1空间直角坐标系

1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(14-01):空间直角坐标系(315) 785 空间直角坐标系 母题(14-01):(2009年安徽高考试题)在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是 .解析:设M(0,y,0),由|MA|=|MB|MA|2=|MB|2(0-1)2+(y-0)2+(0-2)2=(0-1)2+(y+3)2+(0-1)2y=-1M(0,-1,0).点评:学习、理解、掌握空间直角坐标系最有效的途径是与平面直角坐标系类

2、比:项目平面解析几何空间解析几何坐标系有相同的单位长度和公共原点,且相互垂直的两条数轴构成平面直角坐标系.有相同的单位长度和公共原点,且两两相互垂直的三条数轴构成空间直角坐标系.基本图y P(x,y) O xz P(x,y,z) O yx点坐标P(x,y)P(x,y,z)两点距离公式如果P(x1,y1),Q(x2,y2),则|PQ|=如果P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2),则|PQ|=中点公式如果A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点P(,).如果A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB的中点P(,).基本图的方程1.直线的截距式方程:如果直线l在x、y轴上

3、的截距分别为a、b(ab0),则直线l的方程为:=1;2.直线的一般式方程:ax+by+c=0.3.圆的方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中,圆心M(a,b),r为半径.1.平面的截距式方程:如果平面在x、y、z轴上的截距分别为a、b、c(abc0)则平面的方程为:+=1;2.平面的一般式方程:ax+by+cz+f=0.3.球的方程:(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2(R0),其中,球心M(a,b,c),R半径.法向量直线ax+by+c=0的法向量m=(a,b).平面ax+by+cz+f=0的法向量m=(a,b,c).平行判定如果直线l1:a1x+b1y+c1=0与

4、l2:a2x+b2y+c2=0,则l1l2a1:a2=b1:b2c1:c2.如果平面:a1x+b1y+c1z+f1=0=0与:a2x+b2y+c2z+f2=0,则a1:a2=b1:b2=c1:c2f1:f2.垂直判定如果直线l1:a1x+b1y+c1=0与l2:a2x+b2y+c2=0,则l1l2a1a2+b1b2=0.如果平面:a1x+b1y+c1z+f1=0=0与:a2x+b2y+c2z+f2=0,则a1a2+b1b2+c1c2=0.夹角公式如果直线l1:a1x+b1y+c1=0与l2:a2x+b2y+c2=0,则l1与l2的夹角满足:cos=.如果平面:a1x+b1y+c1z+f1=0=

5、0与:a2x+b2y+c2z+f2=0,则与的夹角满足:cos=.点线(面)距离点P(x0,y0)到直线ax+by+c=0的距离d=.点P(x0,y0,z0)到平面ax+by+cz+f=0的距离d=. 786 母题(14-01):空间直角坐标系(315) 子题(1):(2014年北京高考试题)在空间坐标系O-xyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,),若S1,S2,S3分别表示三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则( )(A)S1=S2=S3 (B)S1=S2且S3S1 (C)S1=S3且S3S2 (D)S2=S3且S1

6、S3解析:在空间坐标系O-xyz中,标出点A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,),如图所示,由图知,三棱锥D-ABC在xOy平面上的正投影为ABCS1=2;三棱锥D-ABC在yOz平面上的正投影为OCD1,其中D1(0,1,)S2=;三棱锥D-ABC在zOx平面上的正投影为OAD2,其中D2(1,0,)S3=S2=S3.故选(D). 注:与平面直角坐标系类似,对空间直角坐标系的基本要求是掌握有序数组(x,y,z)与空间内点的一一对应关系,即一方面,由点的坐标确定点的位置,另一方面,由点的位置求点的坐标. 子题(2):(2010年全国高考试题)与正方体ABCD-A1

7、B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点( )(A)有且只有1个 (B)有且只有2个 (C)有且只有3个 (D)有无数个解析:分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴,建立 z空间直角坐标系如图: D1 C1不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P(x,y,z)到三条棱 A1 B1AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等,则P(x,y,z)到三条棱 D C yAB、CC1、A1D1所在直线的距离分别为d1=,d2= x,d3=,由题知,d1=d2=d3=x=y=z,故点P有无数个,且点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的体的对角线DB1上.故选(D)

8、. 注:空间直角坐标系的建立,为我们研究立体几何问题提供了一个程序化的通法,即解析法,解析法的程序是:一建立空间直角坐标系;二求或设出相关点的坐标; 三利用有关公式解决问题. 子题(3):(2013年湖南高考试题)已知a,b,cR,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 .解析:设a=x,2b=y,3c=z,则x+y+z=6,表示空间直角坐标系中一平面坐标原点到平面的距离d=2,在平面上任取一点P(x,y,z),则a2+4b2+9c2=x2+y2+z2=|OP|2;由|OP|d|OP|2d2=12a2+4b2+9c2的最小值=12. 注:空间直角坐标系的建立,还为我们提供了更广泛

9、的数形转换的空间,如ax+by+cz=d可视为空间内的平面,(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2可视为空间内的点P(x,y,z)与点A(x0,y0,z0)的距离的平方. 子题系列:1.(原创题)己知点A(1,0,1),B(0,1,1),点P在平面xOy内,若ABP是正三角形,则点P的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)无数个2.(原创题)在空间直角坐标系中,已知平行四边形ABCD的其中三个顶点的坐标分别为(1,1,0),(0,1,1),(0,0,1),则第四个顶点的坐标可能是:(1,0,0);(1,2,0);(2,0,0);(0,2,0);(-1,0,2).其中正确的序号

10、是 (填上所有你认为正确的序号).3.(2013年课标高考试题)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( ) 母题(14-01):空间直角坐标系(315) 787 4.(2014年湖北高考试题)在如图所示的空间直角坐标系o-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为、的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )(A)和 (B)和 (C)和 (D)和5.(2012年江西高考试

11、题)从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点.()求这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率;()求这3个点与原点O共面的概率.6.(2004年北京高考试题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC的距离与到直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是( )(A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D)抛物线7.(2010年重庆高考试题)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )(A)直线

12、(B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线8.(2009年湖南高考试题)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱上到异面直线AB,CC1的距离相等的点的个数为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)59.(原创题)若实数x、y、z满足:x2+y2+z2=1,则(x-1)2+(y+2)2+(z-2)2的最大值为 .10.(原创题)若实数x、y、z满足:x2+y2+z2=1,则x-2y+2z的取值范围是 .11.(2008年同济大学保送生考试数学试题)解方程组:.12.(2013年湖北高考试题)设x,y,zR,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,则x+y+z= .13.(1992年“友谊杯”

13、国际数学邀请赛九年级试题)设a、b、c、x、y、zR,a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,则= .14.(2012年湖北高考试题)设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则=( )(A) (B) (C) (D) 子题详解:1.解:由A(1,0,1),B(0,1,1)|AB|=,点P在平面xOy内,可设P(x,y,0),由,或点P(0,0,0),或P(1,1,0).或作图,把A、B两点视为一个正方体的两顶点,易知点P有2个.故选(C).2.解:若A(1,1,0),B(0,1,1),C(0,0,1

14、),由AC与BD的中点重合D(1,0,0);若A(1,1,0),B(0,0,1),C(0,1,1),由AC与BD的中点重合D(1,2,0);若A(0,1,1),B(1,1,0),C(0,0,1),由AC与BD的中点重合D(-1,0,2);若A(0,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),由AC与BD的中点重合D(1,0,0).故选.3.解:设O(0,0,0),A(0,1,1),B(1,1,0),C(1,0,1),在空间直角坐标系中, 788 母题(14-01):空间直角坐标系(315) 先画出四面体O-ABC的直观图,以zOx平面为投影面,则得到正视图,故选(A).4.解:在坐标系中标出

15、已知的四个点,根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为与俯视图为.故选(D).5.解:()从6个点中随机选取3个点有C63=20总的结果数为20种,其中满足条件的有A1B1C1,A2B2C2满足条件的种数为2种概率=0.1;()满足条件的情况为A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,计12种概率=0.6.6.解:分别以CB,CC1,CD所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设P(x,y,0),则P到直线BC的距离=|y|,P到直线C1D1的距离=P到点C1(0,

16、1,0)的距离=,由|y|=2y=x2+1.故选(D).7.解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,分别以CB,CC1,CD所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设两互相垂直的异面直线分别为x轴,DD1,则在xOy平面内的点P(x,y,0)到x轴的距离=|y|,P到直线DD1的距离=,由|y|=x2-y2=1.故选(D).8.解:分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则BC的中点,D点,B1点,DD1的中点,计4个点.故选(C).9.解:设球O:x2+y2+z2=1,A(1,-2,2),P(x,y,z),则(x-1)2+(y+2)2+(z-2)2=|AP|

17、21+|OA|2=16.10.解:设球O:x2+y2+z2=1,平面:x-2y+2z=a,则球心O到平面的距离d=r=1|a|3x-2y+2z的取值范围是-3,3.11.解:设球O:x2+y2+z2=,则球O的的球心O(0,0,0),半径R=,球心O到平面:-8x+6y-24z=39的距离d=R球O与平面相切,设切点P(x,y,z),由平行于平面的法向量m=(-8,6,-24)得x=-,y=,z=-.12.解:设球O:x2+y2+z2=1,则球O的的球心O(0,0,0),半径r=1,球心O到平面:x+2y+3z=的距离d=1=r球O与平面相切,设切点P(x,y,x),由平行于平面的法向量m=(1,2,3)x:y:z=1:2:3,代入x+2y+3z=得x=,y=,z=x+y+z=.13.解:设球O:x2+y2+z2=36,则球O的球心O(0,0,0),半径r=6,球心O到平面:ax+by+cz=30的距离d=6=r球O与平面相切,设切点P(x,y,x),由平行于平