相似三角形的判定讲义

1、相似三角形的判定一、知识点讲解判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。判定定理2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应考虑“两边对应成比例，夹角相等”；当给出的条件全是边时应考虑“三边对应成比例”。 （2）在利用判定定理2时，一是两边的夹角相等，如果不是夹角则不成立。二、典例分析（一）运用判定定理判定三角形相似例1 在矩形ABCD中，E为BC上一点，DFAE于点F。（1）求证：ABEDFA；（2）若AB=6，

2、AD=12,AE=10,求DF的长。变式练习：1、如图，DEBC，EFAB，则图中相似的三角形一共有（ ）A、1对 B、2对 C、3对 D、4对2、具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（ ）A、有一个角是40°两个等腰三角形 B、两个等腰直角三角形C、有一个角为100°的两个等腰三角形 D、两个等边三角形例2 已知：如图，在四边形ABCD中，B=ACD，AB=6,BC=4,AC=5,CD=,求AD的长。变式练习：1、如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中不能判定ABCAED的是（ ）A、AED=B B、ADE=C C、 D、2、已知，P是正方形A

3、BCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，求证：ADMMCP。例3 如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（ ）变式练习：1、在ABC和ABC中，AB=3cm，BC=6cm，CA=5cm，AB=3cm，BC=2.5cm，AC=1.5cm，则下列说法中，错误的是（ ）A、ABC与ABC相似 B、AB与AB是对应边 C、相似比为2：1 D、AB与AC是对应边2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A、B、C、D、E、F都是格点，试证明：ABCDEF。（二）判定定理的运用例4 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接EC，过点E作直线EF交A

4、B于点F。当EF与CE满足什么条件时，AEF与DCE相似？并说明理由。变式练习：1、如图，在ABC中，ADE=C，则下列等式成立的是（ ）A、 B、 C、 D、 第1题 第2题 第3题2、如图，ABD=C，AB=5，AD=3.5，则AC= 。3、如图，D是AC上一点，BEAC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，1=2。求证：FD²=FG·FE.反馈练习 基础夯实1、如图，ADBC于点D，CEAB于点E交AD于点F，则图中与AEF相似的三角形的个数是（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、如图，在RtABC中，ACB=90°,BC=3，AC=4，

5、AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ） A、 B、 C、 D、23、如图，ABC中，AB=AC，A=36°,BD平分ABC，则下列结论：ABCBCD；AB：BC=BC：CD；BC²=AC·CD；AD：DC=AB：BC，其中正确的结论有（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个4、如下图，下列条件不能判定ADBABC的是（ ）A、ABD=ACB B、ADB=ABC C、AB²=AD·AC D、5、如图，在ABC中，D是AB上一点，且AC²=AD·AB，则（ ）A、ADCACB B、BDCBCA C、AD

6、CCDB D、无相似三角形6、满足下列条件的各对三角形中是相似三角形的是（ ）A、A=60°，AB=5cm，AC=10cm；A=60°,AB=3cm，AC=10cmB、A=45°，AB=4cm，BC=6cm；D=45°,DE=2cm，DF=3cmC、C=E=30°，AB=8cm，BC=4cm；DF=6cm，FE=3cmD、A=A，且AB·AC=AC·AB7、如图，已知ABBD，EDBD，C是线段BD的中点，且ACCE，ED=1,BD=4，那么AB= 。8、如图，在ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E

7、，BPDF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形 。 第7题 第8题 第9题 第10题 第11题9、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，ADE=60°，则AE的长为 。10、如图，在ABC中，D是ABA边上一点，连接CD，要使ADC与ACB相似，应添加的条件是 。（写出一个即可）11、如图，在ABC中，CDAB，垂足为D，下列条件中，能证明ABC是直角三角形的有 。A+B=90°；AB²=AC²+BC²；CD²=AD·BD。12、如图，已知，ACB=ABD=90°，BC=6，AC=8，当BD=

8、 时，图中的两个直角三角形相似。13、如图，1=2，B=D，AB=DE=5，BC=4。（1）求证：ABCADE；（2）求AD的长。14、如图，ABC中，CD是边AB上的高，且。（1）求证：ACDCBD；（2）求ACB的大小。15、如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm。球目前在点E的位置，AE=60cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D的位置。（1）求证：BEFCDF； （2）求CF的长。 16、已知，如图，正方形ABCD的边长为2,AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上滑动，在滑动过程中，以M、N、C为顶点的三角形与AED

9、可能相似吗？若能，求出相似时CM的长。能力提升17、如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，C=90°,BDA=90°，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=c，则下列等式成立的是（ ）A、b²=ac B、b²=ce C、be=ac D、bd=ae 第17题 第18题 第19题18、如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从点A 出发到点B为止，动点E从点C出发到点A止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s。如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是（ ）A、3秒或4.

10、8秒 B、3秒 C、4.5秒 D、4.5秒或4.8秒19、如图，D是等边ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF=（ ）A、 B、 C、 D、20、如图，AOB是直角三角形，AOB=90°,OB=2OA，点A在反比例函数的图像上，若点B在反比例函数的图像上，则k的值为（ ） A、-4 B、4 C、-2 D、2 第20题 第21题 第22题 21、如图，在平面直角坐标系中，有两点A(4，0)，B（0，2），如果点C在x轴上（点C与点A不重合），当点C的坐标为 时，使得以点B、O、C为顶点的三角形与A

11、OB相似。22、已知，如图，ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC上延长线上，且OE=OB，连接DE。求证：（1）DEBE；（2）如果OECD，求证：CEDDEB。23、如图，在ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B。（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=，AF=，求AE的长。24、学习图形的相似后，我们可以根据探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。（1）“充分于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似在，你可以得到“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”；

12、（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足 的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成证明过程。已知：如图， 。求证：RtABCRtABC。25、如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EFAE，EF分别交AC、CD于点M、F，BGAC，垂足为G，BG交AE于点H。（1）求证：ABEECF；（2）找出与ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长。思维拓展26、如图1，直线AB分别与两坐标轴将于点A(4，0)，B（0，8），点C的坐标为（2，0）。（1）求直线AB的解析式；（2）在线段AB上有一动点P。如图2，过点P分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点E、F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标；连接CP，是否存在点P，使ACP与AOB相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。27、如图，矩形ABCD中，AD=3cm，AB=a cm(a>3)。动点M、N同时从点B出发，分别沿运动，速度是1cm/s。过点M作直线垂直于AB，分别交AN、CD于点P、Q，当点N到达终点C时，点M也随之停止运动，设运动时间为t秒。（1）若a=4cm，t=1s，则PM= cm；（2）连接PD、PB，若a=5cm，求运动时间t,命名PNBPAD，并求出它们的相似比；