系统班数学讲义增订本方差、标准差、立体几何

1、目 录第一章 数据描述1第一节 平均值1第二节 方差与标准差2第三节 数据的图表表示4第二章 立体几何11第一节 常见空间几何体的基本概念及公式11第二节 题型归纳14典型例题参考答案16自我检测17自我检测参考答案180 / 20第一章 数据描述第一节 平均值一、算术平均值（平均数）、众数、中位数定义4.4 有n个数，称为这n个数的算术平均值（也称平均数），记做。这几个数中出现次数最多的数称之为众数。这几个数按从小到大的顺序依次排列，当n为奇数时，则处在最中间的那个数是这几个数的中位数；当n为偶数时，则处在最中间的两个数的平均数是这几个数的中位数。二、几何平均值定义4.5 n个正实数，称为这

2、n个正实数的几何平均值，记做。三、范例解析例4.2.1 问题求解1. 某班学生一次考试平均75分。其中男生人数比女生多80%，而女生平均分比男生高20%，女生平均（）分。A.83 B.84 C.85 D.86 E.87【答案】 B【解】 设女生人，男生平均分。表4-5男生女生全班人数平均分人数平均分人数平均分75+=X75，=70，女生平均分=84。故选B。2. a、b、c的算术平均值为，几何平均值为4，bc=a，a>b>c，则a、b、c的值依次为（ ）。A.6，5，3 B. 12，6，2 C. 4，2，8 D. 8，2，4 E. 8，4，2【答案】 E【解】 ，第二节 方差与标准

3、差一、方差定义4.6 设是n个数据的算术平均值，把叫做这组数据的方差。二、标准差定义4.7 把样本方差的算术平均值叫做这组数据的标准差（也称均方差），记做。即它是用来衡量一组数据波动大小的重要的量。样本方差、标准差体现了总体的分散程度。三、范例解析例4.2.2 问题求解1. 从甲、乙两名学生中选拔一人参加运动会，对他们的射击水平进行了测试。两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：甲 6 8 7 8 6 5 9 7 10 4乙 6 8 6 7 7 9 5 7 8 7（1）计算甲、乙两名学生射击命中环数的算术平均值和标准差。（2）比较两人的成绩，然后决定选择哪一人参赛。【解】（1）计算得。（

4、2）由（1）可知，甲、乙两名学生成绩的算术平均值相等，但，这表明乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选择乙参赛。2. 某展览馆22天中每天进馆参观人数为：180,158,170,185,189,180,184,185,140,179,192,185,190,165,182,170,190,183,175,180,185,148。计算参观人数的中位数、众数、平均数、标准差。【解】中位数为，众数为185，平均数为。标准差为。3 某次此歌唱比赛共有9位评委，其中歌手甲、乙分别得分如下：表4-6评委123456789甲7.87.88.28.18.27.78.38.38.2乙7.987.

5、89.58.17.97.887.9（1）求两组数据的平均分和标准差；（2）对两组数据各去掉一个最高分和一个最低分后，计算所剩数据的平均分和标准差；（3）通过（1）、（2）的计算结果来说明用平均分的高低来排名是否合理？【解】（1）歌手甲的平均分和标准差分别为。歌手乙的平均分和标准差分别为。（2）去掉一个最高分和一个最低分后，歌手甲的平均分和标准差分别为。歌手乙的平均分和标准差分别为。（3）不合理。显然。但甲的众数为8.2，乙的众数为7.9，应是甲高。如果观察数据，乙的得分中有一个9.5，若采用去掉一个最高分及一个最低分，再计算平均分的方法，则，所以应是甲排在前面。第三节 数据的图表表示数据的图形

6、表示可以发挥图形化表现形式比较直观的特点和优势。一、直方图定义4.8 在直角坐标系中，把横轴分成若干小组，每一段对应一个组距，然后以组距形成的线段为底、以该组的频率/组距为高作矩形，这样得出若干个矩形构成的图叫做频率分布直方图，简称直方图。 如能源紧缺成为我国汽车产业发展必须面对的难题，汽车节能消费应当成为主流。根据一项针对消费者购车偏好进行的调查显示，越来越多的消费者在购买新车时，会将汽车的油耗表现列为优先考虑条件。表4-7是某厂测试某型汽车百公里油耗的数据（单位：L）：表4-75.56.36.66.87.17.27.37.47.67.77.17.27.37.47.67.77.87.97.9

7、7.87.17.27.37.47.67.77.87.98.18.27.27.18.88.78.68.88.78.68.48.37.37.47.67.77.87.98.68.77.17.27.27.18.78.67.97.87.77.67.47.37.37.47.17.47.67.77.87.97.67.77.87.77.69.38.48.38.28.17.97.87.97.67.77.87.98.18.28.38.48.110.59.67.97.87.77.68.48.38.29.2估计汽车百公里的油耗情况。 如果把汽车百公里的油耗看做总体，就要通过上面的数据得到样本信息，通过样本的分布来估计

8、总体的分布情况。为了从杂乱无章的数据中提取有关总体分布的信息，将表4-7中的数据分组编制频率分布表。（1）求极差（一组数据的最大值与最小值的差）=10.5-5.5=5（cm）。（2）确定组距（每个小组的两个端点之间的距离）与组数（=极差/组距）。极差为5cm，取组距为0.5cm，极差/组距=10，于是应将样本数据分成10组。（3）将样本数据分为若干小组，每个小组内的样本个数称为频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率。列出频率分布表如表4-8所示。表4-8分组累计频数频数频率5.5，6）110.016，6.5）210.016.5，7）420.027，7.5）30260.267.5，8）70

9、400.408，8.5）86160.168.5，9）96100.109，9.5）9820.029.5，10）9910.0110，10.510010.01合计1001001最后画出频率分布直方图，如图4-2-1所示。图4-2-1容易看出，小矩形的面积=组距X =频率，这就是说，在直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率是用小矩形的面积来表示，各小矩形的面积总和等于1。图4-2-1显示了样本数据落在各个小组的比例大小。从中可以看到，汽车在百公里消耗量在区间7，8）内的居多。在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等。平均数是频率分布直方图的重心，它等于每个小矩形面积乘以小矩

10、形底边中点横坐标之和。众数是最高矩形底边中点的横坐标。二、饼图某产品成本结构：A（工资成本）、B（原料成本）、C（运输成本）分别占48%、30%、22%，可用饼图来表示，如图4-2-2所示。三、数表 图4-2-2 图4-2-3全体正整数组成一个三角形数表，如图4-2-3所示，如何求第n行（n2）从左到右的第3个数？第n行（n2）前面有1+2+3+（n-1）= 个数，第n行（n2）从左到右的第三个数是。四、范例解析例4.2.3 问题求解1. 为检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，画出频率分布直方图。数据的分组数及各组频数如下：10.75，10.85） 3；10.85，10.95）

11、9；10.95，11.05） 13；11.05，11.15） 16；11.15，11.25） 26；11.25，11.35） 20；11.35，11.45） 7；11.45，11.55） 4；11.55，10.65） 2；【解】 列出频率分布表：表4-9分组频数频率累计频率10.75，10.85）30.030.0310.85，10.95）90.090.1210.95，11.05）130.130.2511.05，11.15）160.160.4111.15，11.25）260.260.6711.25，11.35）200.200.8711.35，11.45）70.070.9411.45，10.55）

12、40.040.9811.55，10.65）20.020.01合计1001.00画出频率分布直方图，如图4-2-4所示。图4-2-42. 对某校的一次数学测验成绩进行分析时，从中抽取100名学生测验成绩作为样本，绘制频率分布直方图如图4-2-5所示，估计该区这次测验成绩的众数、中位数、平均数。【解】 该班这次测验成绩的众数约为。不妨设所求的中位数约为，由于0.10+0.12+0.16=0.38<0.5，0.10+0.12+0.16+0.30=0.68>0.5，得到0.38+ ,所以=74。平均成绩约为图4-2-5则该样本的众数约为75分，中位数约为74分，平均成绩约为71.8分，从而

13、估计该区的众数为75分左右，中位数为74分左右，平均成绩为71.8分左右。3. 甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽取10个，它们的尺寸分别为（单位：mm）：甲 10.2 10.1 10.3 9.5 9.9 10.3 9.7 10.0 9.9 10.1乙 10.1 10.0 10.0 9.9 10.1 10.0 9.8 9.9 10.2 10.0（1）画出甲、乙两组数据的频率分布直方图。就生产的稳定性而言，甲机床与乙机床的波动程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）。（2）分别计算甲、乙两组数据的平均值与标准差。如果图纸上的设计尺寸为10mm，从计算结果看

14、，用哪台机床加工这种零件比较合适？【解】（1）甲、乙两组数据的频率分布直方图分别如图4-2-6中甲、乙所示。甲 乙图4-2-6从频率分布直方图可以判断，乙机床的稳定性好于甲机床的稳定性。（2）甲、乙两组数据的平均值分别为甲、乙两组数据的方差分别为甲、乙两组数据的标准差分别为因为，。所以可估计乙比甲稳定，用乙较合适。第二章 立体几何【大纲要求】常见立体图形（长方体、圆柱、球）【备考要点】此部分主要考察常见立体图形表面积和体积的计算及运用。 第一节 常见空间几何体的基本概念及公式<一>长方体：1基本概念：六个面都为矩形，长方体中的的每一个矩形都叫做长方体的面，面与面相交的线叫做长方体的

15、棱，三条棱相交的点叫做长方体的顶点，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。当长、宽、高都相等时，称为立方体。2基本公式：设长方体的在同一个顶点上的三条棱长分为a，b，c <二>圆柱1、基本概念圆柱看作以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成的曲面所围成的几何体。旋转轴叫作这个几何体的轴，在轴上的这条边的长度叫做它的高，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做它的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做它的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线。2、圆柱的性质性质1：平行于底面的截面都是圆性质2：过轴的截面（轴截面）是全等的矩形3、圆柱侧面展开图及侧面积把圆柱一条母线

16、剪开后展开在平面上，就得到它们的侧面展开图。圆柱的侧面展开图是一个矩形（见下图），矩形的长是底面圆的周长，宽是圆柱的高（即母线长）(3) 圆柱的侧面积 4、基本公式： <三>球 1、球的概念半圆以它的直径为旋转轴，旋转而成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球。其中半圆的圆心叫做球的球心，连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径，连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。 注意球面与球体的区别：球面是与定点（球心）的距离等于定长（球的半径）的所有点的集合，为曲面。若点到球心的距离小于球的半径，则点在内部。而球体为一个几何体。2、球的截面性质球的截面：用一个平面去截

17、球，得到一个截面，截面是圆面，把过球心的截面圆叫做大圆，不过球心的截面圆叫小圆。截面的性质：（1） 球心与截面圆心的连线垂直于截面（2） 设球心到截面的距离为d，截面圆的半径为r，球的半径为R，则3、球问题的转化原则（1）化“球”为“圆”：因球的大圆含有球的全部元素，所以有关球的计算问题，常作出球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关定理去解决。（2）化“空间”为“平面”：解决有关球与多面体的切接问题，即球与圆柱、圆锥的切接问题，要恰当的选取截面，化“空间”为“平面”。4、基本公式：第二节 题型归纳【题型一】考查常见立体图形侧面积、表面积、展开图。2、长方体从点A出发沿表面运动到点的

18、最短路线长为（ ）4、已知圆柱的轴截面ABCD是边长为5cm的正方形，则从下底面的A点绕圆柱侧面到上底面的C点的最短距离是（ ）cm。【题型二】考查常见立体图形体积问题：长方体，圆柱,球的体积5、两圆柱的侧面积相等，则两圆柱的体积之比为3：2（1）两圆柱体的底面直径分别为6和4 （2）两圆柱的底面半径比为3：26、一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，将一个实心铁球放入该容器中，球的直径等于圆柱的高，现将容器注满水，然后取出该球（假设原水量不受损失），则容器中水面的高度为（ ） 7、一个直圆柱形状的量杯中放有一根长为12厘米的细搅棒（搅棒直径不计），当搅棒的下端接触量杯下底时，上端最少可露出杯口

19、边缘2厘米，最多能露出4厘米，则这个量杯的容积为（ ）立方厘米？ A72 B96 C288 D384 E848、表面积相等的正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）和球，它们的体积分别是V1,V2,V3,则有（ ）A. V1<V3<V2 B. V3<V1<V2 C. V2<V3<V1 D. V1<V2<V3 E. V3<V2<V1【题型三】考查截面问题与切接问题：【解题思路】切接问题一般直接画出截面图，转化为平面几何图形求解。当长方体（正方体）内接于球时，其体对角线为球的直径。9、已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,则球的表面积为（ ）。10、已知球的两个平行截面的面积分别为，它们位于球心的同一侧，且距离为1，则这个球的体积为（ ）11、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积。12、棱长为a的正方体的内切球、外接球、外接半球的半径分别为（ ）A B C , D E 典型例题参考答案2、选C,可将长方体的一个面展开比较。4、选E5、D6、选D,8、D9、选D 10、选B 11、表