、证明题10分设对任意的x，函数f (x)的导数f (x)都存在且0 m f (x) M ,对于满足0的任意，迭代格式Xk 1 Xk f (xj均收敛于f (x) 0的根x*.M参考答案一、填空题91,161. 5 ；2.8, 9 ;3.；4.；5.二；1545才 32110. -X3 X2 -X,f (4)( )(x 1)x(x 1)(x 2)/24( 1,2)6 6二、综合题1.差商表：)(3 3x2k) 0.1x3k)/56. x2k 1(2 2x(k1) 0.7x3k)/6 ,(0.02, 0.22, 0.1543)x3k1)(1 x(k1)

5、 2x2k1)*2/77. Xk1 Xk 互8.Xj； 9.(B) 1;1 f (Xk)p(x) 1520( x 1)其他方法:设 p(x)1520(x令 P(2)57 ,P(2)2 .取 f (x)1,xA0 Al2f (x) x 时,1112215151557572020427215223078115(x 1)21) 15(x72，求出7(x 1)3 (x 1)3(x 2)5 4x 3x2 2x3 x421)7(x1)3 (x31) (ax b)令公式准确成立，得:2A0 A公式左右公式的代数精度2.a和b.1A1AA ，A3 31-；f(x)4x3时，公式左公式右5243 此方程在区间（

6、2,）内只有一个根而且在区间2, 4内。设f (x) x ln x 2那么f'(x)f”(x)Newt on法迭代公式为xk 1xkxkln xk2 Xk(1 ln xj1/xkxk 10,1,2,取X0X43.146193221。4.span1x2,At11192252302138219.032.349.0 73.3 .解方程组At AC Aty，其中AtA433303330解得：C1.416650.0504305所以 a 0.9255577, 5解设0.0501025.I 21l41l32l423416082u22u23u24u33u34U44由矩阵乘法可求出Uj和l ij11l2

7、110 1l31l3211 2 1l41l42l4310 1 0110 201 0 20u22u23u241 01u33u3421u4421y15解下三角方程组01y23121y317010 1y47有 y15，y23，y36，y44.1 020 x15101x23再解上三角方程组21 X362 x44得原方程组的解为X11x21，X32，X42.6 解初值问题等价于如下形式y(x)y(Xn 1)Xf (X, y(x)dx，xn 1取 x Xn 1，有 y(Xn 1) y(Xn 1)Xn 1Xn 1f (X, y(x)dx,利用辛卜森求积公式可得 yn 1 yn 1 - (fn 1 4fn f

8、n1).3三、证明题由于 (X) X证明 将f (x)0写成X X f(x)兰(x),f(x)1 f (X)，所以 |(x)| |1 f (x)| 1模拟试卷二一、填空题每题 3分，共30分1分别用2.718281和2.718282作数e的近似值，那么其有效位数分别有 位和位；10212.设 A110, x3 ，那么 A 1=，x38213.对于方程组2x110x15x214x23Jacobi迭代法的迭代矩阵是 Gj =4设 f(x)x3x 1,那么差商 f 0,1, 2, 3=, f 0, 1, 2, 3,4 =1 25 A o -那么条件数Cond (A)16为使两点的数值求积公式1 f

9、(x)dx f(x0) f(x1)具有最高的代数准确度，那么其求积基点应为 xd =,x1 =y f (x, y)7.解初始值问题近似解的梯形公式是yk 1y(x。)y。&求方程f(x) 0根的弦截法迭代公式是 9计算积分1 -dx，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是 ,用辛卜0.5生公式计算的结果是10.任一非奇异矩阵 A的条件数Cond(A) =，其Cond(A) 一定大于等于 二、综合题每题10分，共60分1证明方程1 x sinx在区间0,1有且只有一个根，假设利用二分法求其误差不超过-10 4近似解，问要迭代多少次？22常微分方程的初值问题：dy x,1 x 1.2

10、dx y,y(1) 2试用改良的Euler方法计算y(1.2)的近似值，取步长 h 02335片103 用矩阵的LDLt分解法解方程组359X2165917X3304用最小二乘法求一个形如 y的经历公式，使它与以下数据拟合a bxX1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.168x 0.4 y0.4z 15设方程组0.4xy0.8z2 ,试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代0.4x0.8y z3法的收敛性。4116按幕法求矩阵A132的按模最大特征值的近似值，取初始向量123x(0)(1,0,0)T，迭代两步求得近似值即可.三、证明题10分求a(a

11、 0)的迭代公式为:Ex2Xk 1X00 k0,1,2证明：对一切k1,2,且序列xk是单调递减的，从而迭代过程收敛参考答案8.6,7;2.9,11 ;03 .2.52.50ykhh f (Xk, yk)f (Xk21, yk 1 )；f(Xk)、填空题1.7.k14.1,0;5.1 k9;6.1 13, _3;f(Xk) f (Xk 1)9. 0.4268, 0.4309;10.二、综合题f (x)1 cosx 0故1 x sinx在区间0,1内仅有一个根x*.1 4 * 1 1利用二分法求它的误差不超过-10 4的近似解，那么|xk1 x | 尹104ln10解此不等式可得 k13.287

12、7In 2所以迭代14次即可.2、解：k1 f(x°, y°) 0.5, k2仁为。hkj 0.571429,y1 y0 訥 k2) 2 0.1 (0.5 0.571429) 2.10714293 3513解设359l21 15917l31l321利用矩阵乘法可求得d13， d22， d3d11I21I31d21l32d312 , ,5，21 1，I31，1322331y1解方程组11y25y332 110416 得 y1 10, y2 6, y3330d1110d216 得为 1, X21, X32d314351 1 3 x1再解方程组1 2 x21X314 解 令Y ,

13、那么Y a bx容易得出正规方程组y59a 16.971，解得 a 2.0535, b 3.0265 .9 17.8 b35.3902故所求经历公式为12.0535 3.0265x1由于fj（）0.4fj(1)1 0.98所以fj( )0 在(由于fG（）所以(G)0.832 ,0.4 0.40.4 0.80.2560 ,2,1）内有根0.80.40.40.40.8fj( 2)i且1 i0.40.80.960.2568 1.96 0.25601，故利用雅可比迭代法不收敛2(0.8320.128)故利用高斯-赛德尔迭代法收敛6 解 因为 x(0)1,0,0T，故 II x(0) |1,且 yAx

14、(0)4, 1,1(1) max(y)4.从而得x(1)y(1)/lly(1)ll1,4,;t, y99 9 t 9?,越T , (2) max(y(2) 9三、证明题证明：由于Xk 1、.a, k 0,1,2,Xk故对一切k,Xkxk 又1Xk所以Xk 1Xk ,即序列Xk是单调递减有下界，从而迭代过程收敛模拟试卷三、填空题每题3分，共30分1设a2.40315是真值x 2.40194的近似值，那么a有位有效位数，相对误差限为;2. 假设用二分法求方程 f(x) 0在区间1,2内的根，要求准确到第3位小数，那么需要对分次。3. 有n个节点的高斯求积公式的代数精度为 次.4设(x) x a(x

15、0 a ，为使A可分解为A= LLt，其中L是对角线元素为正的下三角 2 5)，要使迭代格式Xi(Xk)局部收敛到x*.5，那么a的取值范围是5 设线性方程组Ax = b有唯一解，在不考虑系数矩阵扰动的情况下，假设方程组右端项|洌|呦的扰动相对误差lib1111，就一定能保证解的相对误差兽;llxll9x( x286 .给定线性方程组，那么解此线性方程组的Jacobi迭代公式% 5x24是, Gauss-Seidel迭代公式是 nb7.插值型求积公式Ak f (xk) f (x)dx的求积系数之和是 ak 0&数值求解初值问题的龙格-库塔公式的局部截断误差是 9.函数f(0.4)0.4

16、11, f(0.5)0.578 , f (0.6)0.697，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式x2的系数是10.设 A矩阵，那么二、综合题a的取值范围是每题10分，共60分1.用Newt on法求方程x ln x 2在区间(2,)内的根，要求xkxk 1Xk10 812.设有方程组 Ax b，其中A 21213 ，它有解x2 31213 , 如01 6果右端有小扰动5b- 10 ，试估计由此引起的解的相对误差。3试用Simpson公式计算积分e1/xdx的近似值，并估计截断误差14设函数f(x)在区间0,3上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式P3(x)，使

17、其满足 巳(0) 0,R(1) 1,P(1) 3,R(2) 1,并写出误差估计式。5. A 121 ，给出用古典0 1 2Jacobi方法求A的特征值的第一次迭代运算。6.用梯形方法解初值问题y yy(0)证明其近似解为ynn，并证明当h 0时，它收敛于原初值问题的准确解三、证明题10 分假设f (x)nia)xi 1有n个不同的实根，证明kXji 1 f (Xj)0,1an参考答案、填空题1. 3,0.510-32.10;3.2n-1;4.1 .50;5.cond (A);6.x(k 1)x(k 12(8 x2k)/9(4 #k)/5k 0,1，,X：k 1)x(k 12(8(4x2k)/9

18、 x(k 1)/50,1，7.b a;8. O(h5);9.2.4; 10 .二、综合题1.此方程在区间(2,)内只有一个根s ,而且在区间2, 4内。f (x) x In x 21那么 f'(x)1-,xf''(x) , Newton法迭代公式为xk 1xk In xk 2 xk11/xkxk 10,1,2,取 x03，得 s x43.146193221。2 .解 A 11.5 ，Cond(A) 22.5，由公式1l|x|I划Cond(A)1 ，有()b22.53.2e1/xdx126101.6875 10 511/1.51/2(e 4ee1/2)2.0263, f

19、x12x36 )e1/x ,x xmax f(4)(x)f(4)(1) 198.43 ,(21)5截断误差为R2max f(4)2880 1 x 2(x)0.068904由所给条件可用插值法确定多项式Ps(x) , F3(x)7x2(由题意可设 R(x) f (x)2R(x) k(x)x(x 1) (x2)为确定待定函数 k(x)，作辅助函数：g(t)f (t)P3(t)2k(x)t(t 1) (t 2),那么g(t)在0,3上存在四阶导数且在0,3上至少有5个零点t x, t 0,1,2 t0为二重零点，反复应用罗尔定理，知至1少有一个零点(0,3),使g()0 ,从而得k(x) f()。故

20、误差估计式为4!1R(x) -f(4)( )x(x 1)2(x 2) ,(0,3)。4!0 3 1-21 0 1-2 o O 11-2 1-2 O1-2 1-2 O0 1212 12 10T® o o 1 宀 1-2 1-2 0V 1-21-20A°5.首先取i1,j 2,因cot 20 ,故有工曰1,于是 cossin4.21102"2V(0)V12()121"20001h6.梯形公式为 yn 1yn - f(Xn,yn) f X in 1),由 f(X, y) y ,得yn 1 yn (yn1)，2所以yn1 (2-h)yn(2 g()yn 1.r(

21、2h)n1y。(2J)n1，用上述梯形公式以步h2 h2h2h长h经n步计算得到yn,所以有hnX，所以z 2h nlim(2 听h 0 2 hX帆*阿2h)e三、证明题证明由n于f(X)iaiX有n个不同的实根，故i 1f (x) an(X X1)(X X2)(X Xn)兰 anWn(X),于是nknXjnknXj1 nXki 1 f (Xj)i 1 anWn(Xj)an i 1 Wn(Xj)n记g(x) Xk，那么i 1Xjk 1n g(Xj)1gX1,X2，Xn，f (Xj)ani 1 Wn(Xj)an再由差商与导数的关系知nknXj0, 0 丄，k ankn 2i 1 f (Xj)n1

22、 .模拟试卷四、填空题每题 3分，共30分为了减少运算次数，应将算式y 122x 34(2x 3)28(2x 3)3，为减少舍入误差的影响，应将算式9 . 80改写为1 1 12. A 211， A 13213设在x g(x)的根x*附近有连续的二阶导数，且g' (x*) 1，那么当时迭代过程Xk1 g(xQ是线性收敛的，那么当 时迭代过程Xk 1 g(xj是平方收敛的。a 10k4设A，那么当a满足时，有lim Ak 00 1 k5用列主元消去法解线性方程组Ax =b时，在第k1步消元时，在增广矩阵的第k列取主元 1)，使得 a(k 1)。6函数 f(0)1, f(1)3 , f(2

23、)7，那么 f0,1=, f 0,1,2= , f (x)的二次牛顿插值多项式 7求解方程f (x)0,假设f (x)0可以表成x (x)，那么用简单迭代法求根，那么(x) 满足，近似根序列 X1,X2，Xn,定收敛。f (x)dx的代数精度至少是次，最高n& n 1点插值型数值积分公式Ak f (Xk)k 0不超过次。2x9写出初值问题y 在0,1上欧拉计算格式 y(0) 110.解初始值问题yf(x,y)的梯形方法是阶方法y(X0) y。、综合题每题10分，共60分1.证明方程x3 X 10在区间1 , 2内有唯一根x* ,用牛顿迭代法求 x*(准确至3位小y=1,3,2,4,求三

24、次拉格朗日或牛顿插值多项式。5.用改良的Euler方法求初值问题2y yy(0) 1(0x 1,取步长h 0.1)X1X2X332用列主元消去法解线性方程组X13x22x322x12x2X313.给定数据x=0,1,2,3,对应函数值分别为21 04 设有矩阵A121 用“标准化的方法求其按模最大的特征值及对应的特0 1 2征向量注：求迭代 4次即可6 给定数据 f(0.1)5.1234, f (0.2)5.3053, f(0.3)5.5684，求一次最小二乘拟合多项式。三、证明题10分设线性方程组为a1nX|312X2821X1322 X2bb2a11a22(1) 证明用雅可比迭代法和高斯-

25、塞德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散；(2) 当同时收敛时，比拟它们的收敛速度。参考答案、填空题1.u2x1 y (8u-4)u2)u 1,31；2. 6, 6;9803.g' (x )0, g'(x )0, g'' (x )0 ； 4.1；5.max a k i n(k ik1)6. 2,1, X* 2 X 1 ;7.'(x) L 1； 8. n , 2n 1；ynh(yn1.令 f(x)X 1,f '(x) 3x2 10, f (x)在(1 2严格单增3XkXk又f(1)1, f(2) 5, f(x)在(1 )上有唯一根;取 X0

26、=1.2,得1.2,1.34217, 1.325, 1.32472, 1.32472, 1.32472或取X)1.0 ,1.,1.5,1.34783,1.3252, 1.32472, 1.32472,所以X*1.32472.211132 2 112211(A,b51.522111113020.52.5由牛顿迭代公式Xk 1Xk3Xk212211042.51.5 ,故 X!X2X3 1005/45/43. N3(x) 1 2x 3/ 2 X (x 1) X (x 1) (x 2) x3 4.5 X2 5.5x 1或 L3(x)x3 4.5 x2 5.5x 14取Uo(1,1,1$ ，由乘幕法得，V1 = Auo = (1,0,1)T， U1 =(1,0,1)T，V2 二 AU1=(2,-2,2)T ,上=(1, 1,1)TV