考研数学第一章函数

1、第一章函数、极限、连续第一节 函数、极限、连续的基本概念一、 函数的基本概念1、定义 2、复合函数（注意中间变量、自变量、因变量）3、反函数（是的反函数）4、非初等函数的几种形式二、函数的几种基本性质1、有界性 2、单调性 3、奇偶性 4、周期性三、极限的概念1、数列极限的定义2、函数极限定义3、无穷小、无穷大的定义（注意无穷大与无界量的区别）4、无穷小的比较（高阶、同阶、等价无穷小）四、关于极限的基本定理1、极限的四则运算法则2、关于无穷小的几个性质（1）有限个无穷小的和为无穷小（2）有限个无穷小的积为无穷小（3）有界函数与无穷小的和为无穷小（4）无穷小的倒数是无穷大，无穷大的倒数是无穷小3

2、、关于极限的存在准则 （1）夹逼定理（2）单调有界准则（3）洛必达法则五、函数的连续性1、函数在处连续 2、单侧连续 3、区间上连续六、连续的基本定理1、四则运算的连续性 2、反函数的连续性 3、复合函数的连续性4、闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值最小值定理、介值定理和根的存在性定理）1 / 22第二节 求定义域、值域以及判别函数的奇偶性、周期性等一、 确定复合函数定义域的一般方法（代换的方法）1、 设的定义域为，求下列函数的定义域（1） 分析： （2）分析：2、 设，求，的定义域。分析：3、 设求复合函数，并讨论连续区间和间断点。分析：二、有已知函数关系式求的表达式1、若求分析：2

3、、设满足，求分析：3、 已知在数轴上处处有定义，存在，且对任何恒有，求分析：三、判别函数奇偶性的一般方法1、证明定义在内的任何函数均可以表示为奇函数与偶函数的和。分析：2、求证可微的偶函数的导函数为奇函数。分析：（1）用定义（2）直接求导（3）注意的区别）四、求函数周期的一般方法（1）的周期为，则的周期为 （2）的周期为，的周期为，的最小公倍数是,则 ,的和、差、积、商以为周期1、求下列函数的最小正周期（1）分析：（2）分析：2、求的最小正周期。分析：五、有已知关系式推证函数的周期性（几何问题要作图进行分析，判断周期是多少）1、若的图形关于两直线对称，证明： 是周期函数。分析：2、若对于有成立

4、，（k，T为正常数），则 ，式中为常数，为以T为周期的周期函数。分析：第三节 求极限的各种方法一、 单调有界数列法（由递推公式给出）（1） 先证数列单调有界（2）两边取极限求极限值1、（a>0）,求分析：2、求分析：3、设均为正数，求分析：4、设，任取作求分析：5、设，令，求证收敛，并求其极限。分析：6、设，求分析：二、 用夹逼定理求极限1、 求分析：2、 求分析：三、 先化简在求极限1、求分析：2、求分析：3、 求分析：4、 求为异于0的数分析：四、 利用等价无穷小求极限1、 求下列极限（1）（2）分析： 分析：（3）（4）分析： 分析：（5）分析：2、 设，则必有 A、 B、 C、

5、D、分析：五、 利用导数求极限（注意罗比达法则运用的条件，如罗比达法则不能用可用导数的定义）1、 已知函数在内可导，且满足求。分析：六、 利用定积分定义求极限1、 求分析：2、 求分析：3、 求分析：七、 利用级数收敛的必要条件求极限1、求（1）分析： （2）分析：八、 利用泰勒展开式简化计算1、 求分析：2、 求分析：3、 求分析：九、 利用罗比达法则求极限1、求分析：2、求分析：3、求分析：4、 求分析：十、 利用求极限1、求分析：2、求分析：3、求分析：4、求分析：十一、有极限值定常数1、 已知确定的值。分析：2、 设，其中具有二阶导数，且， （1）确定的值，使在处连续。 （2）求（3）

6、讨论在处的连续性。分析：十二、求极限的方法（1）利用求（2）取对数化为不定式的极限求1、比较求的方法分析：十三、无理函数极限的求法已有用无穷小代换、泰勒公式、罗比达法则等的方法，有时用上述方法困难时，采用进行局部有理化很方便1、 求分析：2、分析：十四、求无穷小的阶（1） 利用等价无穷小替换（2）利用罗比达法则（3）利用泰勒公式1、当时，是的 阶无穷小。分析：2、当时，是的 阶无穷小。分析：3、当时，是的 阶无穷小。分析：十五、利用的递推公式求的方法(1) 单调有界法(2) 先求出，考虑进行放大，得出(3) 考虑，利用1、 设，求分析：十六、杂题1、 求分析：2、 求分析：需讨论想x 的取值3

7、、 设，证明：分析：4、 求分析： 第四节 关于函数连续性与间断点的范例一.考察分段函数连续性的方法（左右极限） 1、讨论在处的连续性。分析：2、 研究下列函数的连续性（1）分析：（2）分析：（3）分析：3、 求在内的间断点及类型。分析：二、研究复合函数连续性的方法（1）求的定义域与值域的公共部分。（2）求出当时，的取值范围。（3）在内讨论的连续性。1、讨论复合函数的连续性（1）分析：（2）分析：2、 设皆为实数，则 A、 C、不一定等于分析：三、已知连续性考察函数中的常数（分段函数中常数的确定）1、设连续，确定常数的值。分析：2、设函数有连续的导数，若函数在处连续，确定常数。分析：3、 设在内连续，满足 A、 B、 C、 D、分析：4、设在内有定义，为连续函数，有间断点，则 。A、必有间断点 B、必有间断点C、必有间断点 D、必有间断点分析：四、有连续函数性质导出的问题1、设在上有定义，且单调增加，取之间的一切值，试证是上的连续函数。分析：2、在区间内，方程 。A、无实根 B、有且仅有一个实根 C、有且仅有两个实根 D、有无穷多实根分析：3、设满足：（1）（2）证明：（1）在上存在，使得。（2） 定义则分析：五、杂题1、设连续，且。则存在，使 。A、在内单