空间几何体的结构直观图和三视图 教案

1、适用学科高中数学适用年级高二适用区域人教版区域课时时长分钟2课时知识点三视图、画三视图的原那么、直观图、斜二测画法的步骤教学目的掌握画三视图的根本技能和方法；进步学生空间想象力，体会三视图的作用教学重点画出简单组合体的三视图教学难点识别三视图所表示的空间几何体【教学建议】本节重点是认识空间几何体的构造特征画出空间几何体的三视图、直观图、培养空间想象才能、几何直观才能、运用图形语言进展交流的才能。由空间图形数出其构造特征，由构造特征想象出空间几何体，进展空间图形与其三视图的互相转化，是到达本节课程目的的重要方法。本节中的有关概念，主要采用分析详细实例的共同特点，再抽象其本质属性空间而得到。教学中

2、应充分使用直观模型，必要时要求学生自己制作模型，引导学生直观感知模型，然后再抽象出有关空间几何体的本质属性，从而形成概念学生在初中学过平面几何，掌握了大量的平面几何知识，进展过一定量的逻辑推理训练，为学习立体几何打下了根底。但学习立体几何不仅需要较强的逻辑思维才能，还需要丰富的空间想象才能。学生常感到立体几何难学，究其原因主要有几点：1消极心理的影响“代数繁，几何难，在学生中广为流传，使不少学生还未学习立体几何就已经产生了畏惧心理，他们对学好立体几何信心缺乏，对怎样学习心中无底，这种消极心理必然会给学生造成消极影响.2思维定势的影响受初中所学平面几何时形成的思维定式的束缚，常将平面几何中的概念

3、、定理照搬照用.3缺乏空间想象力缺乏空间想象力，常将空间问题看成平面问题，作图、识图难。作图中不知何时该用实线，何时该用虚线，作出的图形缺乏立体感。识图中相交、异面分不清，大角、小角分不清，是否平行、垂直分不清。【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，仅举两种方法： 情境导入，比方讲一个和本讲内容有关的生活现象； 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，提醒本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。同学们,我们知道光由一点向外散射形成的投影称为中心投影，而在一束平行光线照射下形成的投影称为平行

4、投影。初中的时候我们学习了简单立体图形的三视图，包括：正视图，左视图和俯视图。这节课我们将共同学习更多的立体图形和他们在不同投影中的三视图。设计意图：通过展示同学们熟知的物理现象以及初中学过的三视图，实现引导学生由空间图形到三视图的转换，实现“空间到“平面的转换，从而打破难点，突出重点。二、知识讲解考点1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征【教学建议】建议先展示大量几何体的实物、模型、图片等，让学生感受空间几何体的整体构造，然后再引导学生抽象出空间几何体的构造特征。1. 棱柱的构造特征：1定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱

5、。2棱柱的有关概念：棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面简称底，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。3棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。4棱柱的表示：用底面各顶点的字母表示，如上图的六棱柱可表示为:棱柱ABCDEFA'B'C'D'E'F'2. 棱锥的构造特征：1 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。2棱锥的有关概念：棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公

6、共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。3棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。4棱锥的表示：用顶点和底面各顶点的字母表示，如右图的四棱锥可表示为：棱锥3. 棱台的构造特征1 棱台的概念：棱锥被平行于棱锥底面的平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台2棱台的有关概念：出示模型，边对照模型边介绍棱台的上底面、下底面、侧面、侧棱、顶点；3棱台的分类:三棱台、四棱台、五棱台、六棱台；4棱台的表示方法：棱台ABCDA'B'C'D'5棱台的特点：两个底面是相似多边形，侧面都是梯形；侧棱延长后交于一点【教学建议】这教学中可以引导学生多

7、观察，并结合自己的经历，讨论各实物、模型、图片的构造特征，提出适当的分类标准，在比较的过程中形成对柱、锥、台、球构造特征的直观认识。考点2 圆柱、圆锥、圆台的结构特征1.圆柱的构造特征： 1 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆柱2 圆柱的有关概念：在圆柱中，旋转的轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。3 圆柱的表示方法：圆柱用表示它的轴的字母表示为圆柱.2.圆锥的构造特征：1 定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴,其余两边旋转形

8、成的面所围成的旋转体叫圆锥.2 圆锥的有关概念：在圆锥中，旋转的轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。3 圆锥的表示方法：圆锥用表示它的轴的字母表示为圆锥.3.圆台的构造特征：(1) 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台. 2 圆台的有关概念：结合图形认识圆台的上、下底面、侧面、母线、轴。 3 圆台的表示方法：圆台用表示它的轴的字母表示为圆台.4.球的构造特征：1 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，叫球体，简称球.2 在球中，

9、半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。3 球的表示： 球常用表示球心的字母表示为球O。5.简单组合体的构造特征：1 定义：由简单几何体如柱、锥、台、球等组合而成的几何体叫简单组合体.2 简单组合体的构成形式： 一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。考点3 柱、锥、台、球的三视图1三视图的定义：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图2三视图的几何作用：正视图反映了物体上

10、下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度.考点4 直观图的斜二测画法直观图：直观图最常用的画法是斜二测画法，由其规那么能画出程度放置的直观图，其本质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 根本步骤如下：1 建系：在图形中取互相垂直的轴和轴，得到直角坐标系，直观图中画成斜坐标系，两轴夹角为或135°.2平行不变：图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中分别画成平行于或轴的线段.3长度规那么：图形中平行于轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于轴的线段，长度为原来的

11、一半.三 、例题精析类型一 棱柱、棱锥、棱台的构造特征例题1判断如图，一个封闭的长方体，它的六个外表各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的外表上的字母已说明，那么字母A、B、C对面的字母依次分别为AD、E、FBF、D、ECE、F、DDE、D、F【解析】D第一个正方体A，B，C，第二个正方体A，C，D，第三个正方体B，C，E，且不同的面上写的字母各不一样，那么可知A对面标的是E，B对面标的是D，C对面标的是F应选D【总结与反思】三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身理论，动手作图来完成。因为，在做立体图的题目时，对立体图形根本构造的认识和记忆是非常重要的。类

12、型二 圆柱、圆锥、圆台的构造特征例题2以下几何体中是台体的是【解析】DA中的几何体侧棱延长线没有交于一点；B中的几何体没有两个平行的面；很明显C中几何体是棱锥【总结与反思】 在做立体图的题目时，对立体图形根本构造的认识和记忆是非常重要的。对于台体而言，不管是棱台还是圆台他们的共同点都是：台体的上下底面是平行的关系。类型三 柱、锥、台、球的三视图例题3如图,是常见的六角螺帽，试画出它的三视图【解析】【总结与反思】 画三视图之前，先把几何体的构造弄清楚，确定一个正前方，从三个不同的角度进展观察. 在绘制三视图时，分界限和可见轮廓线 都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来.从三个方向正面，左面，上

13、面观察，得到三个平面图形，绘制出对应的三视图。类型四 直观图的斜二测画法例题4画棱长为的正方体的直观图【解析】按照斜二测画法的步骤画正方体的直观图，先画下底面，再画棱，再画上底面.画法：如图，按如下步骤完成.第一步，作程度放置的正方形的直观图ABCD，使.第二步，过作轴，使. 分别过点作轴的平行线，在轴及这组平行线上分别截取.第三步，连接，所得图形就是正方体的直观图.【总结与反思】 纯熟的掌握直观图的斜二测画法，对其步骤的顺序可以到达正确的运用。例题5长方体的棱长，那么从点沿长方体外表到达点的最短间隔 为A B C. D【解析】将长方体沿剪开成平面图形，沿展开，；沿展开，那么有.综上所述，从点

14、沿外表到的最短间隔 为.例题6设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和且长为的棱与长为2的棱异面，那么的取值范围是 A B CD【解析】设AB边长为a，PC边长为2，E,F分别为PC,AB的中点，可知AE=BE,因为，所以四 、课堂运用基础1. 纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北如今沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平得到如下图的平面图形，那么标“的面的方位是A南 B北C西 D下2.一个长方体去掉一角，如下图，关于它的三视图，下列画法正确的选项是3. 某几何体的正视图和侧视图均如下图，那么该几何体的俯视图不可能是4. 正方形OABC的边长为1 cm，它

15、是程度放置的一个平面图形的直观图，那么原图形的周长是A6 cmB8 cmC23cm D22cm答案与解析1.【答案】B 【解析】将所给图形复原为正方体，并将面“上、“东分别指向上面、东面，那么标记“的为北面2. 【答案】A【解析】由于去掉一角后，出现了一个小三角形的面正视图中，长方体上底面和右边侧面上的三角形的两边的正投影分别和矩形的两边重合，故B错；侧视图中的线应是虚线，故C错；俯视图中的线应是实线，故D错3. 【答案】D【解析】由于该几何体的正视图和侧视图一样，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D4. 【答案】B【解析】如图，OA1 cm，在RtOAB中，OB2

16、cm，所以AB 3 cm所以四边形OABC的周长为8 cm巩固1. 关于如下图几何体的正确说法为 这是一个六面体这是一个四棱台这是一个四棱柱此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到A BC D2. 一个三棱锥，假如它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面A至多有一个是直角三角形B至多有两个是直角三角形C可能都是直角三角形D必然都是非直角三角形3. 如下图的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，那么截面图形可能是A BC D4. 两个圆锥，底面重合在一起底面平行于程度面，其中一个圆锥顶点

17、到底面的间隔 为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的间隔 为3 cm，那么其直观图中这两个顶点之间的间隔 为A2 cm B3 cmC25 cm D5 cm5.如下图，一个程度放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，那么这个平面图形的面积是A B1C1 D2答案与解析1.【答案】D【解析】正确因为有六个面，属于六面体的范围错误因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确正确假如把几何体放倒就会发现是一个四棱柱都正确如下图2.【答案】C【解析】注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多在如下图的长

18、方体中，三棱锥的三个侧面都是直角三角形3. 【答案】【解析】一个圆柱挖去一个圆锥，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分4.【答案】D【解析】圆锥顶点到底面的间隔 即圆锥的高，故两顶点间间隔 为235cm，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm，应选D5.【答案】D【解析】因为ADBC，所以ADBC因为ABC45°，所以ABC90°所以ABBC所以四边形ABCD是直角梯形，如下图其中，ADAD1，BCBC1，AB2，即S梯形ABCD2拔高1. 定义：底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱叫做正三

19、棱柱将正三棱柱截去一个角如图1所示，M，N分别是AB，BC的中点得到几何体如图2，那么该几何体按图2所示方向的侧视图为2. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，求该多面体最长的棱长3. 如下图的是程度放置的三角形ABC的直观图ABC，其中D是AC的中点，在原三角形ABC中，ACB60°，那么原图形中与线段BD的长相等的线段有A0条 B1条C2条 D3条4. 某几何体的正视图和侧视图是如图中所示的等腰梯形，俯视图如图中所示外部是正方形，内部是与外部正方形同心的正方形根据图中尺寸，说明原几何体的特征，并说明该几何体的主要元素的尺寸答案与解析1.【答案】D【解

20、析】由题图2侧视的方向可知，M点的投影是棱AC的中点，N点的投影为C，E点的投影为F，故应选D2.【答案】【解析】由三视图可知此几何体的直观图如下图，其中ABAC，DCAC，DCBC，那么BC5，DA，DB5，因为55，所以最长的棱长为5 3.【答案】 C【解析】 先按照斜二测画法把直观图复原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段把三角形ABC复原后为直角三角形，那么D为斜边AC的中点，所以ADDCBD应选C4.【答案】几何体是正四棱台，各要素长度见解析【解析】所求几何体是一个正四棱台，其上底边长为2 cm，下底边长为4 cm，由三视图可知正四棱台的斜高为3

21、cm，所以正四棱台的侧棱长为 cm该正四棱台主要元素的尺寸示意图如下图五 、课堂小结本节讲了4个重要内容：1.“视图是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线自物体的前面向后投影所得的投影图成为“正视图，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图，自上向下投影所得的图形称为“俯视图. 用这三种视图即可刻划空间物体的几何构造，称为“三视图. 2. 画三视图之前，先把几何体的构造弄清楚，确定一个正前方，从几何体的正前方、左侧和右侧、正上方三个不同的方向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象才能. 在绘制三视图时，分界限和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来3. 三视

22、图中反响的长、宽、高的特点：“长对正，“高平齐，“宽相等4. 空间几何体的三视图与直观图有亲密联络. 三视图从细节上刻画了空间几何体的构造，根据三视图可以得到一个准确的空间几何体，得到广泛应用零件图纸、建筑图纸. 直观图是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结设想象实物的形象六 、课后作业基础1. 以下说法正确的选项是棱锥的各个侧面都是三角形；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；棱锥的各侧棱长相等A B C D2. 以下说法错误的选项是A一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B一个圆台可以由两个圆台拼合而成C一个圆锥

23、可以由两个圆锥拼合而成D一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成3. 假设某几何体的正视图、侧视图、俯视图完全一样，那么该几何体的正视图不可能是4. ABC，选定的投影面与ABC所在平面平行，那么经过中心投影后得到的ABC与ABCA全等B相似C不相似 D以上都不对答案与解析1.【答案】B【解析】由棱锥的定义可知，棱锥的各侧面都是三角形，故正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，假如这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故错2.【答案】C【解析】用

24、一个平行于底面的平面去截台体，就会得到两个台体，因此一个圆台可以由两个圆台拼合而成，一个四棱台也可以由两个四棱台拼合而成，故B，D选项说法是正确的假设在三棱锥的底面两边上任找两点，过这两点和三棱锥的顶点的截面，就会把三棱锥分成一个三棱锥和一个四棱锥，因此一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成，应选项A的说法正确3.【答案】D【解析】满足选项A的有三棱锥，满足选项B的有球，满足选项C的有正方体，应选D.4.【答案】B【解析】此题主要考察对中心投影的理解，根据题意画出图形如下图由图易得，那么ABCABC.巩固1. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有A1个 B2个 C3个 D4个2.

25、如下图，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，那么爬行的最短路程为_3. 甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9，甲说他看到的是“6，乙说他看到的是“6，丙说他看到的是“6，丁说他看到的是“9，那么以下说法正确的选项是A甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边B丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙C甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁D甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边4. 如下图，四面体A­BCD的四个顶点是长方体的四个顶点长方体是虚拟图形，起辅助作用，那么四面体A­BCD的正视图、侧视图、俯视图依次是_答案与解析1.【答案】D【解析】如下图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中取四棱锥A1­ABCD，那么此四棱锥的四个侧面全为直角三角形故正确答案为D.2.【答案】