数列通项公式地常用解法归纳整理学生

1、数列通项公式的求法集锦一、观察法例1 写出数列的一个通项公式，使它的前 5项分别是下列各数(1) 3,5,9,17,33(2) -1/2,1/2,-3/8,1/4,-5/32(3) 2,22,222,2222,22222注：在平时学习中要牢记常见的一些数列通项公式，如n,1/n,2n,2n+1,n!, ( 1)n,n(n+1)等，其他数列往往由这些基本数列和其他常数进行四则运算得到的。二、公式法1. 利用等差数列的通项公式2. 利用等比数列的通项公式3. 利用数列前n项和Sn和通项公式an的关系式：S1,n 1an nSn Sn 1,n 2有些数列给出an的前n项和Sn与an的关系式Sn=f(

2、an)，利用该式写出Snif(%i)，两式做差，再利用an 1 Sn 1 Sn导出an 1与an的递推式，从而求出an。例2.数列a.的前n项和为Sn = 3n 1,求 %的通项公式。例3已知各项均为正数的数列 an的前n项和为Sn满足S1 > 1且6Sn = (an 1)(an 2),n N求an的通项公式。例4.数列a.的前n项和为Sn, ai=1, a. 12& ( n N ),求a.的通项公式三、累加法形如an an i f(n) (n=2、3、4)且f(1) f (2) . f (n 1)可求，则用累加法求an。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例

3、 5.在数列 an中，a1 =1, an an 1 n 1 (n=2、3、4)，求 an的通项公式。例 6.【2014 全国大纲卷(文 17)】数列an满足 a1=1, a2=2, an+2=2an+1-an+2.(1) 设bn=an+1-an,证明bn是等差数列；(2) 求数列an的通项公式.四、累乘法a形如 二 f(n) (n=2、3、4),且f f(2) . f(n 1)可求，则用累乘法求 。有 an 1时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例7 在数列 an中，印=1, an 1 nan,求an。例8 已知数列 an满足a1 = 2， an 1 an，求an3n 1五、

4、构造法类型1. an 1= pan q(其中p,q均为常数，且p 先用待定系数法把原递推公式转化为anan，下面利用等比数列的知识即可求解。例9、已知数列 an满足a1 =1， an 1 = 2an 11)p an 1其中，这样构造了等比数列1 P(n N )，求数列 an的通项公式。例 10、设数列an的首项印(0,1), an = , n=2、3、42()求an的通项公式例 11、已知数列an中，ai =2, ani = C、2 1) (an 2) n N()求an的通项公式。类型2. an 1= pan qn(其中p, q均为常数，且p 1)法一：在递推公式两边同时除以qn+1，得 當q

5、的方法解决；法二：在递推公式两边同时除以pn+1，得 零p加法求解。P3n_n1an将记看成一个新数列，则可用类型一qqqqann丄qn，将_an看成一个新数列，则可用累pppp例 12、已知数列 an中，a1 =1， an1 = 2an3n，求数列的通项公式。5 1求数列的通项公式。例13.已知数列a.中，印=5 an1 -6 3类型 3. an 1 pan an b p 1 且p 0,a 0这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列，即令an 1 x n 1 y p an xn y然后与已知递推公式比较，解出 x, y，从而得到 耳xn y是公比为p的等比数列。例14.设数列an中，a

6、1 = 4， an 3an 1 2n 1 n 2，求数列的通项公式。类型 4. an 1 pan p 0,an 0这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为类型1，用待定系数法求解1 2例15.已知数列 an中，a1 = 1， an 1 an a 0，求数列 an的通项公式a类型5. an 1耳 f nf n ，然后按奇偶将原递推公式改写成 an 2 an 1 f n 1，两式相减即得an 2 an f n 1 分类讨论即可.例16.已知数列 an中，a1 = 1， an 1 an 2n ,求数列 an的通项公式。类型 6. an 1 an=f n将原递推公式改写成 an 2 an 1 f

7、n 1 ,两式做商即得 孔 -，然后按奇偶分类讨论即可 anf n例17.已知数列an中，a1= 1，an1 an 2n，求数列an的通项公式。六.取倒数法:类型1.an1P n p,q,r 0,且an 0, qan r 0 qan r类型2.有些关于通项的递推关系式变形后含有 anani项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以anani后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出an例18、已知数列a*， ai =1，an 1ann N，求 an = ？例19、已知数列an满足a1-，且 an血1 ( n 2 n N )22an 1 n 1()求数列 an的通项公式例20.已知各项均为

8、正数的数列an满足：a1 3，且细1 an a.% 1 n N求数列an的通2an an 1项公式。七重新构造新方程组求通项法an与bn必须得重新构造关于有时数列 an和 bn的通项以方程组的形式给出，要想求出an和bn的方程组，然后解新方程组求得an和bnan例21.已知数列 an, bn满足ai =2，b =1且bn3an 141an 14bn 114（ n 2 ），求数列an, bn3 bn 1 14的通项公式分析该题条件新颖，给出的数据比较特殊，两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等比数 列，从而再通过解方程组很顺利求出an、bn的通项公式。若改变一下数据，又该怎样解 呢？下面给出一种通法。an 1 2an 6bn