用导数求切线方程的四种类型

1、用导数求切线方程的四种类型浙江曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为下面例析四种常见的类型及解法类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可例1曲线在点处的切线方程为（）解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决例2与直线的平行的抛物线的切线方程是（）解：设为切点，则切点的斜率为由此得到切点故切

2、线方程为，即，故选评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法例3求过曲线上的点的切线方程解：设想为切点，则切线的斜率为切线方程为又知切线过点，把它代入上述方程，得解得，或故所求切线方程为，或，即，或评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解例4求过点且与曲线相切的

3、直线方程解：设为切点，则切线的斜率为切线方程为，即又已知切线过点，把它代入上述方程，得解得，即评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例5已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程解：曲线方程为，点不在曲线上设切点为，则点的坐标满足因，故切线的方程为点在切线上，则有化简得，解得所以，切点为，切线方程为评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点2、求圆锥曲线的切线在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。例如，圆的切线定义为与圆只有一个交点的直线，但把这一定义用

4、到其他曲线上就不行了。如直线与抛物线只有一个交点，是的切线，但与抛物线也只有一个交点，但却不是的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并不能用于所有曲线。而学了微积分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定义了。切线的定义：设是曲线上一定点，是该曲线上的一动点，从而有割线，令沿着曲线无限趋近于，则割线的极限位置就是曲线在的切线（如果极限存在的话）。这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的（用于讨论圆的切线时），用这一定义也容易证明是的切线，而不是的切线，这一切线定义可用于任何曲线。导数的几何意义就是曲线在点的切线斜率。故运用上述切线的一般定义和结论，可以处理与切线有关的许多问题。例6求曲线在时的

5、切线方程。解：当时，又当时，当时，所求的切线方程为：即反思：由此可见，用微积分法解此类问题是多么的简单容易，可是在初等数学中，曲线的切线定义都难得给出，更别说讨论与的切线有关的问题了。例7已知函数在处取得极值，过点作曲线的切线，求此切线方程。解：由例4，曲线方程为，点不在曲线上。设切点为则点的坐标满足，由于，故切线的方程为.注意到点在切线上,有化简得,解得.因此,切点为,切线方程为.要点：1.导数是如何定义2.如何求曲线在点处的切线方程与法线方程。第三章导数与微分§3.1导数的概念由于机器制造，远洋航海，天象观测等大量实际问题给数学家提出了许多课题。其中求曲边梯形面积的研究导致了积分

6、学的产生，而求变速运动的瞬时速度，求曲线上一点的切线，求函数的极大值和极小值等问题的研究导致了微分学的产生。历史上，Newton从瞬时速度出发，Leibniz从曲线的切线出发，分别给出导数的概念，并明确给出计算导数的步骤，而且建立了有关积分与微分是互为逆运算的完整理论。一.导数的概念1. 平均变化率设在点处自变量改变，函数相应地改变,则平均变化率是.图3.1不难看出，平均变化率的几何解释是连续曲线上两点的割线的斜率(如何？)2.瞬时变化率当物体做变速直线运动时，它的速度随时间而确定，此时平均变化率表示时刻从到这一段时间内的平均速度，若设路程是时间的函数，则，当很小时，可以用近似地表示物体在时刻

7、的速度，愈小，近似的程度就愈好。当时，如果极限存在，则称此极限为物体在时刻的瞬时速度，即.例1.已知自由落体的运动方程为.求（1）：落体从到这段时间内的平均速度.（2）：落体在时的瞬时速度。解（1），.平均速度.（2）：落体在时的瞬时速度。瞬时速度.3.切线的斜率设有一连续函数，则平均变化率是指曲线上的两点的割线的斜率。即割线的斜率是.当时,显然,割线越来越趋于曲线在点处的切线.即切线是割线的极限位置，平均变化率的极限值（如果存在）则是曲线在点的切线的斜率。图3.2例2求曲线在点处的切线斜率和切线方程.解：先计算从点到邻近任意点的平均变化率.故曲线在点处的切线斜率应为=3.而过点的切线方程为.

8、即.思考题如果上题中改为求过点的切线，此时要验证点是否在曲线上。然后求出切点（，再用点斜式求出切线方程，此时个能有左、右两条切线。对一般曲线，既使点在曲线上，如果求在点处的切线，则切线可能有1条、2条、3条。由上面的例题可以看出，平均变化率的极限可以给出不同的解释。一个是作为变速直线运动在某一时刻的瞬时速度，一个是看作曲线上某一点的切线的斜率。其实这个量或（其中）在各个不同领域中可以有许多不同的解释。数学上给它一个特殊的名称，叫做函数在点处的导数。4.导数的定义定义设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量()时，函数取得相应的改变量.如果当时，改变量的比的极限存在，即存在，则称此

9、极限值为函数在点处的导数（或叫微商）。记作,或是从到的平均变化率，而则称函数在点处的变化率。可见导数是函数在一点处的局部性质。如果在点处有导数，则称在点处可导，否则称在点处不可导。如果在某区间内每一点都可导，则称在内可导.设在内可导，则对于区间内每一点都对应一个导数值，因此就定义了内的一个新函数，称为导函数，简称为导数，记作,利用导数的符号，瞬时速度就是路程对时间的导数，即.而曲线在点处的切线斜率应为.而过点（的切线方程应为.当是或（此时极限不存在，故导数不存在）在几何上则表示曲线在点处有一条垂直的切线。（所以“曲线函数在此点的导数不存在,则曲线在此点就没有切线”的说法是错误的）。例3求线性函

10、数的导数。解求导数的步骤是：（1） 计算函数的相应的改变量=.（2） 计算改变量的比值（3） 求极限.即.例4求的导数。解，.即例5求的导数，并算出.解,（型）.即因此.前面所采用的导数定义是如下形式.但有时为方便，也可以换一种形式：若记，则有.另外一种形式是：若令，即，则有.以下要点1.左导数，右导数2.分段点处导数要用定义求例6用定义讨论函数在点处的连续性与可导性。解，故知在处连续。因为在点处函数的改变量.（不存在，上下振荡）。所以在处不可导。此例说明在处连续未必可导。*思考题讨论在点处（1）连续；（2）可导；（3）连续。（答例设，求.解其中，而.5.左，右导数的概念定义设函数在的某邻域内

11、有定义，如果存在，则称此极限值为函数在点处的左导数。记作.如果存在，则称此极限值为函数在点处的右导数。记作由极限的性质可知，当且仅当在点处的左导数，右导数都存在且相等时，函数在该点才是可导的。所以函数在上可导，是指在开区间内处处可导，且存在与.在求分段函数在分段点处的导数时，就需要研究分段点处的左，右导数。例8.设，求.解（去掉绝对值符号）,是分段点。（已讲过，复习）令，则.同理.故不存在，因此在处不可导。例9.讨论函数在处的连续性与可导性。解连续性：.图3.3.在处连续。可导性：，故在处不可导。此例再一次说明函数在某点连续，未必在该点可导。6.可导必连续定理如果在点处可导，则它在该点必连续。

12、证在点可导，=.由，可知即在点处连续。根据此定理，如果已经判断出函数在某一点不连续，则立即可以得出函数在该点不可导的结论。例10.讨论函数在分段点及处的连续性与可导性。解（1）在点处.不存在；故在不连续，从而在处也不可导。（2）在点处.且.因此在处连续。进一步研究在处的可导性，因为是分段点，所以要考虑.故在处可导，且.(3) 在点的连续性：.而.，故在点是连续的。再讨论可导性：.，故不存在，即在处不可导。由上可知，在讨论分段点的连续性和可导性时，一般来说，都要先考虑其左，右极限和左，右导数。附加例题设和是常数，定义求，其中.本周作业：p.112.2(1,3),3,5(2,6,7);6(3,4,

13、6,7,8,10,11,12,14,23,)（2）书p.96定理。（3）“数学之美”改在11月3日(周5)下午4点，于（东校门内）综合实验楼一楼报告厅。两个例题：*例设在上有定义，在上若都有，其中为常数.（1）写出在内的表达式；（2）问在处可导。解（1）当即时，（2）由题设知故在处可导，且*例内可导，且满足求，求解设则因为故.由已知条件得，因此即解出(?)由得故Weierstrass曾举一例：其中.处处连续处处不可导。导数【本章学习目标】本章章头图是由一幅超级市场饮料货架的照片和一幅圆柱形图象组成与图相配，引言给出了一个实际问题：当圆柱形金属罐的容积一定时，怎样选取圆柱形罐的尺寸，能使所用材料

14、最省?这可以归纳为求一个函数的最大(小)值的问题在日常生活、生产和科研中，类似的问题大量存在，一般来说，这些问题是可以用初等方法来解决的，但更有效、更简洁的工具还是微积分另外利用微积分还可以解决曲线的切线问题，物体运动的瞬时速度及方向等问题本章主要内容有：(1)导数的概念(2)几种常见函数的导数(3)函数的和、差、积、商的导数(4)复合函数的导数(5)对数函数与指数函数的导数(6)微分的概念与运算(7)函数的单调性(8)函数的极值以及函数的最大值与最小值本章的重点是：1导数的概念及导数的几何意义2常见函数的导数公式3导数的应用本章的难点是：1导数概念的理解2利用导数判别可导函数的极值的方法及求

15、一些实际问题的最大值与最小值【基础知识导引】1了解曲线的切线的概念2在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念3了解导数的概念，并能利用导数定义求导数4了解导数的几何意义【教材内容全解】1曲线的切线在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的如图31中的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sinx直线与曲线C有惟一公共点M，但我们不能说直线与曲线C相切；而直线尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线是

16、曲线C在点N处的切线因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义所以课本P110利用割线的极限位置来定义了曲线的切线2瞬时速度在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度3导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)x是自变量x在处的增

17、量(或改变量)(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果x0时，有极限，那么函数y=f(x)在点处可导或可微，才能得到f(x)在点处的导数(3)如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续(由连续函数定义可知)反之不一定成立例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数。4导数的几何意义函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率由此，可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=

18、f(x)在点处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为特别地，如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为【难题巧解点拨】例1已知f(x)在x=a处可导，且f(a)=b，求下列极限：（1）；（2）分析在导数定义中，增量x的形式是多种多样，但不论x选择哪种形式，y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。解（1）（2）点拨只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。例2（1）求函数在x=1处的导

19、数；（2）求函数（a、b为常数）的导数。分析根据导数的定义求函数的导数，是求导数的基本方法。解（1），。（2），。y=2x+a点拨应熟练掌握依据导数的定义求函数的导数的三个步骤。例3已知抛物线与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为和。（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线与的夹角。分析理解导数的几何意义是解决本例的关键。解（1）由方程组解得A(-2，0)，B(3，5)（2）由y=2x，则，。设两直线的夹角为，根据两直线的夹角公式，所以点拨本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。例4证明：如果函数y=f(x)在点处可导，那

20、么函数y=f(x)在点处连续。分析从已知和要证明的问题中去寻找转化的方法和策略，要证明f(x)在点处连续，必须证明，由于函数f(x)在点处可导，因此根据函数在点处可导的定义，逐步实现这个转化。已知：求证：证明：考虑，令，则，等价于x0，于是函数f(x)在点处连续。点拨函数f(x)在点处连续、有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在连续有极限。反之则不一定成立，例如y=|x|在点x=0处有极限且连续，但导数不存在。【课本习题解答】练习（P111）1（1）切线的斜率为4；（2）切线方程为y=4x-2。2切线方程为y=-4x-3。练习（P113）1瞬时速度为10m/s（比较略）。2瞬时速度为8

21、m/s（比较略）。练习（P116）1162。3切线方程y=4x-2。4切线方程为。习题31(P116)1速度为210m/s2速度为2.8m/s3y=2x-2，4,5(1)；(2)。6切线方程为y=6x+1及y=2x+17切线方程为y=8x-108切线方程为y=-x+69切线方程为y=15x+16【同步达纲练习】一、选择题1设函数f(x)在处可导，则等于（）ABCD2若，则等于（）ABC3D23若函数f(x)的导数为f(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4）处的切线的倾斜角为（）A90°B0°C锐角D钝角4一直线运动的物体，从时间t到t+t时，物体的位移为s，那么为（

22、）A从时间t到t+t时，物体的平均速度B时间t时该物体的瞬时速度C当时间为t时该物体的速度D从时间t到t+t时位移的平均变化率5对任意x，有，f(1)=-1，则此函数为（）ABCD6设f(x)在处可导，下列式子中与相等的是（）（1）；（2）；（3）（4）。A（1）（2）B（1）（3）C（2）（3）D（1）（2）（3）（4）二、填空题7若函数f(x)在点处的导数存在，则它所对应的曲线在点处的切线方程是_。8已知曲线，则_。9设，则_。10在抛物线上依次取两点，它们的横坐标分别为，若抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行，则P点的坐标为_。三、解答题11曲线在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在A

23、点处的切线方程。12在抛物线上求一点P，使过点P的切线和直线3x-y+1=0的夹角为。13判断函数在x=0处是否可导。14求经过点（2，0）且与曲线相切的直线方程。参考答案【同步达纲练习】一、选择题1C2B3C4B5B6B二、填空题7。8。9-6。10（2，4）。三、解答题11由导数定义求得，令，则x=±1。当x=1时，切点为（1，1），所以该曲线在（1，1）处的切线方程为y-1=3(x-1)即3x-y-2=0；当x=-1时，则切点坐标为（-1，-1），所以该曲线在（-1，-1）处的切线方程为y+1=3(x+1)即3x-y+2=0。12由导数定义得f(x)=2x，设曲线上P点的坐标为

24、，则该点处切线的斜率为，根据夹角公式有解得或，由，得；由，得；则P（-1，1）或。13，不存在。函数f(x)在x=0处不可导。14可以验证点（2，0）不在曲线上，故设切点为。由，得所求直线方程为。由点（2，0）在直线上，得，再由在曲线上，得，联立可解得，。所求直线方程为x+y-2=0。导数应用的题型与方法一复习目标：1了解导数的概念，能利用导数定义求导数掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念了解曲线的切线的概念在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念2熟记基本导数公式（c,x(m为有理数)，sinx,cosx,e,a,lnx,logx的导数）。掌握两个函数四则运算的求导

25、法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用3了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。4了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。二考试要求：了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。熟记基本导数公式（c,x(m为有理数)，sinx,cosx,

26、e,a,lnx,logx的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。三教学过程：（）基础知识详析导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的

27、导数问题属于较难类型。2关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。3导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。4曲线的切线在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的如图31中的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sinx直线与曲线C有惟一公共点M，但我们不能说直线与曲线C相切；而直线尽管与曲线C有不止一个公共

28、点，我们还是说直线是曲线C在点N处的切线因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线5瞬时速度在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度6导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)x是自变

29、量x在处的增量(或改变量)(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果x0时，有极限，那么函数y=f(x)在点处可导或可微，才能得到f(x)在点处的导数(3)如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续(由连续函数定义可知)反之不一定成立例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数。7导数的几何意义函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率由此，可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点处的导数

30、，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为特别地，如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为8和（或差）的导数对于函数的导数，如何求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。我们不难发现，即两函数和的导数等于这两函数的导数的和。由此我们猜测在一般情况下结论成立。事实上教材中证明了我们的猜想，这就是两个函数的和（或差）的求导法则。9积的导数两个函数的积的求导法则的证明是本节的一个难点，证明过程中变形的关键是依据导数定义的结构形式。（具体过程见课本P120）说明：（1）；（2）若c为常数，则(cu)=cu。10

31、商的导数两个函数的商的求导法则，课本中未加证明，只要求记住并能运用就可以。现补充证明如下：设因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是x0时，v(x+x)v(x)，从而即。说明：（1）；（2）学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。11.导数与函数的单调性的关系与为增函数的关系。能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，是为增函数的充分不必要条件。时，与为增函数的关系。若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。当时，是为

32、增函数的充分必要条件。与为增函数的关系。为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。单调区间的求解过程，已知（1）分析的定义域；（2）求导数（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间我们在应用导数判断函数的单

33、调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。（1）恒成立为上对任意不等式恒成立（2）恒成立在上对任意不等式恒成立注意事项1导数概念的理解2利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了

34、证明。对于复合函数，以前我们只是见过，没有专门定义和介绍过它，课本中以描述性的方式对复合函数加以直观定义，使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识，再结合以后的例题、习题就可以逐步了解复合函数的概念。3要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。4求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。也

35、就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f()，=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解求导回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。（）范例分析例1在处可导，则思路：在处可导，必连续例2已知f(x)在x=a处可导，且f(a)=b，求下列极限：（1）；（2）分析：在导数定义中，增量x的形式是多种多样，但不论x选择哪种形式，y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。解：（1）（2）说明：只有深刻

36、理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。例3观察，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若为偶函数令可导的偶函数的导函数是奇函数另证：可导的偶函数的导函数是奇函数例4（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度。分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。解：（1），即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1（2）。例5

37、求下列函数单调区间（1）（2）（3）（4）解：（1）时，（2），（3），（4）定义域为例6求证下列不等式（1）（2）（3）证：（1）为上恒成立在上恒成立（2）原式令（3）令例7利用导数求和：（1）；（2）。分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。解：（1）当x=1时，；当x1时，两边都是关于x的函数，求导得即（2），两边都是关于x的函数，求导得。令x=1得，即。例8求满足条件的（1）使为上增函数（2）使为上（3）使为上解：（1）时也成立（2）时也成立（3）例9（1）求证（2）求证

38、（1）证：令原不等式令令（2）令上式也成立将各式相加即例10设，求函数的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.解：.当时.（i）当时，对所有，有.即，此时在内单调递增.（ii）当时，对，有，即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增（iii）当时，令，即.解得.因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增.令，解得.因此，函数在区间内单调递减.说明：本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间，只有用导数才行，这是教材新增的内容。其理论依据如下（人教版试验本第三册P148）：设函数在某个区间内可

39、导，如果，则为增函数；如果，则为减函数。如果，则为常数。例11已知抛物线与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为和。（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线与的夹角。分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。解（1）由方程组解得A(-2，0)，B(3，5)（2）由y=2x，则，。设两直线的夹角为，根据两直线的夹角公式，所以说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。例12设，是上的偶函数。（I）求的值；（II）证明在上是增函数。解：（I）依题意，对一切有，即，对一切成立，由此得到，又，。（II）证明：由，得，当时，有，此时

40、。在上是增函数。例13设函数，其中。（I）解不等式；（II）证明：当时，函数在区间上是单调函数。解1：（I）分类讨论解无理不等式（略）。（II）作差比较（略）。解2：（i）当时，有，此时，函数在区间上是单调递减函数。但，因此，当且仅当时，。（ii）当时，解不等式，得，在区间上是单调递减函数。解方程，得或，当且仅当时，综上，（I）当时，所给不等式的解集为：；当时，所给不等式的解集为：。（II）当且仅当时，函数在区间上时单调函数。例14已知，函数设，记曲线在点处的切线为。（）求的方程；（）设与轴的交点为，证明：若，则解：（1）的导数，由此得切线的方程，（2）依题得，切线方程中令，得，其中，（）由，

41、有，及，当且仅当时，。（）当时，因此，且由（），所以。例15已知为正整数.（）设；（）设分析：本题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力。证明：（）因为，所以（）对函数求导数:即对任意（）、强化训练1设函数f(x)在处可导，则等于（）ABCD2若，则等于（）ABC3D23曲线上切线平行于x轴的点的坐标是（）A（-1，2）B（1，-2）C（1，2）D（-1，2）或（1，-2）4若函数f(x)的导数为f(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4）处的切线的倾斜角为（）A90°B0°C锐角D钝角5函数在0，3上的最大值、最小值分别是（）A5，15

42、B5，4C4，15D5，166一直线运动的物体，从时间t到t+t时，物体的位移为s，那么为（）A从时间t到t+t时，物体的平均速度B时间t时该物体的瞬时速度C当时间为t时该物体的速度D从时间t到t+t时位移的平均变化率7关于函数，下列说法不正确的是（）A在区间（，0）内，为增函数B在区间（0，2）内，为减函数C在区间（2，）内，为增函数D在区间（，0）内，为增函数8对任意x，有，f(1)=-1，则此函数为（）ABCD9函数y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值与最小值分别是（）A.5,-15B.5,4 C.-4,-15D.5,-1610设f(x)在处可导，下列式子中与相等的是（）（1

43、）；（2）；（3）（4）。A（1）（2）B（1）（3）C（2）（3）D（1）（2）（3）（4）11f()是定义在区间c,c上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下列关于函数g（）的叙述正确的是（）A若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称.B若a=1，2<b<0,则方程g（）=0有大于2的实根.C若a0,b=2,则方程g（）=0有两个实根.D若a1,b<2,则方程g（）=0有三个实根.12若函数f(x)在点处的导数存在，则它所对应的曲线在点处的切线方程是_。13设，则它与x轴交点处的切线的方程为_。14设，则_。15垂直于直线2x-6y+1=0，且与曲线

44、相切的直线的方程是_?16已知曲线，则_。17y=x2ex的单调递增区间是18曲线在点处的切线方程为_。19P是抛物线上的点，若过点P的切线方程与直线垂直，则过P点处的切线方程是_。20在抛物线上依次取两点，它们的横坐标分别为，若抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行，则P点的坐标为_。21曲线在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在A点处的切线方程。22在抛物线上求一点P，使过点P的切线和直线3x-y+1=0的夹角为。23判断函数在x=0处是否可导。24求经过点（2，0）且与曲线相切的直线方程。25求曲线y=xcosx在处的切线方程。26已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+

45、d.若f(2x+1)=4g(x)，且f'x=g'(x)，f(5)=30，求g(4).27已知曲线与。直线l与、都相切，求直线l的方程。28设f(x)=(x-1)(x-2)(x-100)，求f(1)。29求曲线在点处的切线方程。30求证方程在区间内有且仅有一个实根31、均为正数且求证：32（1）求函数在x=1处的导数；（2）求函数（a、b为常数）的导数。33证明：如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续。34已知函数，设，记曲线在点处的切线为。（）求的方程；（）设与轴的交点为，证明：；若，则。（）、参考答案15CBDCA；610BDBAB；11B1213y=

46、2(x-1)或y=2(x+1)14-6153x+y+6=01617(-,-2)与(0,+)18192x-y-1=020（2，4）21由导数定义求得，令，则x=±1。当x=1时，切点为（1，1），所以该曲线在（1，1）处的切线方程为y-1=3(x-1)即3x-y-2=0；当x=-1时，则切点坐标为（-1，-1），所以该曲线在（-1，-1）处的切线方程为y+1=3(x+1)即3x-y+2=0。22由导数定义得f(x)=2x，设曲线上P点的坐标为，则该点处切线的斜率为，根据夹角公式有解得或，由，得；由，得；则P（-1，1）或。23，不存在。函数f(x)在x=0处不可导。24可以验证点（2，

47、0）不在曲线上，故设切点为。由，得所求直线方程为。由点（2，0）在直线上，得，再由在曲线上，得，联立可解得，。所求直线方程为x+y-2=0。25Y=x'cosx+x·(cosx)'=cosx-xsinx，切点为，切线方程为：即。26解：由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d)=2x+a=2x+ca=c又知52+5a+b=305a+b=5由知a=c=2.依次代入、知b=5，d=g(4)=42+2×4=2327解：设l与相切于点，与相切于。对，则与相切于点P的切线方程为，即。对，则与相切于点Q的切线方程为，即。两切线重合，解得或，直线方程为

48、y=0或y=4x-4。28解：令x=1得29解：，则。切线方程为即5x+32y-7=0。30解：在在内与轴有且仅有一个交点方程在内仅有一解31证：由对称性不妨设（1）若显然成立（2）若设时32分析：根据导数的定义求函数的导数，是求导数的基本方法。解（1），。（2），。y=2x+a说明应熟练掌握依据导数的定义求函数的导数的三个步骤。33分析：从已知和要证明的问题中去寻找转化的方法和策略，要证明f(x)在点处连续，必须证明，由于函数f(x)在点处可导，因此根据函数在点处可导的定义，逐步实现这个转化。已知：求证：证明：考虑，令，则，等价于x0，于是函数f(x)在点处连续。说明：函数f(x)在点处连续

49、、有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在连续有极限。反之则不一定成立，例如y=|x|在点x=0处有极限且连续，但导数不存在。34解：（1）的导数，由此得切线的方程，（2）依题意，在切线方程中令，得，（），当且仅当时取等成立。（）若，则，且由（），所以。谈导数应用内容摘要：导数进入高中数学，为中学数学问题的解决注入了新的活力，为数学解题提供了有力的工具，突出表现在解决函数、几何等问题时，不但避开了初等函数变形的难点，而且使解法程序化。变“巧法”为“通法”。事实上，导数在中学数学各类问题中都有着广泛的应用。内容摘要：导数函数几何不等式一 利用导数求曲线在某一点处的切线方程。例1求曲线在点处

50、的切线方程。解：,所求切线方程为,即。注意：利用导数求曲线在某点的切线方程，一般是该曲线方程可写成函数形式且该函数可导，从而利用导数几何意义求解。利用导数研究函数的性态。例2（北京卷）已知函数。（）求的单调递减区间；（）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。解（），令0，解得或，所以函数得单调递减区间为,。（）因为=所以，因为在上0，所以在上单调递增，又由于在上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值，于是有解得。故，因此，即函数在上的最小值为。例3已知,讨论函数的极值点的个数。解：，令，得(1)当。即或时，方程有两个不同得实根，不妨设，于是从而有下表：即此时有两个极值点。为

51、极大值为极大值（2）当即或时，方程有两个相同的实根于是故当时，；当时，因此无极值。（3）当即时，故为增函数，此时无极值，因此当或时，有2个极值点，当时，无极值点。评注函数的性态包括函数的单调性、函数的极值点和函数的最值情况等，利用导数研究函数的性态时导数最重要也是最广泛的应用。导数的引入一方面扩大了研究范围，比如由单一的多项式函数扩展到与分式、对数、指数、三角有关的函数。另一方面它不仅避开了初等函数变形的难点，而且使解法程序化。三、利用导数研究函数图象与图象交点个数问题，方程根的分布问题。例4设函数，关于的方程在区间上恰有2个相异实根，求实数的取值范围。解：设，则。当时，；当时，。所以在上递增，在上递减。又在上有2个相异实根，所以。例5已知函数，。是否存在实数m，使得的图象和的图象有且只有三个不同点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由。解：函数的图象和的图象有且只有三个不同的交点，。函数的