应用题——线性规划

1、线性规划例1.（2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？变式1：（2012四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消

2、耗、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是（）A1800元B2400元C2800元D3100元例2. 已知，在处取得极大值，在处取得极小值，且 .（1）证明；（2）求的范围变式2：方程的两根满足，则的范围是 练习1. （2012年高考（江西理）某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面

3、积(单位:亩)分别为（）A50,0B30.0C20,30D0,50 2. （2007四川）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为（ ）A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元 D.24万元3. （2012辽宁）设变量x,y满足则的最大值为（）A20B35C45D554. （2012山东）已知变量满足约束条件,则目标函数的取值范围是（）A BCD5. （2012福

4、建）若函数图像上存在点满足约束条件,则实数的最大值为（）AB1CD26. （2007辽宁）已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ）A B CD7. 满足约束条件的目标函数的最小值是 8. （2012陕西）设函数,是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为_.9. （2010广东）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

5、如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？10. 在中， 的对边分别是，且满足.（1）求的大小；（2）设m，n，且m·n的最大值是5，求的值.ABCDEF11. 如图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；(3) 求直线和平面所成角的正弦值.12. 已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.()求等差数列的通项公式;()若,成等比数列,求数列的前项和.线性规划例1.（2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告

6、，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？0100200300100200300400500yxlM解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得目标函数为二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域 如图：作直线，即平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值联立解得点的坐标为（元）答：该公司在甲电视台做1

7、00分钟广告，在乙电视台，做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元变式1：（2012四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是（）A1800元B2400元C2800元D3100元答案C 解析设公司每天生产甲种产品X桶,乙种产品Y桶,公司共可获得利润为Z元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y 且 画可行

8、域如图所示, 目标函数Z=300X+400Y可变形为 Y= 这是随Z变化的一族平行直线 解方程组 即A(4,4) 例2.已知，在处取得极大值，在处取得极小值，且 .（1）证明；（2）求的范围答案：（2）（2，5）变式2：方程的两根满足，则的范围是 练习：1. （2012年高考（江西理）某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别

9、为（）A50,0B30.0C20,30D0,50 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用,同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元,则目标函数为.线性约束条件为 即作出不等式组表示的可行域,易求得点. 平移直线,可知当直线经过点,即时,z取得最大值,且(万元).故选B. 2. （2007四川）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，

10、在两个项目上共可获得的最大利润为（ B ）A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元 D.24万元3. （2012辽宁）设变量x,y满足则的最大值为（）A20B35C45D55答案：D4. （2012山东）已知变量满足约束条件,则目标函数的取值范围是（）A BCD【解析】做出不等式所表示的区域如图,由得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时最大为,当直线经过点时,直线截距最大,此时最小,由,解得,此时,所以的取值范围是,选A. 5. （2012福建）若函数图像上存在点满足约束条件,则实数的最大值为（）AB1CD2答案：B6. （2007辽宁）已知变量满足约束条件则的取

11、值范围是（A ）A B CDxy1-17. 满足约束条件的目标函数的最小值是 8. （2012陕西）设函数,是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为_.解析:,曲线及该曲线在点处切线方程为,围成的封闭区域为三角形,在点处取得最大值2. 【答案】2.9. （2010广东）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个

12、单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？解：设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则。 可行域为12 x+8 y 646 x+6 y 426 x+10 y 54x0， xN，y0， yN 即3 x+2 y 16 x+ y 73 x+5 y 27x0， xN y0， yN作出可行域如图所示： 经试验发现，当x=4,y=3 时，花费最少，为=2.5×4+4×3=22元10. 在中， 的对边分别是，且满足.（1）求的大小；（2）设m，n，且m·n的最大值是5，求的值.解（1）， ，即. .（2）m·n=，设则.则m·n=时，m·n取最大值.依题意得，(m·n)=ABCDEF11. 如图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；(3) 求直线和平面所成角的正弦值.设，建立如图所示的坐标系，则.为的中点，.  (1) 证明 ， ，平面，平面.  (2) 证明 ， ，. 平面，又平面，平面平面.  (3) 解 设平面的法向量为，由可得： ，取. 又，设和平面所成的