南京市高三年级第三次模拟考试数学

1、南京市2016届高三年级第三次模拟考试 数 学 2016.05注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知全集，集合若，则实数的值为_2设复数满足，其中为虚数单位，则复数的共轭复数为 3甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续轮比赛的成绩（单位：环）如下表：选手第1轮第2轮第

2、3轮第4轮第5轮甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是_S1I2While S100II2SS×IEnd WhilePrint I（第5题图）4从个白球，个红球，个黄球这个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是_5执行如图所示的伪代码，输出的结果是_6已知是两个不同的平面，是两条不同直线，给出下列命题：； ； ； 其中正确的命题是_(填写所有正确命题的序号)7设数列的前项和为，满足，则_8设是双曲线的一个焦点，点在双曲线上，且线段的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为_9如图，已知分

3、别是函数在轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且，则该函数的周期是_10已知是定义在上的偶函数，当时，则不等式的解集是_OyxAB（第9题图）ABCDM（第11题图）11如图，在梯形中，若，则_12在平面直角坐标系中，圆，点为圆上任意一点若以为圆心，为半径的圆与圆至多有一个公共点，则的最小值为_13设函数若存在实数，使得函数恰有个零点，则实数的取值范围为_ 14若实数满足，则的最大值为_二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分14分)在中，已知分别为角的对边若向量，向量，且 （1）求的值； （2）

4、若成等比数列，求的值16(本小题满分14分)如图，在直三棱柱中，为棱上一点 （1）若，为棱的中点，求证：平面平面； （2）若平面，求的值 （第16题图）ABCDA1B1C117 (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上 （1）求椭圆的方程； （2）设直线与圆相切，与椭圆相交于两点 OxyFPQ（第17题图） 若直线过椭圆的右焦点，求的面积； 求证:18(本小题满分16分)如图，某森林公园有一直角梯形区域，其四条边均为道路，千米，千米，千米现甲、乙两管理员同时从地出发匀速前往地，甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时 （1）若甲、乙两管理员

5、到达的时间相差不超过分钟，求乙的速度的取值范围； （2）已知对讲机有效通话的最大距离是千米若乙先到达，且乙从到的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度的取值范围（第18题图）CBAD19(本小题满分16分)设函数 （1）当时，求函数的单调减区间； （2）设，求函数在区间上的最大值； （3）若存在，使得函数图象上有且仅有两个不同的点，且函数的图象在这两点处的两条切线都经过点，试求的取值范围 20(本小题满分16分)已知数列的前项的和为，记 （1）若是首项为，公差为的等差数列，其中均为正数 当成等差数列时，求的值； 求证：存在唯一的正整数，使得 （2）设数列是公比为的等比数列，若存在，使

6、得， 求的值南京市2016届高三年级第三次模拟考试 数学附加题 2016.05注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40分，考试时间30分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲APOHC（第21题A图）B如图，已知半圆的半径为，是直径延长线上的一点，与半圆相切于点，是的中点，（1）求证：是的平分线；（2）求的长B选修42：矩阵与变

7、换已知曲线，矩阵所对应的变换把曲线变成曲线，求曲线的方程 C选修44：坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合已知椭圆的参数方程为（为参数），点的极坐标为若是椭圆上任意一点，试求的最大值，并求出此时点的直角坐标D选修45：不等式选讲求函数的最大值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）从这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记为所组成的三位数各位数字之和 （1）求是奇数的概率； （2）求的概率分布列及数学期望23（本小题满分10分） 在平面直角坐标系中，点

8、在曲线上已知，记直线的斜率为 （1）若，求的坐标；（2）若 为偶数，求证：为偶数南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解

9、答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）15 23i 30.02 4 58 674 8 94 101，3 11 123 13(1，2) 14 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分14分)解：（1）因为m·n3bcosB，所以acosCccosA3bcosB由正弦定理，得sinAcosCsinCcosA3sinBcosB，·所以sin(AC)3sinBcosB，所以sinB3sinBcosB因为B是ABC的内角，所以sinB0，所以cosB（2）因为a，b，c成等比数列，所以b2a

10、c由正弦定理，得sin2BsinA·sinC 因为cosB，B是ABC的内角，所以sinB又16(本小题满分14分)证明：（1）因为ABAC，点D为BC中点，所以ADBC 因为ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以BB1平面ABC 因为ADÌ平面ABC，所以BB1AD 因为BCBB1B，BCÌ平面BCC1B1，BB1Ì平面BCC1B1， 所以AD平面BCC1B1 因为ADÌ平面ADC1，所以平面ADC1平面BCC1B1(2)连结A1C，交AC1于O，连结OD，所以O为AC1中点 因为A1B平面ADC1，A1BÌ平面A1BC，平面ADC1

11、平面A1BCOD，所以A1BOD因为O为AC1中点，所以D为BC中点，所以1 17(本小题满分14分)解：（1）由题意，得，1，解得a26，b23所以椭圆的方程为1 （2）解法一 椭圆C的右焦点F(，0)设切线方程为yk(x)，即kxyk0，所以，解得k±，所以切线方程为y±(x)由方程组解得或 所以点P，Q的坐标分别为(，)，(，)，所以PQ 因为O到直线PQ的距离为，所以OPQ的面积为 因为椭圆的对称性，当切线方程为y(x)时，OPQ的面积也为综上所述，OPQ的面积为 解法二 椭圆C的右焦点F(，0)设切线方程为yk(x)，即kxyk0，所以，解得k±，所以切

12、线方程为y±(x)把切线方程 y(x)代入椭圆C的方程，消去y得5x28x60设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2 由椭圆定义可得，PQPFFQ2ae( x1x2)2××因为O到直线PQ的距离为，所以OPQ的面积为 因为椭圆的对称性，当切线方程为y(x)时，所以OPQ的面积为综上所述，OPQ的面积为 解法一：(i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x或x当x时，P (，)，Q(，)因为·0，所以OPOQ当x时，同理可得OPOQ (ii) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为ykxm，即kxym0因为直线与圆相切，所以，即m22

13、k22将直线PQ方程代入椭圆方程，得(12k2) x24kmx2m260.设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2，x1x2因为·x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)×km×()m2将m22k22代入上式可得·0，所以OPOQ综上所述，OPOQ 解法二：设切点T(x0，y0)，则其切线方程为x0xy0y20，且xy2 (i)当y00时，则直线PQ的直线方程为x或x当x时，P (，)，Q(，)因为·0，所以OPOQ当x时，同理可得OPOQ (ii) 当y00时，由方程组消去y

14、得(2xy)x28x0x86y0设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2，x1x2 所以·x1x2y1y2x1x2因为xy2，代入上式可得·0，所以OPOQ综上所述，OPOQ 18(本小题满分16分)解：(1)由题意，可得AD12千米 由题可知|， 解得v (2) 解法一：经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)由于先乙到达D地，故2，即v8 当0vt5，即0t时，f(t)(6t)2(vt)22×6t×vt×cosDAB(v2v36) t2因为v2v360，所以当t时，f(t)取最大值，所以(v2v36)×()225，

15、解得v 当5vt13，即t时，f(t)(vt16t)29(v6) 2 (t)29因为v8，所以，(v6) 20，所以当t时，f(t)取最大值，所以(v6) 2 ()2925，解得v 当13vt16， t时，f(t)(126t)2(16vt)2，因为126t0，16vt0，所以当f(t)在(，)递减，所以当t时，f(t)取最大值，(126×)2(16v×)225，解得v 因为v8，所以 8v 解法二：设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)由于先乙到达D地，故2，即v8 以A点为原点，AD为x轴建立直角坐标系， 当0vt5时，f(t)(vt6t)2(vt)2由于(vt6

16、t)2(vt)225，所以(v6)2(v)2对任意0t都成立，所以(v6)2(v)2v2，解得v 当5vt13时，f(t)(vt16t)232由于(vt16t)23225，所以4vt16t4对任意t都成立，即对任意t都成立，所以解得v 当13vt16即t，此时f (t)(126t)2(16vt)2由及知：8v，于是0126t12124，又因为016vt3，所以f (t)(126t)2(16vt)2423225恒成立综上可知8v 19(本小题满分16分)解：（1）当m1时，f(x)x3x21f (x)3x22xx(3x2)由f (x)0，解得x0或x所以函数f(x)的减区间是(，0)和(，) （

17、2）依题意m0因为f(x)x3mx2m，所以f (x)3x22mxx(3x2m)由f (x)0，得x或x0 当0x时，f (x)0，所以f(x)在(0，)上为增函数；当xm时，f (x)0，所以f(x)在(，m)上为减函数；所以，f(x)极大值f()m3m 当m3mm，即m，ymaxm3m当m3mm，即0m时，ymaxm综上，ymax （3）设两切点的横坐标分别是x1，x2则函数f(x)在这两点的切线的方程分别为y(x13mx12m)(3x122mx1)(xx1)，y(x23mx22m)(3x222mx2)(xx2) 将(2，t)代入两条切线方程，得t(x13mx12m)(3x122mx1)(

18、2x1)，t(x23mx22m)(3x222mx2)(2x2)因为函数f(x)图象上有且仅有两个不同的切点，所以方程t(x3mx2m)(3x22mx)(2x)有且仅有不相等的两个实根整理得t2x3(6m)x24mxm设h(x)2x3(6m)x24mxm，h (x)6x22(6m)x4m2(3xm)(x2)当m6时，h (x)6(x2)20，所以h(x)单调递增，显然不成立当m6时， h (x)0，解得x2或x列表可判断单调性，可得当x2或x，h(x)取得极值分别为h(2)3m8，或h()m3m2m 要使得关于x的方程t2x3(6m)x24mxm有且仅有两个不相等的实根，则t3m8，或tm3m2

19、m 因为t0，所以3m80，（*），或m3m2m0（*）解（*），得m，解（*），得m93或m93因为m0，所以m的范围为(0，93，) 20(本小题满分16分)解：（1）因为3b1，2b2，b3成等差数列， 所以4b23b1b3，即4×3(2ad)， 解得， 由an1bnan2，得anda(n1)d，整理得 解得n， 由于1且0 因此存在唯一的正整数n，使得an1bnan2 （2）因为，所以 设f(n)，n2，nN*则f(n1)f(n)，因为q2，n2，所以(q1)n22(q2)n3n2310，所以f(n1)f(n)0，即f(n1)f(n)，即f(n)单调递增所以当r2时，tr2，

20、则f(t)f(r)，即，这与互相矛盾所以r1，即 若t3，则f(t)f(3) ·，即，与相矛盾于是t2，所以，即3q25q50又q2，所以q 南京市2016届高三年级第三次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2016.05 说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数

21、4只给整数分数，填空题不给中间分数21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲证明：(1)连接AB因为PA是半圆O的切线，所以PACABC因为BC是圆O的直径，所以ABAC又因为AHBC，所以CAHABC，所以PACCAH，所以AC是PAH的平分线 (2)因为H是OC中点，半圆O的半径为2，所以BH3，CH1又因为AHBC，所以AH2BH·HC3，所以AH在RtAHC中，AH，CH1，所以CAH30°由(1)可得PAH2CAH60°，所以PA2由P

22、A是半圆O的切线，所以PA2PC·PB，所以PC·(PCBC)(2)212，所以PC2 B选修42：矩阵与变换解：设曲线C上的任意一点P(x，y)，P在矩阵A对应的变换下得到点Q(x，y)则 ， 即x2yx，xy，所以xy，y 代入x22xy2y21，得y22y·2()21，即x2y22，所以曲线C1的方程为x2y22 C选修44：坐标系与参数方程解：M的极坐标为(1，)，故直角坐标为M(0，1)，且P(2cos，sin)，所以PM，sin1，1当sin时，PMmax，此时cos±所以，PM的最大值是，此时点P的坐标是(±，)D选修45：不等式选讲 解：函数定义域为0，4，且f(x)0 由柯西不等式得52()2()()(5··)2， 即27×4(5·