81椭圆及其标准方程(1)（2）（3）

1、第八章 圆锥曲线方程8.1 椭圆及其标准方程(1)教学目标1理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念，能正确推导椭圆的标准方程；2培养学生运动变化的观点，训练学生的动手能力；3通过小组合作，培养学生的协作、友爱精神重点难点分析教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程；教学难点：椭圆标准方程的推导课前准备1教具准备：(1)几何画板制作的动画课件(2)学生按小组(2人一组)准备好一块纸板、一段细绳、两枚图钉(3)投影片(I)例：(1)判断下列方程的焦点位置，并指出焦点的坐标点M的轨迹是 (II)备用练习：对椭圆各小组仿照例题或习题的形式自己设计一个题目，两个小组交换审查并尝试作答2教法准备：准备采用小组合作研

2、究的方法，在教师的引导下，让学生动手，不断探索，以加深对椭圆定义及其方程的理解，有利于充分发挥学生的主体作用，培养学生的协作友爱精神教学设计 【情景设置】问题：2003年10月15日，中国“神舟5号”飞船试验成功，实现了中国人的千年飞天梦请问：“神舟5号”飞船绕什么旋转?运行轨迹是什么?(地球、椭圆) 那么，生活中你还见过椭圆形状的物品吗?让学生列举几个，教师提出课题：椭圆及其标准方程(1) 【小组合作，形成概念】动画演示下图8-1，同时显示，当M运动时，的数值，可知M在运动时，在改变，而的值却始终不变思考：由椭圆画图过程，尝试给出它的定义. 小组合作后得出：椭圆是到两个定点的距离之和为常数的

3、点的轨迹设 下面由大家自己动手画椭圆，看刚才所给定义还有没有别的条件限制 让学生拿出课前准备好的一块纸板、一段细绳、两枚图钉，2人一组按课本上的要求画椭圆，并讨论以下问题： (1)在纸板上作图说明了什么? (2)在绳长不变的条件下，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有何变化?当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么?当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么?当两图钉固定；能使绳长小于两图钉之间的距离吗?能画出图形吗? (3)完善椭圆定义 学生：独立思考小组讨论互为补充共同交流 教师：启发诱导点拨释疑激励完善演示课件：展示三种不同情形轨迹得出： 定义：平面内与两定点Fl、F2的距离的和等

4、于常数(大于| Fl F2 |)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距 【椭圆标准方程的推导】1回顾：求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简2如何建系，使求出的方程最简? 由各小组讨论，请小组代表汇报研讨成果，由此选定下列两种方案 选定方案一，由各小组自己完成设点，列式两个步骤，重点讨论第三个步骤：如何化简?化简的目的是什么?有什么办法?建系：以Fl、F2所在直线为x轴，线段FlF2的中点为原点建立直角坐标系设点：设M(x，y)是椭圆上任意一点，设则列式：化简：(师生一同完成)两边平方，得：即两边平方，得：整理，得：思考：前面设观察图形能找出图形中a、c所

5、表示的线段及其关系吗?学生回答，并在图形中标示出来，a、c即为RtBOF2的斜边与直角边，另一直角边长为令则方程可简化为：联想到直线的截距式，整理成：思考：a、b的大小关系如何?得出指出：方程叫做椭圆的标准方程，焦点在x轴上，焦点是讨论：选定方案二，方程的形式又如何呢?得出：为椭圆另一个标准方程判断：的焦点位置，思考如何由方程判断其焦点在x轴上还是在y轴上?讨论得出：看的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上根据上面所学知识，完成下表：【例题讲解】例 (1)判断下列方程的焦点位置，并指出焦点的坐标：(2)点M的轨迹是 。答案：(1)x轴上，y轴上，(0，±3)；x轴上， (2)线段F1F

6、2【课堂练习】P9596的2、3(1)(2)(3)备用练习：对椭圆各小组仿照例题或习题的形式自己设计一个题目，两个小组交换审查并尝试作答【课堂小结】(1)椭圆的定义及标准方程； (2)标准方程中a，b的确定及a，b，c的关系 (3)椭圆定义的形成和方程的推导，蕴含着运动变化的观点和研究曲线的基本方法：坐标法 【作业布置】 P96习题8.1的1(2)、2、4【随堂练习】 1将一个圆柱形水杯装半杯水，观察从不同角度倾斜时水面边界线的变化2方程的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围答案：(0，4)评析: 椭圆及其标准方程(1)是一堂数学概念教学课 首先，在本课教学中，充分利用了现代教育媒体，集声

7、、文、图像于一体，增大了知识信息量，使内容充实、形象、直观，从而更具吸引力 其次，在教学上遵循从生动直观到抽象概括的正确教学原则和教学途径，为了讲清椭圆的定义，设计了一个情景、电脑演示画椭圆、学生自己动手画椭圆，引导学生一起实验、探索，分析现象，让椭圆生动灵活地呈现在学生面前，更有助于学生理解椭圆的内涵和外延对本课难点标准方程的推导也是让学生先从目的，再从方法上进行考虑，独立思考后再自由讨论，师生一同完成，同时设计了一个例题和一组练习，充分利用新概念解决问题，突出了重点，也分散了难点，使整节课的教学过程条理清晰，层次分明 为了充分发挥教师的主导作用，突出学生的主体地位，本课采用了小组合作研究的

8、教学方法，创设了一个宽松、民主、和谐的环境，鼓励学生自由思考，小组合作，让学生的思维活跃起来，让学生的潜能进一步得到发挥，课堂上形成多向的信息交流，创设生动、活泼的课堂气氛，使学生真正成为学习的主人8.1 椭圆及其标准方程(2)教学目标1进一步掌握求椭圆标准方程的待定系数法和定义法；2学会运用椭圆的定义和标准方程的知识解决有关问题；3培养学生的探究能力和探索精神重点难点分析教学重点：用待定系数法和定义法求曲线方程；教学难点：方程有两解和例2中轨迹完备性的探求课前准备1教具准备：投影片I练习l： (1)在一平面内，Fl、F2为两个定点，M为动点，若动点M的轨迹为线段FlF2，则2a= ；若动点M

9、的轨迹是椭圆，则2a的取值范围为 .(2)当时，方程表示的曲线是 ，焦点在 轴上 (3)椭圆的标准方程为 .投影片II 错例分析 平面内两个定点的距离等于8，一个动点到这两个定点的距离的和等于l0，求动点M的轨迹方程错解： 所求椭圆的轨迹方程是：2教法准备：准备采用探究法，提出探究问题，让学习小组实例探索，以加深对待定系数法和定义法求轨迹的理解教学设计【复习旧知】练习l：(1)在一平面内，Fl、F2为两个定点，M为动点，若动点M的轨迹为线段FlF2，则2a= 4 ；若动点M的轨迹是椭圆，则2a的取值范围为(2)当时，方程表示的曲线是椭圆，焦点在 x 轴上. (3)椭圆的标准方程为引入课题：椭圆

10、及其标准方程(2) 【新课讲授】 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(-4，0)、(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是l0；(2)两个焦点的坐标分别是(0，-2)、(0，2)，并且椭圆经过点 探究一：(1)小题有哪些方法可以考虑?有哪些经验可以借鉴?学生：独立思考小组讨论 得出：直接法可以用，也可类比圆的标准方程，先确定标准方程的形式，用待定系数法求解 由学生尝试解答，再叫一小组代表发言，老师书写解答 解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为：所求椭圆的标准方程为探究二：(2)小题与(1)有何不同?系数a、b、c可如何解定?学生：独立思考小

11、组讨论互为补充共同交流 老师：启发诱导点拨释疑激励完善解1：因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆定义知：所求椭圆的标准方程为解2：c=2，焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为：椭圆经过点解得：不合舍去)，所求椭圆的标准方程为： 探究三：待定系数法求方程的步骤；(2)中的哪一种解法更简洁?为什么? 讨论得出：待定系数法解题步骤：定类型、设方程、求系数；解l利用了椭圆的定义，更为简洁练习2： (一)习题8.1 第3题 (二)错例分析 平面内两个定点的距离等于8，一个动点M到这两个定点的距离的和等于10，求动点M的轨迹方程 错解：所求M的轨迹方程是： 由各小组分析讨论，着重思考是否建系，有

12、两解还是一解?再订正 由此教师强调：只有建系后才能确定所求轨迹方程是否为标准方程，并非是两解 例2 已知B、C是两个定点，|BC |=6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程 探究四：思考此例中的条件，用哪种方法求解? 启发引导学生抓住以下几个方面进行思考： (1)是否要建立坐标系?(2)直接法能否用?待定系数法能否用? (3)动点A满足的条件抓住题中哪句话分析?从中能得出什么结论吗? 请小组代表发言，教师板书求解过程 解：如图8-3建立坐标系，使x轴经过点B、C，使原点O与BC的中点重合 由已知有即A点的轨迹是椭圆，又2c=6，2a=10点A的轨迹方程是：探究五：椭圆上所有的点都是A的

13、轨迹吗?学生分析得出：A、B、C三点不能共线，点A的轨迹方程应为：教师指出：本题中，利用了椭圆的定义求动点的轨迹方程，这也是求轨迹的一种常用方法，称之为定义法【课堂练习】 教科书；练习4【课堂小结】 1求曲线方程的待定系数法和定义法； 2确定椭圆的标准方程需满足两个独立条件【作业布置】 习题8.1第2、5题【随堂练习】1已知定圆圆动圆M和定圆Cl外切和圆C2内切，求动圆圆心M的轨迹方程2已知椭圆经过点求椭圆的标准方程(参考答案 8.1 椭圆及其标准方程(3)教学目标1使学生理解利用中间变量法求动点的轨迹方程；2了解圆与椭圆的伸缩变换关系；3培养学生变换的数学观点及探索能力重点难点分析教学重点：

14、中间变量法教学难点：运用中间变量法求轨迹课前准备1教具准备：投影片I(1)写出圆的标准方程、参数方程(2)椭圆的标准方程是什么?(3)求曲线方程的基本方法有哪几种?投影片II(1)在例3中，若点M分PP之比为M点的轨迹方程为 (2)在例3中，若点M分PP之比为M点的轨迹仍是椭圆吗?呢?(3)椭圆可由圆上的点怎样变换得到? (4)若将圆按某个方向均匀地压缩(拉长)，轨迹是什么?按其他方向呢? 2教法准备：准备采用探索法进行教学，充分发挥学生的主体作用，暴露方法的形成与发现的思维过程，以加深学生对方法的理解和应用教学设计【复习旧知】(1)写出圆的标准方程、参数方程 (2)椭圆的标准方程是什么? (

15、3)求曲线方程的基本方法有哪几种? 由此引入本课课题【新知探究】例3 如图8-4，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP ，求线段PP中点M的轨迹 探究一：点M的轨迹是什么? 实验：通过电脑演示课件，由几个点让学生猜测，再演示P点移动后的M的整个轨迹 结论：轨迹为椭圆 探究二：动点的轨迹常由动点的轨迹方程判断，没有电脑刚才的结论只能是一种猜想，那么，如何求M的轨迹方程呢?前面复习的几种方法是否可行? 各小组尝试分析、讨论 结论：不能列出M点满足的等式，直接法不能用；没有电脑只能猜测轨迹为椭圆，也不能用待定系数法；定义法也不能用 教师引导：看来我们要用一种新

16、的方法来求解 再次演示P点移动时M的变化，M点随P点的运动而运动，当P点确定，M点也随之确定，借助光标显示P、M的横坐标、纵坐标，思考两者的关系解：设则将代人上式即可得：即点M的轨迹是一个椭圆探究三：动点P的坐标还可怎样表示?得出：还可设(为参数)消去得M的轨迹方程为： 教师指出：本题在求点M的轨迹方程时，不是直接建立关于x、y之间关系的方程，而是给出了与它相关的P点与M点的坐标关系，由P点的轨迹方程求M点的轨迹方程，这也是求轨迹方程的一种常用方法，称之为“中间变量法”(或相关点法、代换法)探究三中得出的含的方程实际上是椭圆的参数方程 思考：中间变量法求轨迹的步骤是什么? 引导学生得出：设两个

17、动点坐标建立x、y与x0、y0之间的关系；将(x0、y0)代入P点所满足的等式探究四：由例3说明：由圆经过怎样的变换得到椭圆：得出：将圆上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的得到椭圆形象地说，将圆上所有点均匀地向x轴压缩为原来的一半得到椭圆 下面通过一组变式练习对圆与椭圆再认识1在例3中，若M分PP之比为M点的轨迹方程为 2在例3中，若点M分PP之比为M点的轨迹仍是椭圆吗?时呢?3椭圆可由圆上的点怎样变换得到?4若将圆按某个方向均匀地压缩(或拉长)，轨迹是什么?按其他方向呢?参考答案 2均为椭圆；3将圆上所有点的纵坐标不变，横坐标变换为原来的一半得到椭圆; 4椭圆，椭圆【应用】已知圆及定点A(8，0)，P为圆上动点，试求AP中点M的轨迹解：设M为AP中点， 将x0=2x-8和y0=2y代入上式，得即：点