一元二次方程知识点总结及习题

1、.【基础知识巩固】 知识点1. 一元二次方程概念只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。1、判别下列方程是不是一元二次方程，(1)2x-x-3=0. (2)-y=0. (3) t=0. (4) x-x=1. (5) x-2y-1=0. (6) -3=0. (7) =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1). (9)3x-+6=0. (10)3x=-3. 2、判断下列方程是否为一元二次方程：3、下列方程中，关于的一元二次方程是 （ ）（A） （B） （C） （D）4、下列方程中，不是一元二次方程的是 （ ）（A）2x2+7=0 （B）2x2+2x+1=0（C）

2、5x2+4=0 （D）3x2+(1+x) +1=05、若关于x的方程a(x1)2=2x22是一元二次方程，则a的值是 （ ）（A）2（B）2（C）0（D）不等于26、已知关于的方程，当 时，方程为一次方程；当 时，两根中有一个为零。7、已知关于的方程：（1） m为何值时方程为一元一次方程；（2） m为何值时方程为一元二次方程。知识点二.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：，其中是二次项，叫二次项系数；是一次项，叫一次项系数，是常数项。特别警示：（1）“”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各

3、项系数时，必须先将方程化为一般形式。1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. (5) (6)2、关于的方程是一元二次方程，则 （ ）（A） （B） （C） （D）3、将下列一元二次方程化成一般形式，并找出a、b、c的值.(1) ；(2) 4、方程（m21）x2mx50 是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（）（A）m1 （B）m0 （C）|m|1 （D）m±15、关于的方程中是 ；是 ；是 。6、方程的一般形式为 。7、方程(m-5)(m-3)x+(m-3)x+5=0中，当m为何值时，此方程为一元二次方程?知识点三.一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未

4、知数的值，叫方程的解。1、已知方程的一个根是1，则m的值是 。2、已知是一元二次方程的一个解，则m的值是 （ ）（A）1 （B）0 （C）0或1 （D）3、若是一元二次方程的一个根，则 。4、实数是方程 的根 （ ）（A） （B）（C） （D）5、设是一元二次方程的较大根，是较小根，那么的值是 （ ）（A）-4 （B）-3 （C）1 （D）26、已知关于的一元二次方程 的一个解与方程的解相同。（1） 求的值；（2） 求方程的另一个解。7、设是关于的一元二次方程的两个根，是关于的一元二次方程的两个根，则的值分别等于多少？知识点四.一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：（1）直接开平方法：如果

5、，则.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，当b<0时，方程没有实数根。（2）配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式（3）公式法：一元二次方程的求根公式是；公式法适用于任何一元二次方

6、程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。 （4）因式分解法：如果则。分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。1、方程的解是： （ ）（A） （B） （C） （D）2、方程的解是： （ ）（A） （B） （C） （D）3、方程的较简便的解法应选用 。4、解下列方程：（1） （2）

7、 （3）5开平方法解下列方程： 6配方法解方程： 7公式法解下列方程： 8因式分解法解下列方程： 9用适当方法解下列方程： 10、解下列方程： 知识点五.一元二次方程根的判别式对于一元二次方程的根的判别式是：（1） 当时，方程有两个不相等的实数根；（2） 当时，方程有两个相等的实数根；（3） 当时，方程无实数根。温馨提示：若方程有实数根，则有。1、已知方程有两个不相等的实数根，则k= 。2、关于的一元二次方程两个不相等的实数根，则k的取值范围是 （ ）（A） （B） （C） （D）3、在下列方程中，有实数根 的是 （ ）（A） （B） （C） （D）4、当m满足何条件时，方程有两个不相等实根？

8、有两个相等实根？有实根？5、关于的方程无实根，试解关于的方程。6、已知关于的一元二次方程，求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。7、将一条长20m的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。（1） 要使这两个正方形的面积之和等于17平方米，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2） 两个正方形的面积之和可能等于12平方米吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。知识点六.一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程的两个实数根为，则。（韦达定理）温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。1、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且满足，则

9、k的值为： （ ）（A） （B） （C） （D）不存在2、已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是 （ ）（A）3或-1 （B）3 （C）1 （D）-3或13、关于的一元二次方程有两个实数根，且，则m的取值范围是 （ ）（A） （B） （C） （D）4、方程与方程的所有根的乘积是 5、两个不相等的实数m,n满足，则mn的值为 。6、设是关于的方程的两个根，且满足，求m的值。7、已知：ABC的两边AB、AC的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边BC的长为5，问：k取何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形？知识点七.一元二次方程的实际应用列一元二方程解应用题的一般步

10、骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。1、某商品原价每件25元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件16元，则该玩具平均每次降价的百分率是 。2、有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。3、一块长方形铁皮的长是宽的倍，四角各截去一个正方形，制成高是cm，容积是cm3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。4、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？5、一根长22cm的铁丝（1）能否围成面积是30cm2的矩形？（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由6、西瓜经营户以2元千克的价格购进一批小型西瓜，以3元千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价，经调查发现，这种小西瓜每降价0.1元千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？7、在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q