线性代数冲刺讲义-邓泽华

1、2011导航领航考研冲刺班数学讲义线性代数邓泽华 编1 / 23第二篇 线性代数一、填空题分析填空题主要考查基础知识和运算能力，特别是运算的准确性。1.（06-1-2-3）设矩阵，矩阵满足，则 .【矩阵行列式，2】2.（06-4）设矩阵，矩阵满足，则 .【矩阵方程，】3.（04-1-2）设矩阵，矩阵满足，则 .【矩阵行列式，】4.（03-4）设，均为三阶矩阵，已知，则 .【矩阵方程，】5.（04-4）设，其中为三阶可逆矩阵，则 .【矩阵运算，】6.（06-4）已知为二维列向量，矩阵，. 若行列式，则 .【矩阵行列式，】7.（03-2）设为三维列向量，若, 则 .【向量乘积，】8.（05-1-2

2、-4）设均为三维列向量，记矩阵，. 若行列式，则 .【矩阵行列式，】9.（03-3-4）设维向量，其中的逆矩阵为，则 .【矩阵运算，】10.（03-2）设，均为三阶矩阵，已知，若，则 .【矩阵行列式，】11.（03-1）从的基到基的过渡矩阵为 .【过渡矩阵，】12.（05-3-4）设行向量组，线性相关，且，则 .【向量线性相关性，】13.（04-4）设是实正交矩阵，且，则线性方程组的解是 .【非齐次线性方程组，】14.（04-3）二次型的秩为 .【二次型的秩，2】15.（07-1-2-3-4）设矩阵，则的秩为 .【矩阵的秩，1】16.（08-1）设为二阶矩阵， 是线性无关的二维列向量，则的非零

3、特征值为 .【特征值与相似矩阵，】17.（08-2）设3阶矩阵的特征值为，且，则 . 【特征值与行列式，】18.（08-3）设3阶矩阵的特征值为1，2，2，则 . 【特征值与行列式，】19.（08-4）设三阶矩阵的特征值互不相同，若行列式，则 . 【特征值与行列式，】20.（08-n）设三阶矩阵的特征值为，则行列式 . 【特征值与行列式，】21.（09-1）设三维列向量满足，则矩阵的非零特征值为 .【特征值，】22.（09-2）设为三维列向量，若矩阵相似于，则 .【相似矩阵，】23.（09-3）设，若矩阵相似于，则 .【相似矩阵，】24.（08-n）设向量组线性相关，则 .【线性相关性，】25

4、.（10-1）设，若由生成的向量空间的维数为，则 .【向量空间，】26.（10-2-3）设为阶矩阵，且，则 .【行列式，】27.（10-n）设，则行列式 .【行列式，】二、选择题分析解选择题的方法有直接法；间接法（排除法、特例法等）；数形结合法。考点涉及概念、理论、方法和运算，少数考题有一定难度。1.（05-3）设矩阵满足，若为三个相等的正数，则为（ ）.（A）（B）（C）（D）【矩阵的行列式，A】2.（05-4）设均为阶矩阵，若，则为（ ）.（A）（B）（C）（D）【矩阵运算A】3.（04-3-4）设阶矩阵与等价，则必有（ ）.（A）当时，（B）当时，（C）当时，（D）当时，【等价矩阵，D】

5、4.（04-1）设非零矩阵满足，则（ ）.(A) 的列向量组线性相关,的行向量组线性相关(B) 的列向量组线性相关,的列向量组线性相关(C) 的行向量组线性相关,的行向量组线性相关(D) 的行向量组线性相关,的列向量组线性相关【线性相关性，A】5.（06-1-2-3）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是（ ）.(A)若线性相关，则线性相关(B)若线性相关，则线性无关(C)若线性无关，则线性相关(D)若线性无关，则线性无关【线性相关性，A】6.（04-1）设为三阶矩阵，将的第1列与第2列交换得，再将的第2列加到第3列得，则满足的可逆矩阵为（ ）.（A）（B）（C）（D）【初等变换的乘法形式，

6、D】7.（06-1-2-3-4）设为三阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（ ）.（A）（B）（C）（D）【初等变换的乘法形式，B】8.（05-1-2）设为阶可逆矩阵，交换的第1行与第2行得矩阵，则（ ）.（A）交换的第1列与第2列得（B）交换的第1行与第2行得（C）交换的第1列与第2列得（D）交换的第1行与第2行得【初等变换的乘法形式，C】9.（04-3）设阶矩阵的伴随矩阵，若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应齐次线性方程组的基础解系（ ）.（A）不存在 （B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量【基础解系，B】

7、10.（05-1-2-3）设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充分必要条件是（ ）.（A）（B）（C）（D）【线性相关性，B】11.（07-1-2-3-4）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是（）.（A） （B）（C）（D）【线性相关性，A】12.（07-1-2-3-4）设矩阵，则与（）.（A）合同，且相似 （B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似【相似与合同，B】13.（08-1-2-3-4）设为阶非零矩阵，若，则（）.（A）不可逆，不可逆 （B）不可逆，可逆（C）可逆，可逆 （D）可逆，不可逆【可逆性，C】14.（08-1）设为三阶实

8、对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图所示（双叶双曲面），则的正特征值个数为（）.(A)（B）（C）（D）【特征值，B】15.（08-2-3-4）设，则在实数域上与合同的矩阵为（）.（A）（B）（C）（D）【合同矩阵，D】16.（08-n）设为维列向量，矩阵.若行列式，则行列式（ ）. （A） （B） （C） （D）【矩阵行列式，D】17.（08-n）已知向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）.（A） （B）（C）（D）【线性相关性，C】18.（09-1）设是维向量空间的一组基，则由基到基的过渡矩阵为（）.(A) (B) (C) (D) 【过渡矩阵，A】19.（09

9、-1-2-3）设均为二阶矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为（）.(A)（B）（C）（D）【伴随矩阵，B】20.（09-2-3）设均为三阶矩阵，且，若， ，则为（）.(A) (B) (C) (D) 【矩阵运算，A】21.（09-n）设矩阵的秩为，则（）.(A)（B）（C）（D）【矩阵的秩，C】22.（09-n）设为三阶矩阵，的行列式，则为（）. (A) (B) (C) (D) 【矩阵的行列式，A】23.（10-1）设是矩阵，是矩阵，是阶单位矩阵，若，则（）. (A)秩，秩 (B) 秩，秩(C) 秩，秩 (D) 秩，秩【考查矩阵的秩， A】24.（10-1-2-3-n）设为四阶实对称矩阵，且，若的秩

10、为，则相似于（）. (A) (B) (C) (D) 【考查实对称阵的相似对角化，D】25.（10-2-3-n）设向量组：可由向量组：线性表示，则下列命题中正确的是（）. (A)若向量组线性无关，则 (B) 若向量组线性相关，则(C) 若向量组线性无关，则 (D) 若向量组线性相关，则 【考查向量组的秩，A】三、解答题分析（一）考点分析近年的考点分布情况如下：数学一07年 方程组的公共解，实对称矩阵及其多项式的特征值与特征向量08年 行列式与方程组、秩不等式09年 方程组与线性相关性、二次型矩阵的特征值与规范形10年 方程组、二次型数学二07年 与数学一相同08年 与数学一相同、线性无关与相似矩

11、阵09年 与数学一相同10年 方程组、矩阵对角化数学三07年 与数学一相同08年 与数学二相同09年 与数学一相同10年 方程组、矩阵对角化数学农科08年 矩阵方程、含有参数的方程组的讨论09年 与方程组、已知特征值与特征向量求矩阵与矩阵的幂10年 方程组、特征值与特征向量（二）综合举例例1 设，为三阶矩阵，且满足，求矩阵.解 【矩阵方程】，.，故.例2 设均为三维列向量，且线性无关，线性无关，证明存在非零向量，使得既可由线性表示，又可由线性表示；设，求所有既可由线性表示，又可由线性表示的向量. 解 【向量的线性相关性与线性表示】 四个三维向量必线性相关，故存在不全为零的数，使得，取，且（否则

12、全为零）.求齐次方程组的非零解，通解为，故.例3 设向量.试问当满足什么条件时可由线性表示，且表示式惟一？可由线性表示，且表示式不惟一？并求出一般表达式；不可由线性表示. 解 【向量的线性表示、线性方程组解的判定】设 增广矩阵.当时，方程组有惟一解，可由线性表示，且表示式惟一.当时，方程组有无穷多解，通解为，可由线性表示，且表示式不惟一，一般表达式为.当时，方程组有无解，不可由线性表示. 例4 已知齐次线性方程组的解都满足方程，求和方程组的通解.【，通解为，为任意常数】解 【含有参数的线性方程组的求解】经初等行变换齐次线性方程组的系数矩阵.当时，方程组的基础解系为，显然，都不是的解，故不合题意

13、，舍去.当时，基础解系为，代入，得，解得，通解为，为任意常数.例5 已知齐次线性方程组和齐次方程组的一个基础解系，求方程组和的非零公共解.解 【线性方程组的公共解】将齐次方程组的通解代入齐次线性方程组，得即当时，方程组和没有非零公共解，当时，为任意常数，方程组和的非零公共解为，不全为零.例6 已知是齐次线性方程组的一个基础解系，证明：也是的基础解系的充要条件是.解 【齐次方程组的基础解系】由线性方程组解的性质知，是齐次线性方程组的4个解，要使也是的基础解系，只要线性无关.设，即，即，又线性无关，故 ，其系数行列式，时只有零解线性无关是的基础解系，是的基础解系线性无关只有零解只有零解，综上所述，

14、也是的基础解系的充要条件是.例7 设线性方程组的通解为，求线性方程组的通解.解 【抽象线性方程组的通解，涉及解的概念、解的性质、解的结构】线性方程组的通解为，故，且，由此得，齐次线性方程组的基础解系为，显然，线性方程组有一个解，故此线性方程组的通解为类题：设非齐次线性方程组的系数矩阵为秩为3，此方程组的三个解满足，求此方程组的通解.【通解为，为任意常数】例8 已知3阶矩阵的第一行是，不全为0，为常数，且，求线性方程组的通解.解 【求齐次线性方程组的通解】由知，的列向量均为的解，且，又，故.当时，的通解为；当时，若，的通解为；若，不妨设，不妨设，则，化为其通解为.例9 已知非齐次线性方程组有3个

15、线性无关的解.证明方程组系数矩阵的秩；求，的值及方程组的通解.解 记此非齐次线性方程组，设是它的3个线性无关的解，则是的解，且线性无关（否则，线性相关），所以，又（因为的第一行与第二行不成比例或者中二阶子式），故.系数矩阵，又，故.增广矩阵，故原方程组的同解方程组为通解为，其中为任意常数. 例10 设阶矩阵求的特征值和特征向量；求可逆矩阵，使得为对角矩阵；问为何值时，为正定矩阵？解 【矩阵的特征值和特征向量、相似对角化、矩阵的正定性】的特征多项式，故的特征值为，.对，解，基础解系为，对应特征向量，（ ）.对，解，基础解系为，对应的特征向量为（ 不全为零）.令，则可逆，且.当，即时，为正定矩阵.

16、例11 已知矩阵的特征方程有重根，问能否相似对角化，并说明理由.解 【矩阵相似对角化】的特征多项式，若是重根，则满足，故，的特征值为，对应，方程组为，故对应两个线性无关的特征向量，能相似对角化，若不是重根，则有重根，故，的特征值为，对应，方程组为，故只对应一个线性无关的特征向量，不能相似对角化.例12 设三阶矩阵有三个不同的特征值，对应的特征向量分别为，令，证明不是的特征向量； 证明线性无关；若，计算行列式.解 有三个不同的特征值，对应的特征向量分别为，故线性无关.【用反证法】若是的特征向量，则，即，亦即，又线性无关，故，与题设相矛盾，所以不是的特征向量.【抽象向量组的线性相关性，用定义法】设

17、 ，将代入上式，得，又线性无关，故其系数行列式，此方程组只有零解，故线性无关.【用相似变换】，记，则可逆，且，其中，故，.例13 设为三阶矩阵，三维列向量组线性无关，且求的特征值；问是否可对角化？ 解 【相似矩阵、矩阵对角化】，记，则可逆，且，其中，故，故与有相同的特征值.，故的特征值为， 的特征值为.可对角化. 因为为实对称矩阵，故存在可逆矩阵，使得为对角阵，又，故，令，则，为对角阵.例14 设二次型通过正交变换化为标准形，求参数及所用正交变换矩阵.解 【用正交变换化二次型为标准形】由题设条件知，二次型矩阵的特征值为，由特征值的性质，得，解得.对，解，基础解系为，正交化，得，单位化，得，；对

18、，解，基础解系为，单位化，得；所用正交变换矩阵.例15 已知二次型在正交变换下的标准形为，且的第3列为求矩阵；证明为正定矩阵. 解 【考查矩阵的特征值】由题设知，的特征值为，且的对应的一个特征向量为，设的对应的特征向量为，它与正交，故，即，基础解系为，单位化得，令，则.故证 【考查矩阵的正定性】为对称阵，故为对称阵，又的特征值为，的特征值为，故为正定矩阵.四、近年真题2007年解答题1.（07-1-2-3-4）设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解.【或；时，；时，】2.（07-1-2-3-4）设3阶对称矩阵的特征值，是的属于的一个特征向量，记.验证是矩阵的一个特征向量，并求的全部特征值与特征向量；求矩阵.【的全部特征值为；对应的特征向量为，其中，对应的特征向量为，其中不全为零；】2008年解答题1.（08-1）设是三维列向量，矩阵，证明：秩；若线性相关，则秩.2.（08-1-2-3-4）设元线性方程组，其中矩阵，.证明行列式；当为何值时，方程组有惟一解，并求；当为何值时，方程组有无穷多解，并求通解.【，】3.（08-2-3-4）设为三阶矩阵，分别为属于特征值的特征向量，向量满足.证明线性无关；令，求.【】4.（08-n）设3阶矩阵满足等式，