势垒贯穿(隧道效应)

1、 提纲提纲18-10 势垒贯穿（隧道效应）势垒贯穿（隧道效应）18-9 一维无限深方势阱一维无限深方势阱 隧道效应和扫描隧道显微镜隧道效应和扫描隧道显微镜STM 薛定谔方程薛定谔方程 标准化条件及解的物理意义。标准化条件及解的物理意义。 几点讨论几点讨论 力场中粒子的薛定谔方程力场中粒子的薛定谔方程 定态薛定谔方程定态薛定谔方程18-8 薛定谔方程薛定谔方程 自由粒子的自由粒子的 薛定谔方程薛定谔方程作业：作业：18-28、29、3218-8 薛定谔方程薛定谔方程 在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数 来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。来描写

2、；状态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理 的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的 又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。本章将简单介绍量子体系的运动状态如何用本章将简单介绍量子体系的运动状态如何用 波函数波函数来描述；力学量如何用来描述；力学量如何用力学量算符力学量算符来来 描述。描述。建立薛定谔方程的主要依据和思路：建立薛定谔方程的主要依据和思路：* 要研究的微观客体具有波粒两象性，应该满足要研究的微观客体具有波粒两象性，应该满足 德

3、布罗意关系式德布罗意关系式phhE/,/* 满足非相对论的能量关系式，对于一个能量为满足非相对论的能量关系式，对于一个能量为E， 质量为质量为m，动量为，动量为P的粒子：的粒子：)(22rVmpE* 若若 是方程的解，则是方程的解，则 也是它的解；也是它的解； 若波函数若波函数 与与 是某粒子的可能态，则是某粒子的可能态，则 也是该粒子的可能态。也是该粒子的可能态。121C12211CC因此，因此，波函数应遵从线性方程波函数应遵从线性方程。* 自由粒子的外势场应为零。自由粒子的外势场应为零。0)(rV 自由粒子的自由粒子的 薛定谔方程薛定谔方程)(),(0 xpEtetxi沿沿x方向运动的动能

4、为方向运动的动能为E和动量为和动量为 的自由粒子的波函数的自由粒子的波函数p),(),(txEittxpix2222px)2(22222mpExmti)2(22222mpExmti为自由粒子的质量，因为势能为零，所以为自由粒子的质量，因为势能为零，所以mmpE22所以得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：所以得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：2222xmti)exp(),(0rpEtitrk一个动能为一个动能为E和动量为和动量为 ，即，即波矢波矢为为 的自由粒子，在坐标表象的波函数：的自由粒子，在坐标表象的波函数：pk p同样推广到三维如下：同样推广到三维如下：),(),(trEitt

5、rkk显然，波函数对时间求导，可得出：显然，波函数对时间求导，可得出：),(),(trEttrikk波函数对空间求导可得出：波函数对空间求导可得出：);,(),(trpixtrkxk);,(),(trpiytrkyk);,(),(trpiztrkzk),(),(2222trpxtrkxk),(),(2222trpytrkyk),(),(2222trpztrkzkkkpzyx22222222)(2222222zyx定义算符：定义算符：),(),(222trptrkk则得：则得：mpE22考虑自由粒子的能量：考虑自由粒子的能量：),(2),(22trmttrikk),(),(222trEtrmkk

6、又因为：又因为：得出：得出：许多单色平面波线性叠加的态仍是上述方程的解。许多单色平面波线性叠加的态仍是上述方程的解。自由粒子的自由粒子的 薛定谔方程薛定谔方程),(),(trEttrikk量子体系的运动状态由量子体系的运动状态由波函数波函数来描述，来描述， 力学量用力学量力学量用力学量算符算符来描述。来描述。在一个确定的量子体系中测量某些力学量的值，在一个确定的量子体系中测量某些力学量的值， 不一定有确定值。若其中某个力学量有确定的不一定有确定值。若其中某个力学量有确定的 测量值，则该波函数所描述的状态是该力学量测量值，则该波函数所描述的状态是该力学量 的的本征态本征态。下面简单介绍量子力学算

7、符和下面简单介绍量子力学算符和 经典力学中的力学量的对应关系：经典力学中的力学量的对应关系：前面已经从经典自由前面已经从经典自由 粒子的波函数得出了粒子的波函数得出了 它应满足的方程，从它应满足的方程，从 中我们可得到些启示，中我们可得到些启示，),(2),(22trmttrikk从上式推导可知若有如下对应关系：从上式推导可知若有如下对应关系：EtikkEtixpxi kxkpxi pikkpi),(2),(22trmttrikk可得出：可得出：动量动量 算符算符kzjyix定义),(),(222trEtrmkk动能动能 算符算符222mT 力场中粒子的薛定谔方程力场中粒子的薛定谔方程)(rV

8、如果粒子在势场如果粒子在势场 中运动，能量：中运动，能量：)(22rVmpE),()(2),(22trrVmttrikk其薛定谔方程：其薛定谔方程：),(),(trHttrikk)(222rVmH定义哈密顿算符定义哈密顿算符： （也称能量算符）（也称能量算符）则薛定谔方程为：则薛定谔方程为：称称 为在坐标表象中的势能算符。为在坐标表象中的势能算符。)(rV 定态薛定谔方程定态薛定谔方程)()(),(:tfrtr设dttdfritfrrVrtfm)()()()()()()(222两边除以两边除以 可得：可得：)()(tfrdttdftfirrVrmr)()(1)()()(2)(122若作用在粒子

9、上的势场若作用在粒子上的势场 不显含时间不显含时间 t 时，时， 在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情 况，薛定谔方程可用分离变量法求它的特解。况，薛定谔方程可用分离变量法求它的特解。)(rV)()()(222rErrVm由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边 必须等于同一个常数，设为必须等于同一个常数，设为E则有：则有：)()(tEfdttdfictiEtf)(ln)exp()(EtiAtf可见可见E具有能量的量纲具有能量的量纲 与自由粒子波函数类比与自由粒子波函数类比 它代表粒子的能量。它代表粒子的能

10、量。把常数把常数A归到空间部分，归到空间部分， 薛定谔方程的特解为：薛定谔方程的特解为：)exp()(),(EtiArtr定态波函数)()(),(),(rrtrtr对应的几率密度与时间无关。对应的几率密度与时间无关。由这种形式的波函数所描述的状态称之为定态。由这种形式的波函数所描述的状态称之为定态。 其波函数为定态波函数。其波函数为定态波函数。)()()(222rErrVm定态薛定谔方程定态薛定谔方程下面将举例求解处于定态下的粒子具有确定的能量处于定态下的粒子具有确定的能量E、粒子在空间的粒子在空间的 概率密度分布不随时间变化，而且力学量的测量值的概率密度分布不随时间变化，而且力学量的测量值的

11、 几率分布和平均值都不随时间变化。几率分布和平均值都不随时间变化。)exp()(),(EtiArtr18-9 一维无限深方势阱一维无限深方势阱以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。 了解怎样确定定态的能量了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是，从而看出能量量子化是 薛定谔方程的自然结果。薛定谔方程的自然结果。axxV0, 0)(axxxV, 0,)(已知粒子所处的势场为已知粒子所处的势场为：粒子在势阱内受力为零，势能为零。粒子在势阱内受力为零，势能为零。 在阱外势能为无穷大，在阱壁上受在阱外势能为无穷大，在阱壁上受 极大的斥力。称为

12、一维无限深方势阱极大的斥力。称为一维无限深方势阱。其定态薛定谔方程其定态薛定谔方程：)()()()(2222xExxVdxxdm)(xVxaoaxxxExdxxdm, 0)()()(2222axoxEdxxdm)()(2222在阱内粒子势能为零，满足：在阱内粒子势能为零，满足：在阱外粒子势能为无穷大，满足在阱外粒子势能为无穷大，满足：方程的解必处处为零方程的解必处处为零。axxx, 00)(根据波函数的标准化条件，在边界上根据波函数的标准化条件，在边界上0)(, 0) 0(a所以，粒子被束缚在阱内运动所以，粒子被束缚在阱内运动。axoxkxmEdxxd)()(2)(2222在阱内的薛定谔在阱内

13、的薛定谔 方程可写为：方程可写为：类似于简谐振子的方程，其通解：类似于简谐振子的方程，其通解：)sin()(BkxAx代入边界条件得：代入边界条件得：0sin) 0 (BA0)sin()(BkaAa所以，所以，, 3 , 2 , 1; 0nnkaBn不能取零，否则无意义。不能取零，否则无意义。222mEk因为因为, 3 , 2 , 1nnka, 3 , 2 , 122222nnmaEn结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能 取一系列分立值，即它的能量是量子化的。取一系列分立值，即它的能量是量子化的。结论结论：, 3 , 2 , 1),sin()(naxnAx1

14、)(sin02dxaxnAaaA2由归一化条件由归一化条件axnaxnAxn0, 3 , 2 , 1),sin()(axxxn, 0, 0)(一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：讨论：# 零点能的存在零点能的存在 称为基态能量。称为基态能量。22212maE# 能量是量子化的。是由标准化条件而来。能量是量子化的。是由标准化条件而来。 能级间隔：能级间隔：22212) 12(manEEEnnn当当 能级分布可视为连续的。能级分布可视为连续的。0/2/,nEEnnnE)(xnn# 称称 为量子数；为量子数； 为本征态；为本征态； 为本征能量。为本征能量。o一

15、维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度稳定的驻波能级稳定的驻波能级n+1个节点个节点能量本征值能量本征值 对应的能量本征函数对应的能量本征函数 组成组成完备完备的集合。能量量子数的集合。能量量子数n从从1至至 nE)(xnnmmn , 0在坐标表象中任何一个叠加态的波函数都可用这一在坐标表象中任何一个叠加态的波函数都可用这一 组完备的本征函数展开。这组完备集合满足组完备的本征函数展开。这组完备集合满足正交性正交性。mnadxaxnaxma)sin()sin(20nmmn , 1所谓所谓叠加态叠加态，就是各本征态以一定的几率、，就是各本征态以一

16、定的几率、 确定的本征值、独立完整的存在于其中。确定的本征值、独立完整的存在于其中。实验上物理量的测量值，是各参加叠加态实验上物理量的测量值，是各参加叠加态 的可能的本征态的本征值。可以用本征态的可能的本征态的本征值。可以用本征态 出现的几率来计算物理量的平均值。出现的几率来计算物理量的平均值。18-10 势垒贯穿（隧道效应）势垒贯穿（隧道效应）axxxV,0,0)(axVxV0,)(0在经典力学中在经典力学中,若若 ,粒子的动能粒子的动能 为正为正,它只能在它只能在 I 区中运动。区中运动。0VE 0VVOaIIIxIII定态薛定谔方程定态薛定谔方程 的解又如何呢？的解又如何呢？0),()(

17、212122xxEdxxdmaxxExVdxxdm0),()()(22202222axxEdxxdm),()(2323220, 0)()(12212xxkdxxdaxxkdxxd0, 0)()(221222axxkdxxd, 0)()(322322021)(2EVmk222mEk 令：三个区间的薛定谔方程化为：三个区间的薛定谔方程化为：0VVaoxIIIIII0,Re)(1xAexikxikx若考虑粒子是从若考虑粒子是从 I 区入射，在区入射，在 I 区中有入射波区中有入射波 反射波；粒子从反射波；粒子从I区经过区经过II区穿过势垒到区穿过势垒到III 区，区， 在在III区只有透射波。粒子在

18、处的几率要大区只有透射波。粒子在处的几率要大 于在处出现的几率。于在处出现的几率。0 xax其解为：其解为：axTexxk0,)(12axCexikx,)(3根据边界条件根据边界条件：)0()0(21)()(32aa0201|)(|)(xxdxxddxxdaxaxdxxddxxd|)(|)(32求出解的形式画于图中。求出解的形式画于图中。定义粒子穿过势垒的贯穿系数：定义粒子穿过势垒的贯穿系数：2123| ) 0(| )(|aP) 02exp()2exp(| ) 0(| )(|112222kTakTaP) )(22exp()2exp(01EVmaak0VVaoxIIIIII隧道效应当当 时，势垒

19、的宽度约时，势垒的宽度约50nm 以上时，以上时， 贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在 实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。eVEV50 隧道效应和扫描隧道显微镜隧道效应和扫描隧道显微镜STM由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于 表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。只要将原子线度的极细探针只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。面电子云就可能重叠。若在样品与针尖之间若在样品与针尖之间 加一微小电压加一微小电压Ub电子电子 就会穿过电极间的势就会穿过电极间的势 垒形成隧道电流。垒形成隧道电流。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上