向量的概念与几何运算

1、向量的概念与几何运算知识梳理1 向量的有关概念及表示法2名称定义表示法向量既有又有的量.向量的大小 叫做向量的或量向模零向量长度为的向量，其 方向是。记作0单位向量长度为的向量叫单 位向量。平行 向量方向或的向量叫平行的 向量叫平行向量。a与b共线 记作0与任意 向量共线 向量的向量又叫做 共线向量。相等 向量且的向量记作相反 向量且的向量记作3. 共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入使得.4. 平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面 内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任 一向量a，有且只有一对实数 1、2，使得. 设 ei、e2 是一组基底， a = x

2、i ei - yi e2 ,b = X2L y2e2，则a与b共线的充要条件是.向量的加法与减法向量 运算定义法则（几何意义）运算律加法求两 个向 量和 的运 算三角形法则交换律 a平行四边形法则结合律a减法若b+x=a，则向量 x叫做a与b的 差，记作a- b三角形法则bb数乘求实数 九与向 量a的积 的运算。 1 a| =当&>0时，X a 与 a ；当九v 0时， k a 与 a ;当扎=0，或 a =0 时，F-丸a .?u（卩 a ）=. （九+ a ） a .扎（a + b ）举例解析 例1 在平行四边形 ABCD中，E是CD的中点,AB =a，AD b，贝U BE

3、等于例2 已知 ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点.设 AB = a， AC = b，求 BE .'fc解：BE = AE - AB = -1（ AB + AC ） - AB =-空 a + 1 b 444变式训练1.如图所示，D是厶ABC边AB上的中点，则向量 CD等于（）A. BC + 1 BA B.- BC -丄 BA2 2C. BC - !bA D. BC + 1BA2 2例3.已知向量a =2e)_3e2 , b =ei亠2良,c =6ei -2e2，其中3、e2不共线,求证：a b与c共线变式训练2：已知平行四边形 ABCD的对角线相交于 0点，点P为平面上任意一点,

4、求证：PA PB PC PD =4P0证明 PA + PC = 2 P0 , PB + PD = 2 PO = PA + PB + PC + PD = 4 PO例4.已知ABCD是一个梯形，AB CD是梯形的两底边，且AB= 2CD M N分别是dc和ab的中点，若Ab = a，AD = b，试用a、 b表示BC和MNBAN =d，试用c，d表示AB和AD解： 连 NC,贝U NC =AD =b MN =MC CN =丄 AB CN =丄召 _b ； BC =NC _NB =b _丄a442变式训练3：如图所示，OADB是以向量0A = a，OB = b为邻边的平行四边形，又BM = 1 BC

5、，CN =丄CD，3 3试用 a、b 表示 OlM，ON， MN . 解：OM 厂 9 + 5b，ON 二 |a + |b，MN = 1 a - 1 b2 6例5.在口ABCD中 M N分别为DC BC的中点，已知 AM =C，基本练习题:AB =a，贝U CD =o1. OA -OB =， 2. 4(3a 2b) -2(b -2a) =，3.在 ABCD中,2. 已知 D是厶ABC的边AB的中点，则向量 CD =()1111 A: BC BAB : -BC BA C : - BC BA D : BC BA2 2 2 23. 已知 D> ABC的边 AB上的一点，且 AD =2DB , CD =CA + CB4. 在 ABC 中，AB BC CA =。5.在 ABC中,AB AC=AB AC，则在 abc的形状是。6.已知两个非零向量a ,b不共线，如果AB 二a b , CD =3(a -b), BC =2a 8b ,求证：A、B、D三点共线小结归纳1 认识向量的几何特性对于向量问题一定要结合图形进行研究向量方法可以解决几何中的证明.2 .注意O与0的区别.零向量与任一向量平行.A B、3注意平行向量与平行线段的区别用向量方法证明AB/CD需证AB II CD，且