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文档简介

1、 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 性质 的证明：由 < O µ y Oy µ = y Oy >=< O > * * 得 （1） µ = Oy y µ 上式并不足以说明算符 O 厄米，因为 y 是同一个态。要 µ µ µ 证明 O 厄米，必须按厄米算符的定义，证明 y Oy = Oy y y y 成立，而且y 1 、 2 为任意波函数。为此令 = y 1 + y 2 ，利 用（1）式得 1 2 1 2 µ µ (y 1 + y 2 O (y 1 + y 2 = O (y 1 +

2、y 2 (y 1 + y 2 （2） µ y 因为 O 在 y 1 、 2 中的平均值也是实数，所以上式又写为 µ y 1 Oy 2 + y 2 µ µ Oy 1 = Oy 1 y 2 µ + Oy 2 y1 （3） 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 对 y 1 和 y 2 作变换，令 y 1 ® y 1e ia ,y 2 ® y 2e ib （ a , b 为任意实数） 代入（3）式后得 e i (b - a µ y 1 Oy 2 µ - Oy 1 y 2 = e - i (b - a µ

3、Oy 2 µ y 1 - y 2 Oy 1 （4） 因为 a , b 任意，上式成立的充要条件为 µ y 1 Oy 2 µ = Oy 1 y 2 2 y 2 µ µ Oy 1 = Oy y1 µ 因此， 必为厄米算符。得证。 O 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 性质 的证明： µ Oy µ Oy n = O ny = O my n m m µ 且 O n ¹ O m ( m ¹ n ，因为 O 是厄米算符，它的本征函数 * O 是实数， m = O m 。本征方程的共轭方程为 µ O y * * m = O my = Om y * m 由 µ Oy m y n m y n µ µ 的厄米性质，Oy m y n 及O = y m µ Oy n ，及 µ y m O y n = On y m y n 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 得 (O m - O n y m yn = 0 又因 O n ¹ O m 得 ym yn = 0 得证。若本征函数是正交归一化的，则有 y m y n = d mn ì1

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