暑期班平面向量与解三角形文科学生版

1、第五讲平面向量与解三角形高考要求平面向量与解三角形要求层次重难点平面向量的相关概念B平面向量平面向量的实际背景及基本概念了解向量的实际背景理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义理解向量的几何表示向量的线性运算掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义了解向量线性运算的性质及其几何意义平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及其坐标表示会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件平面向量的数量积理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系掌

2、握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系向量的应用会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题解三角形正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题向量加法与减法C向量的数乘C两个向量共线B平面向量的基本定理A平面向量的正交分解及其坐标表示B用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算C用坐标表示的平面向量共线的条件C数量积C数量积的坐标表示C用数量积表示两个向量的夹角B用数

3、量积判断两个平面向量的垂直关系C用向量方法解决简单的问题B正弦定理、余弦定理B解三角形B知识精讲板块一：平面向量（一） 知识内容一、平面向量1向量的概念向量既有大小又有方向的量用或来表示，向量的长度记作或零向量长度为的向量，记为，它的方向不确定，通常规定与任意向量平行单位向量：长度为的向量平行向量（共线向量）方向相同或相反的向量向量平行于，记作相等向量：长度相等且方向相同的向量，记为2向量的运算向量加法运用“三角形法则”与“平行四边形法则”（以及多边形法则）；向量的加法满足交换律与结合律；向量的减法：向量加上的相反向量叫做与的差，可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）数乘向量：实数

4、与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的数乘向量满足：，3向量共线的条件：平行向量基本定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得4平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底5平面向量的直角坐标坐标：在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底，该平面内的任一向量可表示成，把叫做向量的坐标，记作平面向量的坐标运算：若，；二、平面向量的数量积两个非零向量的夹角已知非零向量与，作，则（）叫

5、与的夹角，记作当时，与垂直，记数量积的概念已知两个非零向量与，它们的夹角为，则叫做与的数量积（或内积）向量的数量积满足交换律、对数乘的结合律以及与对加减法的分配律向量的投影：称为向量在向量方向上的投影，其中数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积向量数量积的坐标运算：；（二）典例分析： 【例1】 给出下列命题：若，则；若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；若，则；的充要条件是且；若，则；其中正确的序号是 【例2】 （2008湖南理）设、分别是的三边、上的点，且，则与（ ）A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直【例3】 （2008江西理）直角坐标平面上三点、，若为线段的三

6、等分点，则 【例4】 （2007浙江文9）若非零向量，满足，则（ ）AB C D【例5】 （2008江苏启东期中）设向量、满足，若，则的值是_【例6】 （2006湖南理）如图所示，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是 ；当时，的取值范围是 【例7】 已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角（2007山东11）在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ）A BC D【例8】 （2007陕西理15文16）如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则的值为 【例9】 （2005北京），且，则向量与的夹角为（ ）ABCD【例10】 （

7、2009西城一模）设为坐标原点，向量将绕着点按逆时针方向旋转得到向量，则的坐标为 【例11】 （2007四川）设，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（ ）A B C D板块二：解三角形（一） 知识内容在中，、为其内角，、分别表示、的对边解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解斜三角形的主要依据是：角与角关系：；边与边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；边与角关系：正弦定理（为外

8、接圆半径）；余弦定理，；面积公式：（二）典例分析： 【例12】 在中，则角等于（ ）A或 B C D以上答案都不对在中，若，则的形状是_【例13】 在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）A BC D【例14】 （2006安徽）如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）A和都是锐角三角形B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形【例15】 （2008浙江理）在中，角，所对的边分别为，若，则_【例16】 （2008辽宁）在中，内角对边的边长分别是，已知，若的面积等于，求；若，求的面积【例17】 （2008山东理15）已知为的三个内角的对

9、边，向量，若，且，则角 【例18】 （2008上海）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路，已知某人从沿走到用了分钟，从沿走到用了分钟，若此人步行的速度为每分钟米，求该扇形的半径的长（精确到米）【例19】 （2009西城一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，直线的倾斜角为，设，用表示点的坐标及；若，求的值家庭作业习题 1. （2008新课标海南宁夏）平面向量，共线的充要条件是（ ）A，方向相同 B，两向量中至少有一个为零向量C， D存在不全为零的实数，习题 2. 中，若，则点在（ ）A平分线所在直线上 B线段中垂线上C边所在直线上 D边的中线上习题 3. 在中，若，则的值是_习题 4. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，求的值；若，求的值月测备选习题 1. （