提高例题：相交线与平行线培优

1、七年级数学：相交线与平行线一、知识要点：1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。2两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。3垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1 ）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2 ）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。4 两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做:如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做 ;如果两个角都在两直线

2、之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做 5.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线 .推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么 .6 平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：.7 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线.8 平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成： .两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 .简单说成：

3、 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补 简单说成： .方法指导：平行线中要理解平行公理， 能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、 同旁内角，并会运用与“三线八角” 有关的平行线的判定定理和性质定理， 利用平行公理及 其推论证明或求解。、例题精讲 例1 .如图，直线a与b平行，/ 1 = (3x+70) °/2=(5x+22)a求/3的度数。解： a /b ,Z3 = Z4 （两直线平行，内错角相等）/ Z1+ Z3 =/2+ Z4 = 180。（平角的定义） Z1 =/2（等式性质）则 3x+70 = 5x+22 解得 x=24即/1 = 142 °Z3 =

4、 180 ° Z1 = 38评注：建立角度之间的关系，即建立方程(组)，是几何计算常用的方法。例 2 .已知：如图（2） , AB /EF/CD , EG 平分/ BEF,/B+ /BED+ ZD =192 ° ,ZB- ZD=24 °，求zGEF 的度数。解：TAB /EF/CDZB= ZBEF,ZDEF= ZD (两直线平行，内错角相等)vzB+ /BED+ ZD =192。（已知）即 ZB+ ZBEF+ ZDEF+ /D=192 °2 （ZB+ ZD） =192 ° （等量代换）则ZB+ ZD=96 ° （等式性质）图/zB-

5、ZD=24。（已知）zB=60 ° （等式性质）即ZBEF=60 ° （等量代换）EG平分Z BEF （已知）1zGEF= ZBEF=30。（角平分线定义）2例 3 .如图（3）,已知 AB /CD，且Z B=40 °,Z=70。，求 ZDEB 的度数。eF，则应添出辅助线。解：过E作EF/ABAB /CD （已知）EF/CD （平行公理）ZBEF= /B=40 ° ZDEF= ZD=70 ° （两直线平行，内 错角相等）ZDEB= /DEF- ZBEFZDEB = ZD- ZB=30评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角 图

6、（3）例4 .已知锐角三角形 ABC的三边长为a , b , c,而ha, hb, hc分别为对应边上的高线长,求证：ha+h b+h eV a+b+c分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段 证明：由垂线段最短知，haV e ， hb v a， hev b以上三式相加得 h a+h b+h eV a+b+e研究垂直关系应掌握好垂线的性质。1 .以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。2 .垂线段最短。例5 .如图（4）,直线AB与CD相交于 0, EF AB于F, GHCD 于 H ,求证EF与GH必相交。分析:欲证EF与GH相交，直接证很困难，可考虑用反证人/D法。F .H证明:假设

7、EF与GH不相交。CB EF、GH是两条不同的直线 EF/GH/ EF AB GH AB又因GH CD 故AB /CD （垂直于同一直线的两直线平行 ）图（4）这与已知AB和CD相交矛盾。所以EF与GH不平行，即EF与GH必相交评注：本题应用结论：（1）垂直于同一条直线的两直线平行。(2)两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；例6 .平面上n条直线两两相交且无 3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？ 解：2条直线产生1个交点，第3条直线与前面2条均相交，增加 2个交点，这时平面上 3条直线共有1+2=3 个 交点；第4条直线与前面3条均相交，增加 3个交

8、点，这时平面上 4条直线共有1+2+3=6 个交点；1贝U n条直线共有交点个数：1+2+3+ + (n-1)=n(n-1)2评注：此题是平面上 n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考， 从中发现规律。例7 . 6个不同的点，其中只有 3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条 直线？解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+仁15条直线，除去共线的 3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13 条。另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3 X 3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13 条1评注：

9、一般地，平面上 n个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+(n-1)=n(n-1)例8 . 10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7 个不同区域;同理：4条直线最多分成 2+2+3+4=11 个不同区域; 10条直线最多分成 2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域11推广：n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+n=1+n(n+1)=(n 2+n+2)22块不同的区域思考：平面内n个圆两两相交，最多将平面分成

10、多少块不同的区域?例9.平面上n条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于1800证明：平面上n条直线两两相交最多得对顶角咛1个角即 2n(n-1)平面上任取一点 O ,将这n条直线均平行移动过点成为交于一点O的n条直线,这n条直线将以O为顶点的圆周角分为 2n个(共X2 = n(n-1)对,n对)互不重叠的角：1、2、3、2n由平行线的性质知，这2n个角中每一个都和原来 n条直线中的某两条直线的交角中的 一个角相等，即这 2n个角均是原2n(n-1)个角中的角。卄、18001800右这 2n 个角均大于，贝U 1+ 2+ 3+ + 2n >2n x =360 ,而 1+ 2+

11、3+ 2n =360。，产生矛盾故 1、2、3、2n中至少有一个小于1800n即原来的2n(n-1)中至少有一个角不小于1800n评注：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。例10 . (a)请你在平面上画出 6条直线(没有三条共点)，使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法。(b )能否在平面上画出 7条直线(任意3条都不共点)，使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。过 D 作 n2 n1，过 G 作 n3n1, 这时 m2、m3、n2、n3交得E、F、H、丨四点，如图所示。由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每

12、条直线都恰 与另3条直线相交。(b)在平面上不能画出没有 3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外 3条直线 相交。理由如下：假设平面上可以画出 7条直线，其中每一条都恰与其它3条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有 3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点。根据直线去计数这些交点，共有3 X7 = 21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复21计数一次，所以这 7条直线交点总数为 =10.5个，因为交点个数应为整数，矛盾。2所以，满足题设条件的 7条直线是画不出来的。三、巩固练习1 .平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线

13、（ ）条A. 6 B.7 C. 8 D. 92 平面上三条直线相互间的交点个数是（）A . 3 B . 1 或 3 C. 1 或 2 或 3D .不一定是 1 , 2, 33.平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）A . 36 条 B. 33 条 C. 24 条 D . 21 条4 .已知平面中有n个点A, B,C三个点在一条直线上，代D,F,E四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时 n等于（）(A) 9(B) 10(C) 11(D) 125 .若平行直线AB、CD与相交直线EF、

14、GH相交成如图示的图形,则共得同旁内角（如图,90B . 8 对 C. 12 对16对已知FD /BE，则 Z1+ Z2- 73=(1351501807 .如图，已知 AB /CD, 7仁 7，则/E与7F的大小关系 GAPBCQDE*SlF5点之外这些直线最多还R第10题H8 平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的有交点9.平面上3条直线最多可分平面为个部分。10 .如图，已知 AB /CD /EF, PS GH 于 P,/FRG=110则/PSQ =。11 .已知A、B是直线L外的两点，则线段 AB的垂直平分线与直线的交点个数是12 .平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点

15、个数不会超过 个。13 .已知：如图， DE /CB，求证：/ AED= 4+ ZB14 .已知：如图， AB /CD，求证：Z B+ ZD+ ZF= ZE+ ZGF第14题第13题15 .如图，已知 CB AB , CE平分/ BCD , DE平分/CDA ,/EDC+ ZECD =90 ° ,求证：DA AB16.平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点?17 .平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？18 .一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？19 .平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小

16、于23 °。20 .平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？画出图形。答案1 .5个点中任取2点，可以作4+3+2+1= 10条直线，在一直线上的3个点中任取2点,可作2+1 = 3条，共可作10-3+1 = 8 （条）故选 C2平面上3条直线可能平行或重合。故选D3 .对于3条共点的直线，每条直线上有4个交点，截得3条不重叠的线段，3条直线共有9条不重叠的线段对于3条不共点的直线，每条直线上有5个交点，截得4条不重叠的线段，3条直线共有12条不重叠的线段。故共有21条不重叠的线段。故选 D4 .由n个点中每次选取两个点连直线，可以画出-n（

17、n一1）条直线，若ABC三点不在一条直线上，可以画出3条直线，若代D,E,F四点不在一条直线上，可以画出6条直线，n(n 1)236 238.整理得n2n 900,(n 10)( n 90)0./ n+9 > 0n10,选 B。5 .直线EF、GH分别“截”平行直线 AB、CD，各得2对冋旁内角，共4对；直线AB、CD分别“截”相交直线 EF、GH，各得6对同旁内角，共12对。因此图中共有同旁内角4+6 = 16 对EB6 .FD /BE/2= ZAGF5GC= Z1- Z3Z1+ /2- Z3= ZAGC+ /AGF=180选 B7 .解：TAB /CD（已知）ZBAD= ZCDA （

18、两直线平行，内错角相等）/Z1= Z2(已知)ZBAD+ /仁ZCDA+ 亠(等式性质)即ZEAD= /FDAAE /FDzE=ZF8 .解：每两点可确定一条直线，这5点最多可组成10条直线，又每两条直线只有一个交点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1= 45 （个）又因平面上这 5个点与其余4个点均有4条连线，这四条直线共有3+2+1 = 6个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉5X6=30个交点，所以有交点的个 数应为45-30 = 15个CDSElF4第10题7HGAPB9 .可分7个部分10 .解AB /CD /EFZAPQ =ZDQG= /FRG=110 

19、6; 同理/ PSQ= ZAPSZPSQ= ZAPQ- ZSPQ= ZDQG- /SPQ=110 °-90 °=20 °11.0个、1个或无数个 1 ）若线段AB的垂直平分线就是 L,则公共点的个数应是无数个;2 ）若AB L,但L不是AB的垂直平分线，则此时AB的垂直平分线与 L是平行的关系，所以它们没有公共点，即公共点个数为0 个;3 ）若AB与L不垂直，那么AB的垂直平分线与直线L一定相交，所以此时公共点的个数为1个12 . 4条直线两两相交最多有 1+2+3 = 6个交点13 .证明：过E作EF/BAZ2= ZA （两直线平行，内错角相等）DE /CB,E

20、F/BAZ= ZB （两个角的两边分别平行，这两个角相等） Z+ Z2= ZB+ ZA （等式性质）即 ZAED= ZA+ ZB14 .证明：分别过点 E、F、G作AB的平行线EH、PF、GQ ,贝U AB /EH /PF/GQ （平行公理）/ AB /EH/ABE =ZBEH （两直线平行，内错角相等）同理：/ HEF =/EFPZPFG=/FGQ/QGD =/GDCZABE+ ZEFP+ ZPFG+ /GDC = /BEH+ ZHEF+ZFGQ+ /QGD (等式性质)即 ZB+ ZD+ ZEFG= ZBEF+ ZGFD15 .证明：VDE平分/CDACE 平分/ BCD zEDC= ZA

21、DE/ECD = /BCE （角平分线定义） /CDA + ZBCD= ZEDC+ ZADE+ ZECD+ /BCE=2 (/EDC+ /ECD )= 180DA /CB又 CB AB DA AB16.两个圆最多有两个交点，每条直线与两个圆最多有同的交点，即最多交点个数为：2+4 X3+3=174个交点，三条直线最多有3个不17 . （1 ） 2个圆相交有交点 2 X1 = 1个，第3个圆与前两个圆相交最多增加2 X2= 4个交点，这时共有交点2+2 X2 = 6个第4个圆与前3个圆相交最多增加 2 X3 = 6个交点，这时共有交点2+2 X2+2 X3 = 12个 第5个圆与前4个圆相交最多增加 2 X4 = 8个交点 5个圆两两相交最多交点个数为：2+2 X2+2 X3+2 X4 = 20(2 ) 2个圆相交将平面分成 2个区域3个圆相看作第3个圆与前2个圆相交，最多有 2X2 = 4个不同的交点，这4个点将 第3个圆分成4段弧