抽象函数奇偶性对称性周期性

1、 .wd.抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数局部的难点,也是大学高等数学函数局部的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比拟困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，那么称函数具有周期性，叫做的一个周期，那么也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。分段函数的周期：

2、设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:。把个单位即按向量在其他周期的图像：。2、奇偶函数：设假设假设。3、函数的对称性：1中心对称即点对称：点记住对称中心为：0，0、的函数的特征。2轴对称：对称轴方程为：。关于直线函数关于直线成轴对称。关于直线成轴对称。记住对称轴为：Y轴X=0、X轴y=0、直线、直线、直线的函数的特征。二、函数对称性的几个重要结论一函数图象本身的对称性自身对称假设，那么具有周期性；假设，那么具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性。1、图象关于直线对称推论1：的图象关于直线对称推论2、的图象关于直线对称推论3、的图象关于直线对称2、的图象关于点对称推论1、的图象关于点

3、对称推论2、的图象关于点对称推论3、的图象关于点对称二两个函数的图象对称性相互对称利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解1、偶函数与图象关于Y轴对称2、奇函数与图象关于原点对称函数3、函数与图象关于X轴对称4、互为反函数与函数图象关于直线对称5.函数与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称三抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1 假设函数yf(x)关于直线xa轴对称，那么以下三个式子成立且等价：1f(ax)f(ax) 2f(2ax)f(x) 3f(2ax)f(x)性质2 假设函数yf(x)关于点a，0中心对称，那么

4、以下三个式子成立且等价：1f(ax)f(ax)2f(2ax)f(x)3f(2ax)f(x)易知，yf(x)为偶或奇函数分别为性质1或2当a0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、 假设对于定义域内的任一变量x，均有fg(x)fg(x)，那么复数函数yfg(x)为偶函数。定义2、 假设对于定义域内的任一变量x，均有fg(x)fg(x)，那么复合函数yfg(x)为奇函数。说明：1复数函数fg(x)为偶函数，那么fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)，复合函数yfg(x)为奇函数，那么fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)。2两个特例：yf(xa)为偶函数，那么f(xa)f(xa)；

5、yf(xa)为奇函数，那么f(xa)f(ax)3yf(xa)为偶或奇函数，等价于单层函数yf(x)关于直线xa轴对称或关于点a，0中心对称3、复合函数的对称性性质3复合函数yf(ax)与yf(bx)关于直线xba/2轴对称性质4、复合函数yf(ax)与yf(bx)关于点ba/2，0中心对称推论1、 复合函数yf(ax)与yf(ax)关于y轴轴对称推论2、 复合函数yf(ax)与yf(ax)关于原点中心对称4、函数的周期性假设a是非零常数，假设对于函数yf(x)定义域内的任一变量x点有以下条件之一成立，那么函数yf(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x

6、)f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质5假设函数yf(x)同时关于直线xa与xb轴对称，那么函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|性质6、假设函数yf(x)同时关于点a，0与点b，0中心对称，那么函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|性质7、假设函数yf(x)既关于点a，0中心对称，又关于直线xb轴对称，那么函数f(x)必为周期函数，且T4|ab| 6、函数对称性的应用 1假设,即 2例题 1、; 2、奇函数的图像关于原点0，0对称：。 3、假设的图像关于直线对称。设.四常用函数的对称性1、分段函数的奇偶性奇函数：偶函数： 2、(1)的周期;对称中心;

7、对称轴方程.(2)的周期;对称中心+;对称轴方程.(3)的周期;对称中心;3、1的对称中心为h,k,对称轴为x=h及y=k。2的对称轴为y=k;的对称轴为x=h;三、函数周期性的几个重要结论1、( ) 的周期为，()也是函数的周期2、的周期为3、的周期为4、的周期为5、的周期为6、的周期为7、的周期为8、的周期为9、的周期为10、假设11、有两条对称轴和周期推论：偶函数满足周期12、有两个对称中心和周期推论：奇函数满足周期13、有一条对称轴和一个对称中心的四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的

8、能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值例1.1996年高考题设是上的奇函数，当时，那么等于-0.5A0.5;B-0.5; C1.5; D-1.5.例21989年北京市中学生数学竞赛题是定义在实数集上的函数，且，求的值.。2、比拟函数值大小例3.假设是以2为周期的偶函数，当时，试比拟、的大小.解：是以2为周期的偶函数，又在上是增函数，且，3、求函数解析式例4.1989年高考题设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间当时，求在上的解析式.解：设时，有是以2 为周期的函数，.例5设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.解：当，即，又是以2为

9、周期的周期函数，于是当，即时，4、判断函数奇偶性例6.的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.解：由的周期为4，得，由得，故为偶函数.5、确定函数图象与轴交点的个数例7.设函数对任意实数满足，判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.解：由题设知函数图象关于直线和对称，又由函数的性质得是以10为周期的函数.在一个周期区间上，故图象与轴至少有2个交点.而区间有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.6、在数列中的应用例8.在数列中，求数列的通项公式，并计算，由得总项数为500项，7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用

10、一周为七天这个循环数来进展计算即可.解：因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数，故天为星期四.8、复数中的应用例10.上海市1994年高考题设，那么满足等式且大于1的正整数中最小的是A 3 ； B4 ； C6 ； D7.分析：运用方幂的周期性求值即可.解：，9、解“立几题例11.ABCD是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段。白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规那么：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停顿在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是A1； B；C ； D0.解：

11、依条件列出白蚁的路线立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.1990=6，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在点，白蚁在C点，故所求距离是例题与应用例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)= f(x+4) ，x0，2时f(x)=x，求f(2007) 的值 例2：f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。故f(2009)= f(2518+1)=f(1)=2例3：f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，

12、f(x)=2x+1，那么当时求f(x)的解析式例4：f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.例5：f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，假设f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上单调.求a的值. 例7：f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4x)，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在区间1000，1000上f(x)=0至少有几个根？ 解：依题意

13、f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题22可知f(x)的一个周期是10 故f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在区间(0，10上，方程f(x)=0至少两个根 又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根， 因此方程f(x)=0在区间1000，1000上至少有1+=401个根.例8、 函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x4)与yf(6x)的图象之间D A关于直线x5对称 B关于直线x1对称C关于点5，0对称 D关于点1，0对称解：据复合函数的对称性知函数yf(x4)与yf(6x)之间关于点64/2，0即1，0中心对称，应选D。

14、原卷错选为C例9、 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x1对称，证明f(x)是周期函数。2001年理工类第22题例10、 设f(x)是，上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时f(x)x，那么f(7.5)等于-0.51996年理工类第15题例11、 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，那么f(x)是C A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数例12、函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x4)与yf(6x)的图象 。A关于直线x5对称 B关于直线x1对称C关于点5，

15、0对称 D关于点1，0对称例13、设f(x)是，上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，那么f(7.5)= 。A0.5 B0.5 C1.5 D1.5例14、设f(x)是定义在，上的函数，且满足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，那么f(x)是 。A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数例15、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x1对称，证明f(x)是周期函数。参考答案：D，B，C，T2。例16、在数列求=-1例17、fx是定义在实数集上的函数且满足：fx+21-fx=1+fx，f1=1997，求f200

16、1的值。例18、设偶函数满足，那么(A) (B) (C) (D) 例19、假设数列满足，假设，那么的值为_。例20、数列满足，那么=例21. f(x) 是R上的奇函数f(x)=- f(x+3) ,x0,3/2时f(x)=x,那么f(2003)例22. f(x)是R上的偶函数,f(1-x )=f(x+1),x-1,0时f(x)=Log0.5(-x)那么f(2003)例23. f(x)满足f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x),假设f(a)=-f(2000),a5,9且f(x)在5,9上单调。求a的值。一组有趣的三角求值问题：cos0+cos1+cos2+cos359+cos360；

17、=0tan1tan2tan3tan88tan89=1345coscos2cos4cos2=6sinsin2sin4sin2=？7tantan2tan4tan2=？利用不动点法求通项公式例14 数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，那么是函数的两个不动点。因为。，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，那么。评注：此题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。例15 数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，那么x=1是函数的不动点。因为，所以，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，那么，故。评注：此题

18、解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。周期数列对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，那么称数列是从第项起的周期为T的周期数列。假设，那么称数列为纯周期数列，假设，那么称数列为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期。周期数列主要有以下性质：1周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2周期数列必有最小正周期这一点与周期函数不同；3如果T是数列的周期，那么对于任意的，也是数列的周期；4如果T是数列的最小正周期，M是数列的任一周期，那么必有T|M，即M=；几种常见类型的周期数列：一、 形如证明

19、：，数列是周期为3的数列例1.数列中，那么能使的的数值是CA14B15C16D17二、形如数列是周期为3的数列例2、数列满足，那么1002三、形如证明：，数列是周期为6的数列。数列满足，记那么以下结论正确的选项是AA，B，C，D，四、形如证明：，数列是周期为4的数列。例4、数列满足，那么五、形如等和数列证明：，数列是周期为2的数列例5、在数列中，设为数列的前项和，那么AABC3D四阶幻方-灵敏巧慧的数学情诗 诗歌使人巧慧，数学使人灵敏。在艺术中，与数学最接近的就是诗歌了。许多数学家认为，不能在心灵上作为一个诗人就不能成为一位数学家。九宫图是一首迷人的诗，那么四阶幻方也是一首完美的诗，一首震憾人

20、们心灵的诗。四阶完美幻方共有三类。它所具有的幻性是十分丰富的，其分布规律，其构造关系，表现出惊人的和谐对称性，及整齐一律的美，并蕴含深奥的哲理思想。在我们的心灵中四阶完美幻方就是一首有严格韵律的四句诗，它激起了我们想象空间的升华，我们用它的数字构造进展诗歌艺术的创作，所创作成的每首诗歌，宛如新生的绿树，盛开着文学艺术和数学理趣的并蒂花。九宫图8种变式配八首诗歌鸟语花香四季九花二重开，三杨五柳七处栽。 八哥一唱六鸟应，九宫奇境仙人来。英雄奇才八方三才游四海，一将五战胜九怪。 六女七拜杨二郎，九宫奇才谁不爱。 哥妹团圆 二探七哥六妹愁，九望五峰一路陡。 四河三桥八停留，半月十五才到头。 预测大师

21、六路七星二神通，一算五行九宫明。 八卦三爻四象生，天地人间事事语。流行?九妹? 二唱九妹四座惊，七颜五色三面捧。 六女一转八来风，唱遍祖国处处春。 数字之美 点六一八黄金比，数七五三差等级。 二数除九余加四。十全十美真有趣。 读书人生 八科一生学六回，三书五经读七春。 四年九创书二本，读书人生奏强音。 纪念领袖 四祝三八妇女节，九庆五一劳动节。 二节逢上七六年，痛失领袖哭岁月。 四阶完美幻方 1别离情 四哥探望十四姐，七转石岭九道砭。 十五月亮一夜圆，十二月逢六天面。 十诉别情八回怨，十三云月三重天。五作别诗十一首，两地相望十六年。 注解：此诗所用数字构成一个四阶完美幻方，其四行四列及八条泛对角线所含四数之和都等于34。而且每一正方形，每一等腰梯形如14，7，10，3。每一平行四边形如4，15，13，2上的四个角，所含四数之和均为34。每一交*十字点上，画一个“X