第3章 导数与微分

1、第一讲 导数的概念教学内容1. 导数的物理与几何模型;2. 导数的定义;3. 求导举例; 4. 函数的可导性与连续性的关系.教学目的与要求1. 理解导数的概念及它的几何意义、物理意义;2. 能用导数的定义求简单函数的导数;3. 理解可导与函数连续的关系;4. 会用左、右导数的概念判断分断函数的连续和可导性.教学重点与难点导数的概念及它的几何意义、物理意义; 用左、右导数的概念判断分断函数的连续和可导性.教学时数 4§2.1 导数的概念一、导数的物理与几何模型1. 变速直线运动的瞬时速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t质点的坐标为s, s是t的函数: s=f(t),求动点在时刻

2、t0的速度. 考虑比值, 这个比值可认为是动点在时间间隔t-t0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t0®0, 取比值的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即,这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度. 2. 平面曲线的切线的斜率设有曲线C及C上的一点M, 在点M外另取C上一点N, 作割线MN. 当点N沿曲线C趋于点M时, 如果割线绕点旋转而趋于极限位置MT, 直线就称为曲线有点处的切线. 设曲线C就是函数y=f(x)的图形. 现在要确定曲线在点M(x0, y0)(y0=f

3、(x0)处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M外另取C上一点N(x, y), 于是割线MN的斜率为,其中j为割线MN的倾角. 当点N沿曲线C趋于点M时, x®x0. 如果当x®x 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k=tan a, 其中a是切线MT的倾角. 于是, 通过点M(x0, f(x0)且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线. 二、导数的定义1. 函数在一点处导数定义 设函数在内有定义，当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时；相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，

4、则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 . 也可记为 , 或 也称函数增量与自变量增量之比是函数在以及为端点的区间上的平均变化率，导数是函数在点处的变化率，即瞬时变化率2. 函数在一点处导数导函数将处导数定义中的换成，如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 .显然，当 在某区间内变化时，是的函数. 因此称之为导函数. 导函数的记号还有, 或 3.处导数与导函数的关系函数在点的导数是导函数在点处的函数值即 .通常，导函数简称为导数例题1 求函数的导数以及在点的导数.4.不可导的情形由可导定义，如果的极限不存在，即有下述情况之一

5、，称函数在点处不可导（1）=； （2）无稳定的变化趋势.例题2 （1）求函数在处的导数. （2）求函数在处的导数.5. 导数定义的不同形式=的具体形式有以下情况，需要学生灵活运用. （1）=； （2）=； （3）=； （4）=（5）=.例题3 （1）已知存在，求. （2）已知，在处连续，求.（3） 计算极限.三、求导举例 例1求函数f(x)=C（C为常数）的导数. 解: . 即 (C ) ¢=0. 例2. 求的导数. 解: . 例3. 求的导数. 解: . 例4求函数f(x)=x n (n 为正整数)在x=a处的导数. 解: f ¢(a)(x n-1+ax n-2+ 

6、15; × × +a n-1)=na n-1. 把以上结果中的a 换成x 得 f ¢(x)=nx n-1, 即 (x n)¢=nx n-1. (C)¢=0, , , . 更一般地, 有(x m)¢=mx m-1 , 其中m为常数. 例5求函数f(x)=sin x 的导数. 解: f ¢(x) . 即 (sin x)¢=cos x . 用类似的方法, 可求得 (cos x )¢=-sin x . 例6求函数f(x)= a x(a>0, a ¹1) 的导数. 解: f ¢(x) .

7、特别地有(e x )=e x . 例7求函数f(x)=log a x (a>0, a ¹1) 的导数. 解: . 即 . : 特殊地 . , .四、函数的可导性与连续性的关系1.单侧导数根据极限存在的充要条件，函数在点可导，当且仅当与同时存在且相等这两个极限值分别称为在点的右导数和左导数（统称为单侧导数）分别记为，2. 可导的充要条件=例题4 （1）设 讨论函数在处的可导性（2） 设 ，求3. 函数可导与连续的关系 (1).可导必连续设函数在点可导，即存在，由极限与无穷小量的关系知，其中是时的无穷小量上式两端同乘以，得 由此可见，当时， 即函数在点连续 (2). 连续未必可导例

8、如，函数在点处连续（图1），但由例题2（1）知，在点处不可导 同样，函数在点处连续（图2），但由例题2（2），中，在点处不可导. 由上面的讨论可知，函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件，所以如果函数在某点不连续，则函数在该点必不可导 图1 图2作业：练习册第10次第二讲 求导法则(1)教学内容1. 导数的四则运算;2. 反函数的导数法则;3. 复合函数的导数法则.教学目的与要求5. 熟练掌握导数的四则运算法则6. 熟练掌握反函数的求导法则;7. 熟练掌握复合函数的导数法则.教学重点与难点导数的四则运算法则及反函数的导数法则、复合函数的导数法则.教学时数 3§2.2 求导法则(

9、1)一、导数的四则运算设都在处可导，则有； ；.我们现在只证明.证 设则= = =+=例1 ，求，.解 =， =.例2 求的导数.解 . =.例3 求正切函数的导数.例4 求正割函数的导数.二、反函数的导数法则法则： 若单调、连续，在y处可导.且则它的反函数在对应点处可导，单调.且证 由单调性当时，从而，又因为连续，当，从而.利用以上定理可以证明：， ； ， .三、复合函数的导数法则法则：设是由复合而成.若在处可导， 而在处可导.则在处可导且证 在处可导，则有， ，其中. 可以推得 用除以式有，所以=.这个法则相当重要，称为复合函数的链式法则.复合过程可推广到多个情形.例3 求解 为复合而成，

10、所以=.例4 求解 由复合而成，所以=注：在熟练掌握的基础上，可不必写出复合过程，可直接写出结果.例5 解 =.例6 解 =.例7 解 .例8 解 .例9 已知，求法1：=！.法2：. =100！例10 设 且=0，证明：=0证 =，又因为=0，且，故易知=0.例11 设在上有界，求解 =.作业：练习册第11次 第三讲 求导法则(2) 高阶导数教学内容1. 隐函数的导数法则;2. 对数求导法;3. 高阶导数.教学目的与要求8. 熟练掌握导数的隐函数的求导法则;9. 会用对数求导法;10. 会求函数的一阶二阶导数和简单函数的n阶导数;11. 掌握抽象函数的一阶二阶导数的求法.教学重点与难点隐函数

11、的求导法则导数, 对数求导法, 简单函数的n阶导数.教学时数 3 §2.2 求导法则(2)一、隐函数的导数法则1. 隐函数的定义：形如的函数为显函数.而由方程或 所确定的函数为隐函数2. 隐函数求导法：将方程两端对求导（看成的函数），然后解出例1 已知，求.解： 从而.例2 已知，求.解： 则. 将代入原方程里得 所以.例3 求的二阶导数解：，所以， 代入有.3. 对数求导法（多用于求幂指函数与多因式函数求导问题，两边取对数，变显函数为隐函数，再使用隐函数求导法求导）例4 ，求解：,. 所以 法2：，所以.例5 解：,所以 .§2.2 高阶导数一、高阶导数的概念我们知道的导

12、函数仍为的函数，当然可以继续求导数.称的导数为的二阶导函数，记为，或、 类似的我们可以三阶、四阶n阶导数，记为=，由此可见高阶导数的求导法为反复求导法例1 ，求.解 ，=0.例2 证明，满足关系.证 =，=，则.二、n阶求导公式例：求的各阶导数解：.例：已知，求.解：= 同理可以推得 例：，求.解：, 在求n阶导数的过程中.关键是找规律，最后归纳到一般.例：求的n阶导数 解：，.特别地，当时，. 下面我们来导出和、差、积的n阶导数公式. 1. . 2. =. 其中，有点特别.事实上， =此公式称为莱布尼茨公式.例：使用莱布尼茨公式计算的20阶导数解：令，且，所以=+ =+ =.例：试从中，求出

13、，解：= ，= =作业：练习册第12、13次 第四讲 函数的微分教学内容1. 微分的定义;2. 微分的几何意义;3. 微分的基本公式和法则.教学目的与要求12. 理解微分的概念;13. 了解微分的几何意义以及微分与可导之间的关系;14. 熟悉微分的运算法则;15. 会用微分进行近似计算.教学重点与难点微分的概念, 微分的运算法则.教学时数 2§2.4 函数的微分一、 微分的定义1.实例：一个正方形的边长由变到，面积改变了多少？用表示正方形的边长，A表示面积A=，当=，=.所以 =，可见，当很小的时候，.2.定义： 若在处的增量可表示为，其中A为不依赖于的数，则称在处可微，称为的微分.

14、记为，即.3.可微与可导的关系： 可微可导证 必要性：若在处可微； 则 .充分性：若在处可导 在处可微由此可见，若在处微分. 注：是的高阶无穷小 例1 求在，的改变量与微分. 解：记，=， ，又 所以. 为了方便起见，通常规定，故也有二、 微分的几何意义 所以几何上表示曲线在点处切线的增量.三、微分的基本公式和法则1.运算法则；. 2. 一阶微分形式不变性设，不论是自变量还是中间变量都有.证 若是自变量，则； 若是中间变量，则.例1 ，求.解法一： 则解法二： .例2 已知，求.解：= 所以四、微分用于近似计算实际中经常会遇到一些函数表达式较复杂的运算，但是结果又并非要求十分精确,在这种情况下

15、，可考虑使用微分来做近似的计算.条件：；比较小，容易求；公式一：；公式二：.例：求的近似值解：作函数，故，所以=.利用，很小，可证得以下的几个公式：（1）；（2），；（3）.例 有一批半径为1cm的球，为了提高球面光滑度要镀上一层铜.厚度为0.01cm估计一下每只球需要多少铜.（比重8.9克/cm） 解：球体积为，问题变为当变到时求.因为，所以，将数据代入可以算出.所以每只球需要铜克.作业：练习册第14次 第五讲 导数和微分在经济学中的应用举例教学内容1. 常见的几个经济函数;2. 函数的绝对变化率-边际函数;3. 函数的相对变化率-弹性.教学目的与要求16. 了解常见的几个经济函数(成本、收

16、入、利润和需求函数);17. 理解函数的绝对变化率-边际函数;18. 理解函数的相对变化率-弹性.教学重点与难点函数的绝对变化率-边际函数, 函数的相对变化率-弹性教学时数 2§2.5 导数和微分在经济学中的应用举例一、常见的几个经济函数1. 总成本函数其中: 为产量, 为固定成本, 为可变成本. 单位成本(平均成本): 2. 销售收入函数(总收益函数, 总收入函数) 其中: 为销售量, 为销售价格.3. 总利润函数 例1 见教材.4. 需求函数 例2 见教材.二、函数的绝对变化率-边际函数 以总成本函数为例. 当产量从单位变到时, 其成本的单位变化率为 当产量为单位时, 成本的变化

17、率为处的导数 由函数的微分可知, 当很小时, 有 特别地, 当产量在处改变一个单位, 即, 则有 经济学上对上述表达式的解释是: 当产量达到时, 再增加生产一个单位的产品所增加的成本, 可用成本函数在时的导数近似地表示. 由于经济学中把“产量增加一个单位时, 成本的增加数定义为边际成本”, 而导数 在数量上近似地表示产量为时的边际成本. 因此, 经济学中称成本函数的导数为成本函数在产量时的边际成本. 一般地, 经济学中称某经济函数的导数为该函数在的边际函数. 常常略去“近似”二字. 边际成本函数; 边际收入函数; 边际利润函数； 边际需求函数. 利用边际函数来分析经济量的变化, 就称为边际分析. 例3 见教材.