概率论与数理统计公式大全

1、第1章 随机事件及其概率1排列组合 2关系运算A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) ，3几何概型v （1）S是直线上的某个线段,长度为l(S),A是S的一个子集，则落在A中的概率为：P(A)=l(A)/l(S)。v （2）S是平面上的某个区域,面积为u(S), 则落在A中的概率为：P(A)=u(A)/u(S)。v （3）S是空间上的某个立体,体积为v(S), 则落在A中的概率为：P(A)=v(A)/v(S)。 甲乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻

2、到达，试计算二人能够会面的概率。根据题意，这是一个几何概型问题，于是解：4加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)5减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=时，P()=1- P(B)6条件概率事件B在事件A发生条件下发生的条件概率为 。7乘法公式 P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) P(AB)08独立性两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立，且，则有若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互

3、独立. 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。9伯努利概型概率P(A)=p , 发P()=1-p=q，用表示重伯努利试验中出现次的概率，。 第二章 随机变量及其分布1离散型随机变量 P(X=xk)=pk，k=1,2,， （1）， （2）2连续型随机变量概率密度 (1) ;(2) 。3分布函数 1 ； 2、单调不减性：若x1x2, 则F(x1)F(x2)； 3 ， ； 4 右连

4、续性： 对于离散型随机变量，； 对于连续型随机变量， 二项分布， 当时，就是（0-1）分布：P(X=1)=p, P(X=0)=q泊松分布或者P()：，泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布，其中p0，q=1-p。(k次试验，前k-1次失败，第k次成功)随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布 axb axbXU(a，b)： 其他，0， xb。当ax1x2b时，X落在区间（）内的概率为。指数分布 , 0, , , x2)二维随机变量的数字特征期望 函数的期望方差协方差cov(X,Y)=E(X

5、Y)-E(X)E(Y).， D（X）= cov(X,Y)= ; D（Y）=。Cov (X, Y)=cov (Y, X) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)X与Y的相关系数(标准协方差):=X的标准化变量:即“随机变量与期望之差除以均方差”若记则E(X*)=0， D(X*)=1|1，当|=1时，称X与Y完全相关：1. 若随机变量X与Y相互独立，则；反之不真。2. 若（X，Y）N（），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。完全相关而当时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的： cov(X,Y)=0 E(XY)=E(X

6、)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y).矩1、A =E(X )为X的k阶原点矩（k阶矩）(k=1,2,)，数学期望E(X)即为X的一阶原点矩；2、B =EX-E(X) 为X的k阶中心矩(k=1,2,)，方差D(X)即为X的二阶中心矩。3、=E(X Y )为X、Y的k+l阶混合原点矩(k,l=1,2)。4、为随机变量的k+l阶混合中心矩(k,l=1,2,)。协方差矩阵CC=(C ) =第五章 大数定律和中心极限定理大数定律切比雪夫若X1，X2，具有相同的数学期望E（XI）=，则伯努利当试验次数n很大时，事件A发生的频率

7、与概率有较大判别的可能性很小辛钦中心极限定理 列维林德伯格/独立同分布的中心极限棣莫弗拉普拉斯随机变量X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：二项定理若当，则 超几何分布的极限分布为二项分布。泊松定理若当，则 其中k=0，1，2，n，。第六章 样本及抽样分布数理统计的基本概念所研究的对象的全体称为总体,总体的每一个基本单位称为个体.设总体X的分布为F(x)，则样本(X1,X2,Xn)的联合分布为从总体X中抽出若干个个体称为样本，一般记为(X1,X2,Xn)。n称为样本容量。当总体X是离散型时，其分布律为样本的联合分布律为当总体X是连续型时， Xf(x)，则样本的联合密度

8、为（）为样本函数，其中为一个连续函数。若中不包含未知参数，则（）为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值 样本方差 样本标准差样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 ，,其中为二阶中心矩。正态分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数t分布 定义 若XN(0, 1)，Yc2(n)，X与Y独立，则t(n)称为自由度为n的t分布。p3、(1) t分布表构成(P296)： Pt(n)=p(2) Pt(n) tp(n)=p，tp(n)为水平p的上侧分位数(1) f(t)关于t=0(纵轴)对称；(2) f(t)的极限为N(0,1)的密度函数，即 =。样本函数 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。设n个相

9、互独立的 X1,X2,Xn，XiN(0,1)，则 称为自由度为n的c2分布。（1）求解：(2) c2分布的可加性X1,X2 相互独立，则X1+X2 c2(n1+n2)p(1)构成 Pc2(n)=p，已知n,p可查表(P298)求得;水平为的上侧分位数分位点(2)。样本函数其中表示自由度为n-1的分布。F分布 若Xc2(n1)，Yc2(n2) ，X,Y独立，则 称为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F分布，其概率密度为F分布表(P294)及有关计算(1)构成：PF(n1,n2)=p(2)有关计算PF(n1,n2)=p =Fp(n1,n2)性质：样本函数 其中表示第一自由度为，第二自由度为的F

10、分布。正态总体的抽样分布定理4、(双正态总体的抽样分布)设(X1,X2,Xn1)是N(1,12)的样本，(Y1,Y2,Yn2)是N(2,22)的样本，且相互独立，S12，S22是样本方差，则(1)(2) 称为混合样本方差。1.若 则2.设(X1,X2,Xn)是正态总体N(,2)的样本，则(1)与S2独立(2)(3) 3.设(X1,X2,Xn)是正态总体N(,2)的样本，则第七章 参数估计（1）点估计(用某个函数值作为总体未知函数的估计值)矩估计极大似然估计样本的k阶原点矩为 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有样本的似然函数,简记为Ln. 为样本的

11、似然函数。最大似然估计量。 估计量的评选标准无偏性若E （）=，则称 为的无偏估计量。 E（）=E（X）， E（S2）=D（X）有效性若，则称有效。一致性设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有 则称为的一致估计量（或相合估计量）。若为的无偏估计，且则为的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。区间估计(对未知参数给出一个范围，并给出在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数的真值)置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出发，找出两个统计量与，使得区间以的概率包含这个待估参数，即那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度（或置信水平）。单正态总体的期望和方差的区间估计设为总体的一个样本，在置信度为下，我们来确定的置信区间。具体步骤如下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度，查表找分位数；（iii）导出置信区间。已知方差，估计均值（i）选择样本函数(ii) 查表找分位数（iii）导出置信区间未知方差，估计均值（i）选择样本函数(ii)查表找分位数（iii）导出置信区间方差的区间估计（i）选择样本函数（ii）查表找分位数（iii）导出的置信区间第八章 假设检验基本步骤1）提出零假设H0（2）选择统计量K