圆锥曲线复习提纲

1、圆锥曲线复习提纲、知识归纳:名 称椭圆双曲线图 象V141k;1 11J*J疋义平面内到两定点 F1, F2的距离 的和为常数(大于| F1F2 )的动点 的轨迹叫椭圆+即MF1 MF2 2a当2a > 2c时，轨迹是椭圆，当2a 2c时，轨迹是一条线 段 F1F2当2a < 2c时，轨迹不存在平面内到两定点F1,f2的距离的差的 绝对值为常数(小于F1F2)的动点的 轨迹叫双曲线.即卩輕卜网场卜如 当2a < 2c时，轨迹是双曲线 当2a 2c时，轨迹是两条射线 当2a > 2c时，轨迹不存在标准 方 程2 2焦点在x轴上时：务笃1ab22焦点在y轴上时：y2 x21

2、a2 b2注：根据分母的大小来判断焦点 在哪一坐标轴上2 2焦点在X轴上时：手每1a b22焦点在y轴上时：y2 x21ab常数a,b,c 的关 系22,2ca c b ， a b 0， a 最大，c b,c b, c b22,2cc a b ， c a 0 c 最大，a b,a b,a b渐近 线焦点在x轴上时：上丿0a b焦点在y轴上时：0a b2 21.椭圆的性质：椭圆方程孑冷1(0)(1) 离心率：椭圆焦距与长轴长之比。 e £ e 1 (b)2 。 ( 0 e 1 ) e可以刻画 a* a椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆. 点P是椭圆上任一点，当点P在短轴

3、端点位置时，F1PF2取最大值. 椭圆的第二定义：当平面内点 M到一个定点F(c,0)(c 0)的距离和它到一条定直线l : x 的距离的比是常数e C（0 e 1）时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的ca焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数 e是椭圆的离心率.（1）弦长公式：设直线y2、直线与椭圆位置关系kx b交椭圆于 R(xi, yj, P2(x2, y2)1k21 y1y2 (k0)b / x yx （ 0）a a b2c c，叫做双曲线的离心率.范围：e>12a a则 |RP2|.1 k xi X2，或 |RP2|4、双曲线的几何性质：（1）渐近线2 2 双曲线笃爲1的渐近线ya

4、b（2）离心率双曲线的焦距与实轴长的比e（3）等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。等轴双曲线的性质：a、渐近线方程为：y x ； b、渐近线互相垂直；c、离心率e 2。（4） 共渐近线的双曲线系：如果已知一双曲线的渐近线方程为y bx，那么此a22双曲线方程写成笃爲a b抛物线:图 象jy17Ki"TII y 上>广Kp的几何意义：p表示焦点到准线的距离 2p表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）方 程y22px(p 0)2y2px(p0)2x 2py(p 0)2x2py(p 0)焦 八、 占八、（扫(卫,0)2（0占2(0,舟)2准 线x92x卫2y 2y

5、号抛物线的几何性质若过焦点的直线交抛物线寸2px（p 0）于A（Xi,yJ、B（X2,y2）两点，贝U弦长ABx1 x2 p二.重点题型1. 圆锥曲线的定义：（1）已知定点片（3,0）,F2（3,0），在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（）A.PF1PF24B.PF1PF26C.PF1PF210D.PF2PF2I12_（.一2）.一方程寸 6py2 '（X6py2 8表示的曲线是 .2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标 准位置的方程）：2 2（1）已知方程丄 丄 1表示椭圆，则k的取值范围为3 k 2 k（2） 若x,y R，且3x

6、2 2y2 6，则x y的最大值是，x2 y2的最小值是（3） 双曲线的离心率等于 ，且与椭圆x【1有公共焦点，则该双曲线的方程294（4）设中心在坐标原点0，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e 2的双曲线C过点P（4, J10），则C的方程为3. 圆锥曲线的几何性质：2 2 （1）若椭圆L 1的离心率e涇，则m的值是 ,5 m5（2） 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为（3）双曲线的渐近线方程是3x 2y 0，则该双曲线的离心率等于4. 直线与圆锥曲线的位置关系：（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y 2=6的右支有两个不同的交点，贝Uk的取值范

7、围是2 2（2） 直线y kx 仁0与椭圆匚 1恒有公共点，则m的取值范围是5 m2 2（3） 过双曲线 L 1的右焦点直线交双曲线于 A、B两点，若丨AB|= 4,则这样1 2的直线有条（4） 过点（2,4）作直线与抛物线y2 8x只有一个公共点，这样的直线有 2 2（5）过点（0,2）与双曲线L 匕1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为916焦点的距离等于;(2) 若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为3)抛物线y2 2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴的 距离为6焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题：常利用第一定义和正弦、

8、余弦定理求解。(1) 短轴长为5，离心率e -的椭圆的两焦点为Fi、F2，过Fi作直线交椭圆于A、3B两点，贝U ABF2的周长为(2) 设P是等轴双曲线 x2 y2 a2(a 0)右支上一点，Fi、F2是左右焦点，若PF2 F1F20，|PFi|=6,则该双曲线的方程为 2 2(3) 椭圆 仝i的焦点为Fi、F2,点p为椭圆上的动点，当 琵 pF <0时，点p94的横坐标的取值范围是 /6(4) 双曲线的虚轴长为4,离心率e=二，Fi、F2是它的左右焦点，若过Fi的直线与2双曲线的左支交于A、B两点，且|AB是AF2 与| BF2I等差中项，则 AB =(5) 已知双曲线的离心率为2,

9、Fi、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且FiPF2 60 ,Spf/2 i2 3 求该双曲线的标准方程 7、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 、弦长公式：(1) 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于 A (xi ,yi),B( X2, y2)两点，若xi+x2=6,那么|AB|等于(2) 过抛物线y2 2x焦点的直线交抛物线于 A、B两点，已知|AB|=i0, O为坐标原 点，则 ABC重心的横坐标为 8、 圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法” 求解。2 2(1) 如果椭圆一 i弦被点A (4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是 3692 2(2

10、) 试确定m的取值范围，使得椭圆 乂 i上有不同的两点关于直线y 4x m对43称9 动点轨迹方程：(i)(待定系数法)线段AB过x轴正半轴上一点M (m, 0) (m 0)，端点A、B到x 轴距离之积为2m,以x轴为对称轴，过A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程为_(2) (直接法)已知动点P到定点F(i,0)和直线x 3的距离之和等于4,求P的轨迹 方程.(3) (定义法)由动点P向圆x2 y2 i作两条切线PAPB,切点分别为A、B, / APB=60 则动点P的轨迹方程为(4) 点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x 5 0的距离小于i,则点M的轨迹方程是 一动圆与两圆。M x2 y2 i和