数列求与7种方法

1、数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习)一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减 法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法等差数列求和公式：S1、n(a1 a.)“ n(n -1)na1d22、等比数列求和公式：Sn二a1 (1 - q )1-q(q=1)a1 " anq1 -q(q = 1)3、1n(n 1)24、Sin八k1 2k吕1n(n 1)(2 n

2、 1)65、nSn 八 k3k A1 2Fn(n 1)例1已知x二n项和.解：由等比数列求和公式得Sn 二 X X2X3 xn(利用常用公式)1 1x(1 xn)1 -x2(1莎)_ 1丄 12n2例2设 S"=1+2+3+ +n，n N*，求 f(n)=gs；的最大值解：由等差数列求和公式得Sn1 n(n 1), Sn = 1 (n 1)(n2)2 2（利用常用公式）f (n)二Sn(n ' 32) Sn 1n2n 34n 64164 n 34n1即n= 8时,f (n ) max50二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数

3、列项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列23n /例 3求和：Sn =1 3x 5x 7x 亠 亠（2n -1）x 解：由题可知，（2n- 1）xn'的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列 xn设 xSn =1x 3x2 5x3 7x4 心：(2nn-1)x得(1 -x)& =1 2x 2x2 2x32x4：2xn一(2n - 1)xnan bn的前 n的通项之积（设制错位）（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：（1 -x）Snn J1 X=1 2x(2n - 1)xn1 - xc (2n -1)xn (2n 1)xn (1 x)Sn =(1 - X)2例4求

4、数列2 ,弓，£ ,；2 ,前n项的和2 22 23 2nQ n匚的通项是等差数列2n的通项与等比数列2幺.自.22232n46 纽2223 241 22-得(/Sn J222 n -12o _, n 十2Sn =4 _解：由题可知,丄的通项之积2设Sn2* 1222+ + + .+23 24少n2n（设制错位）（错位相减）7)-1-1 I -，求数列 an的前n项和S.答案：爲二弘2忙1$ _ 22心二弘2” _ 2" +11 3 521练习题22“2厂2s的前n项和为心=3一警答案：I练习题1 已知三、逆序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个

5、数列倒过来排列(反序)数列相加，就可以得到 n个(a! an).例 5求证：C0 3C： 5C；(2n 1)C： = (n 1)2n证明：设 Sn =C0 3C1 5C2 - (2n. 1)C： .把式右边倒转过来得Sn =(2 n 1)C： (2 n-1)C：3C： C；又由Cm可得Sn =(2n 1)C0 (2n 1)C： W C； .+得 2Sn =(2n+2)(C0 +U + +C；-1 +C；) = 2(n+1) 2n，再把它与原(反序)(反序相加)(1)(2)Sn =(n 1) 2n已知函数:-证明：LI+/+/ 10丿110丿的值.解:(2)(i)先利用指数的相关性质对函数化简，

6、后证明左边=右边利用第(i)小题已经证明的结论可知，< 1>(9广5)+/=/+/ = =/ +/而vOj而f/ Q X则ST 2 +/ 10 J两式相加得:四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1 1 1例7求数列的前n项和：11,4,-y 7,u 3n -2 ,a aa1 1 1 解：设 Sn = （11）（4）（ 27）亠 亠（3n - 2）aaa将其每一项拆开再重新组合得1 1 1Sn = （1a1 .2j) - (1 4 7 囂囂 3n _ 2)a(3n-1)n(3n1

7、)n=n=-21_丄J an+(3n-1)n =a例8求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.当a= 1时,Sn（分组）（分组求和）解：设 ak =k(k 1)(2k1) =2k33k2 k1 -na - a (3n -1)n a -12nnSn = k(k 1)(2k 1) =、(2k3 3k2 k)k =1k W将其每一项拆开再重新组合得nnnSn= 2k3 3' k2' kk=1k=1k=1=2(1323n3) 3(1222 n2)(1 25)2 2n (n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)2 2 2（分组）（分组求和）2n(n 1)2(n 2)五、裂项法求

8、和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)an=f (n 1)-f(n)(2)sinltan(n 1)、-tanncosn cos(n 1)(3)ann(n 1)(4)(2n)2可 一(2n1)(2n 1)=1(丄2 2n12n 1(5)ann(n -1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)ann(n 1)12n2(n1) -nn(n 1)12nn -1n2 (n 1)2，则Sn=1 -(n 1)2n(7)(8)an例9求数列1 , ,.OZn rn 1 的前

9、n 项和.解：设an（裂项）_.厂厂 + 一l1、2.2.3、n（裂项求和）=C2 - J) (3 -、2)( n 1 -、n)例10在数列an中,an-，又 ban an 1求数列bn的前n项的和.(An B)(An C) C - B(An B An Can解:（裂项）站丄）n二数列b n的前n项和Sn1=8(1 )=(2009年广东文)20.(本小题满分1 13)(38nn 114分)11一4)(n1n-1)(裂项求和)1已知点(1,_)是函数f(x)二ax(a 0,且a = 1 )的图象上一点，等比数列an的前n项和为f(n)3c,数列bn(bn0)的首项为c,且前n项和Sn满足SnS*

10、=Sn+Sn1(n_2).(1)求数列an和bn的通项公式;1 1000(2)若数列 前n项和为Tn,问Tn>-000的最小正整数2009n是多少？bnbn 10.【解析】(1)ai 二1f 1 "c ,a2|Lf 2 _c.-f 1 -ca3ILf3 -c. 一 ILf 2 -cJ=27又数列ian f成等比数列,as1二1 -c，所以327a1又公比q 2 =，所以3-n 42 i1an :n 3 3QSn-Sn 八一云.5 ,S ,Sn2又 bn 0 ,. Sn0,Sn - . Sn=1 ；数列-.瓦？构成一个首相为1公差为1的等差数列，,Snn-1 1=n ,Sn当 n

11、2，bn2 2=Sn -Sn=n -<n T 2n -1 ；bn - 2n -1(b1b21b2b3bsb41 -2.32 3bnbn 11 3 3 5 5 72 2n -1 2n 1(2n-1) 2n 1亠 -,2 2n 1 2n 12n 12009 得满足Tn的最小正整数为112.2009+练习题1.17I44x71(划-2)x (翻 +1)+424 3»5 46一 一.1h 111 )一答案：丄34-2h+3 J练习题2。求数列通项公式的常用方法(1) 求差(商)法练习数列a?满足Sn Sn 1 =5an 1,印=4，求3注意到an 4 = Sn彳- Si，代入得 邑=

12、4 又3=4 ,.、Sn *是等比数列，S = 4“Sn；n 2时，an =Sn 卡4 = = 3-4n4(2) 叠乘法如：数列：an中，a4 =3,旦口 = ，求anan n +1an J 23an-又 a3,-an(3) 等差型递推公式由 an-an4、= f(n), Q a。，求 an，用迭加法a?a1 = f(2)'a3 a2 f (3)n =2时, j两边相加得an -Q = f (2) + f+ f(n)an -an4 二 f (n)二 an 二a。f(2)f(3)f (n)练习数列:an /中，a1 =1,an =3nand n - 2，求a.an(已知数列春满足aV，an"anJ ，求 an on n解：由条件知：an 1 -an二飞n+n n(n+1) n n+1分别令n =1,2,3,(n 一 1)，代入上式得(n 一1)个等式累加之，即(a 3 ) 3 -2) (&4 3) '(an an)1 U(- -)n -1 n1 1 1 1 1"2)+(厂 3)+(3 蔦)1所以 an -a1 =1 -1n11,-a1, an 122(4) 等比型递推公式d为常数,可转化为等比数列,设