第七章 函数矩阵与矩阵微分方程

1、 第七章第七章 函数矩阵与矩阵微分方程函数矩阵与矩阵微分方程 定义：定义： 以实变量以实变量 的函数为元素的矩阵的函数为元素的矩阵 111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnmmmnaxaxaxaxaxaxA xaxaxaxx称为函数矩阵，其中所有的元素称为函数矩阵，其中所有的元素都是定义在闭区间都是定义在闭区间 上的实函数。上的实函数。函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等几种运算，并且运算法则完乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全相同。全相同。例：例：已知已知( ),1,2,;1,2,ijax

2、im jn , a b1sin1cos,11xxxxxxABexex计算计算定义：定义：设设 为一个为一个 阶函数矩阵，如果阶函数矩阵，如果存在存在 阶函数矩阵阶函数矩阵 使得对于任何使得对于任何 都有都有那么我们称那么我们称 在区间在区间 是是可逆的可逆的。,2 ()TxAB AB AABn( )B x , xa bn( ) ( )( ) ( )A x B xB x A xI( )A x , a b( )A x称称 是是 的逆矩阵，一般记为的逆矩阵，一般记为例例 ：已知已知那么那么 在区间在区间 上是可逆的，其逆上是可逆的，其逆为为( )B x( )A x1( )Ax11( )0 xxA x

3、e ( )A x1( )10 xxxxeAxe3,5函数矩阵可逆的充分必要条件函数矩阵可逆的充分必要条件定理定理 : 阶矩阵阶矩阵 在区间在区间 上可逆的上可逆的充分必要条件是充分必要条件是 在在 上处处不为上处处不为零，并且零，并且其中其中 为矩阵为矩阵 的伴随矩阵。的伴随矩阵。定义：定义：区间区间 上的上的 型矩阵函数不型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为恒等于零的子式的最高阶数称为 的的秩秩。mn( )A x , a b( )A x , a b1*1( )( )( )AxA xA x*( )A x( )A x , a b( )A x特别地，设特别地，设 为区间为区间 上的上的 阶矩阵

4、阶矩阵函数，如果函数，如果 的秩为的秩为 ，则称，则称 一个一个满秩矩阵满秩矩阵。注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却不一定是可逆的。满秩的却不一定是可逆的。例例 ：已知已知( )A x , a bn( )A xn( )A x201( )A xxx那么那么 。于是。于是 在任何区间在任何区间 上的秩都是上的秩都是2。即。即 是满秩的。但是满秩的。但是是 在在 上是否可逆，完全依赖于上是否可逆，完全依赖于 的取值。当区间的取值。当区间 包含有原点时，包含有原点时， 在在 上

5、有零点，从而上有零点，从而 是不可逆的是不可逆的 。 定义：定义：如果如果 的所有各元的所有各元素素 在在 处有极限，即处有极限，即 ( )A xx( )A x , a b( )A x( )A x , a b, a b , a b( )A x , a b( )A x( )( )ijm nA xax( )ijax0 xx0lim( )(1,;1, )ijijxxaxaim jn其中其中 为固定常数。则称为固定常数。则称 在在 处处有有极限极限，且记为，且记为其中其中ija0 xx0lim( )xxA xA111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa( )A x如果如果 的各元素的各元

6、素 在在 处连续，处连续，即即则称则称 在在 处处连续连续，且记为，且记为其中其中( )A x( )ijax0 xx00lim( )()(1,;1, )ijijxxaxaxim jn( )A x0 xx00lim( )()xxA xA x1101201021022020010200()()()()()()()()()()nnmmmnaxaxaxaxaxaxA xaxaxax容易验证下面的等式是成立的：容易验证下面的等式是成立的：设设则则00lim( ),lim( )xxxxA xAB xB0(1)lim( ( )( )xxA xB xAB00(2)lim( )(3)lim( ( ) ( )xx

7、xxkA xkAA x B xAB定义定义：如果如果 的所有各元素的所有各元素 在点在点 处处(或在区间或在区间 上上)可导，便称此函数矩阵可导，便称此函数矩阵 在点在点 处处(或在区间或在区间 上上)可导可导，并且记为并且记为( )( )ijm nA xax( )(1,;1, )ijax im jn0 xx , a b( )A x0 xx , a b00000110120102102202010200d ( )()()()limd()()()()()()()()()xx xnnmmmnA xA xxA xA xxxaxaxaxaxaxaxaxaxax 函数矩阵的导数运算有下列性质：函数矩阵的

8、导数运算有下列性质： 是常数矩阵的充分必要条件是是常数矩阵的充分必要条件是 设设(1)均可导，则均可导，则 ( )A xd ( )0dA xx( )( ), ( )( )ijm nijm nA xaxB xb xdd ( )d ( ) ( )( )dddA xB xA xB xxxxdd ( )d ( ) ( ) ( )( )( )dddk xA xk x A xA xk xxxx 设设 是是 的纯量函数，的纯量函数， 是函数矩是函数矩 阵，阵， 与与 均可导，则均可导，则 特别地，当特别地，当 是常数是常数 时有时有( )k xx( )A x( )k x( )A x( )k xkdd ( )

9、( )ddA xkA xkxx(4) 设设 均可导，且均可导，且 与与 是是可乘的，则可乘的，则因为矩阵没有交换律，所以因为矩阵没有交换律，所以( ), ( )A x B x( )A x( )B xdd ( )d ( ) ( ) ( )( )( )dddA xB xA x B xB xA xxxx232dd ( )( )2 ( )dddd ( )( )3( )ddA xAxA xxxA xA xAxxx(5) 如果如果 与与 均可导，则均可导，则(6) 设设 为矩阵函数，为矩阵函数， 是是 的纯量的纯量函数，函数， 与与 均可导，则均可导，则( )A x1( )Ax111d( )d ( )(

10、)( )ddAxA xAxAxxx ( )A x( )xf tt( )A x( )f tdd ( )d ( )( )( )( )dddA xA xA xf tf txxx定义：定义： 如果函数矩阵如果函数矩阵 的的所有各元素所有各元素 在在 上可积，则称上可积，则称 在在 上上可积可积，且且( )( )ijm nA xax( )(1,;1, )ijax im jn , a b( )A x , a b111212122212( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )dbbbnaaabbbbnaaaabbbmmmnaaaaxxaxxaxxaxxaxxaxxA x

11、xaxxaxxaxx( )d( )d ( )( )d( )d( )dbbaabbbaaakA xxkA xxkRA xB xxA xxB xx函数矩阵的定积分具有如下性质：函数矩阵的定积分具有如下性质：例例1 ：已知函数矩阵已知函数矩阵试计算试计算21( )0 xA xx23231(1)( ),( ),( )(2)( )(3)( )dddA xA xA xdxdxdxdA xdxdAxdx证明：证明：02( )10 xdA xdx220( )00 xdA xdx由于由于 ，所以，所以下面求下面求 。由伴随矩阵公式可得。由伴随矩阵公式可得 3300( )00dA xdx3( )A xx 2( )

12、3dA xxdx 1( )Ax1*23231( )( )( )1001111AxA xA xxxxxxx 再求再求1( )dAxdx213410( )23dxAxdxx例例2 ：已知函数矩阵已知函数矩阵23sincossin( )10 xxxxxA xexxx试求试求d(2)( )dA xx0(1)lim( )xA xd(5)( )dA xx22d(3)( )dA xxd(4)( )dA xx例例3 ：已知函数矩阵已知函数矩阵试求试求证明：证明：sincos( )cossinxxA xxx200( ),( )xxA x dxA x dx00000sincos( )cossin1cossinsi

13、n1cosxxxxxxdxxdxA x dxxdxxdxxxxx同样可以求得同样可以求得222220sincos( )2cossinxxxA x dxxxx例例4 ：已知函数矩阵已知函数矩阵试计算试计算22( )20300 xxxxexexA xeex3100( ),( )xA x dxA x dx定义定义：设有定义在区间设有定义在区间 上的上的 个连续的个连续的函数向量函数向量如果存在一组不全为零的常实数如果存在一组不全为零的常实数使得对于所有的使得对于所有的 等式等式成立，我们称，在成立，我们称，在 上上 , a bm12( )( ),( ),( )(1,2,)iiiinxax axaxi

14、m12,mk kk , xa b1122( )( )( )0mmkxkxkx , a b12( ),( ),( )mxxx线性相关线性相关。12( ),( ),( )mxxx否则就说否则就说 线性无关。线性无关。即如果只有在即如果只有在 等式才成等式才成立，那么就说立，那么就说 线性无关。线性无关。定义定义：设设 是是 个定义个定义在区间在区间 上的连续函数向量上的连续函数向量记记120mkkk12( ),( ),( )mxxx12( ),( ),( )mxxxm , a b12( )( ),( ),( )(1,2,)iiiinxax axaxim( )( )d( ,1,2,)bTijijag

15、xxxi jm以以 为元素的常数矩阵为元素的常数矩阵称为称为 的的Gram矩阵，矩阵， 称为称为Gram行列式行列式。定理定理：定义在区间定义在区间 上的连续函数向量上的连续函数向量 线性无关的充要条件线性无关的充要条件是它的是它的Gram矩阵为满秩矩阵。矩阵为满秩矩阵。 ijg()ijm nGg12( ),( ),( )mxxxdetG , a b12( ),( ),( )mxxx12( )(0, ),( )( ,0)xxxx例例 ： 设设则则于是于是 的的Gram矩阵为矩阵为233111221233221d()301d()3babagxxbagggxxba12( ),( )xx33331(

16、)0310()3baGba所以所以故当故当 时，时， 在在 上是线性无关的。上是线性无关的。33 21det()9Gba12det0,( ),( )Gxxab , a b定义：定义： 设设 是是 个定义在区间个定义在区间 上的上的 有有 阶导数的函数向量，记阶导数的函数向量，记那么称矩阵那么称矩阵12( )( ),( ),( )iiiinxax axax(1,2,)imm1m , a b11112122122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnmmmmnxaxaxaxxaxaxaxA xxaxaxax(1)111212122212(1)(1)

17、(1)11121(1)(1)(1)21222(1)(1)12( )( ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )mm mnnnmmmnmmmnmmmnmmmmW xA x A xAxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa(1)( )mmnx是是 的的Wronski矩阵。矩阵。12( ),( ),( )mxxx(1)( ),( ),( )mA xA xAx其中其中 分别是分别是 的一阶，二阶，的一阶，二阶， 阶导数矩阵。阶导数矩阵。定理：定理： 设设 是是 的的Wronski矩阵。如果在

18、区间矩阵。如果在区间 上的某个点上的某个点 ，常数矩阵，常数矩阵 的秩等于的秩等于 ，则，则向量向量 在在 上线性上线性无关。无关。( )A x1m ( )W x12( ),( ),( )mxxx0 , xa b0()W xm12( ),( ),( )mxxx , a b , a b例例 ： 设设则则因为因为 的秩为的秩为2，所以，所以 与与 线性线性无关。无关。212( )(1, ,),( )(,1, )xxx xxex221( )1012( )011012( )101xxxxxxA xexxA xexxxW xexe(0)W1( )x2( )x 1111122112211222221122

19、( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )nnnnnnnnnnndxa t x ta t x ta t x tf tdtdxa t x ta t x ta t x tf tdtdxa t x ta t x ta t x tf tdt ( )( ) ( )( )dx tA t x tf tdt1 11 212 12 22121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ),( ),( )( )( ),( ),( )nnnnn nTnTnatatatatatatA

20、tatatatx txtxtxtftftftft1112121222121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ),( ),( )( )( ),( ),( )nnnnnnTnTnatatatatatatA tatatatx tx tx tx tf tf tf tft上述方程组的初始条件为上述方程组的初始条件为可以表示成可以表示成定理：定理：设设 是一个是一个 阶常数矩阵，则微分阶常数矩阵，则微分方程组方程组满足初始条件满足初始条件 的解为的解为1010202000( ),( ),( )nnx txx txx tx010200( ),Tnx txxxAn( )( )dx tAx tdt00( )x tx0()0A t txex定理：定理：设设 是一个是一个 阶常数矩阵，则微分方阶常数矩阵，则微分方程组程组满足初始条件满足初始条件 的解为的解为例例1 ：设设An( )( )( )dx tAx tf tdt00( )x tx000()()0( )