轮胎模型20100312

1、第一章 轮胎模型目录1.1 轮胎侧偏特性介绍11.2 轮胎纵滑与侧滑下的简化理论模型1轮胎坐标系11.2.2 理论模型推导21.2.2.1 接地印迹不存在滑移的情况41.2.2.2 接地印迹存在滑移的情况61.2.2.3 两种特殊载荷分布函数下的轮胎模型91.3 轮胎侧偏特性的半经验模型12“统一模型”(Unitire Model)13“魔术模型”（Magic Formula Tire Model）141.4 轮胎的“环模型”16坐标系、位移和应变171.4.1.1 坐标系的建立171.4.1.2 任意点的位移181.4.1.3 应变位移关系19动力学方程221.4.2.1 哈密尔顿原理221

2、.4.2.2 轮辋轮胎系统的动能231.4.2.3 非保守力做的功24保守力做的功261.4.2.5 环模型的动力学模型281.4.2.6 复习复合函数的变分291.5 基于环模型的“swift模型”30第一章 轮胎模型简单说明轮胎分析对车辆动力学特性研究中的作用1.1 轮胎侧偏特性介绍（引入为何要介绍复杂的轮胎模型）1、 先介绍为何轮胎在车辆动力学特性分析中的重要作用车辆受到的外力，除了空气阻力和重力外，其它的力都通过轮胎作用于车辆，因此轮胎的特性，很大程度上影响着外力对车辆的作用结果，轮胎好比人脚上所穿的鞋，鞋的特性影响着人的行走效果，例如，不能在该穿跑步鞋的时候穿拖鞋。2、本科阶段所学的

3、知识太过简化，没能反应出真实特性。1.2 轮胎纵滑与侧滑下的简化理论模型轮胎坐标系 1、车轮平面，左边的图给出了车轮平面，即垂直于车轮旋转轴的轮胎中分平面；2、X轴，车轮平面与地面的交线，沿车辆前进方向为正向；3、坐标原点O，X轴与车轮旋转轴线在地面投影线的交点。4、Z轴，过O点的垂线，向上为正；5、Y轴，过O点，垂直于XOZ的线，方向与X、Z轴服从右手螺旋定则。6、侧偏角，轮胎运动方向与X轴的交角；7、车轮外倾角，车轮平面与XOZ平面的交角； 理论模型推导轮胎的简化物理模型如图1所示。假设胎体只能发生y方向的平移弹性变形，而绕z轴的转角与沿x轴的位移均可忽略不计。 图1（a）轮胎的物理模型

4、图1（b）轮胎接地印迹为方便推导，将轮胎接地印迹图的坐标变化成如下：图2 新坐标下的轮胎接地印迹图中，为地面相对轮胎的速度，其方向与车辆的行驶方向相反。当车辆往前行驶时，接地印迹上的A点，将依次经过B、C，然后退出接地区。在制动（或驱动）与侧偏联合工况下，轮胎印迹的变形如图2所示。在没有侧偏时印迹中心线与OX轴重合。当轮胎产生侧偏时，地面相对于轮胎的运动速度v与轮胎的旋转平面ox成一个侧偏角，印迹中心线如ABC所示。AB为附着区，BC为滑移区。整个印迹长度为2a。胎体在侧向力作用下，产生平移变形： （1.2.1）其中，为胎体的侧移刚度。胎面上的一点从A点开始与地面接触，经时间t后，滚动到达P点

5、。这时，轮胎旋转平面上的对应点，由O点转动到X点。其坐标为： （1.2.2）其中，轮胎旋转角速度；轮胎滚动半径。 为了计算印迹上的力与力矩，必须先计算印迹上各点的各向剪应力与，而求剪应力则又必须先确定胎面层上的接触印迹内各点的变形。1）胎面层上接触区的变形 （1.2.3）式中，为车轮的运动半径。定义制动滑移率与驱动滑移率为：推导得： （1.2.4）为了统一制动与驱动的表达式，这里定义纵向滑移率与侧向滑移率如下（与的定义域为）：于是： （1.2.5）可以看出，与一般文献上定义的滑移率的大小相等，但符号相反。2）胎面层上接触区的剪应力设胎面材料的x、y方向的刚度分别为常数与，则附着区内P点的相应剪

6、应力为 （1.2.6）1.2.2.1 接地印迹不存在滑移的情况注意：所谓接地印迹处没有出现滑移，即表示印迹处的侧向应力侧向附着力。如果胎面接地印迹区内无滑移，则式（1.2.6）对整个印迹范围都适用，合成剪应力为： （1.2.7）其方向可按下式确定：可见，在一定的、状态下合成应力的大小与x成正比，其方向与x无关。x、y方向的切力、可按下式求得：其中：，、分别定义为纵滑刚度和侧滑刚度。总切向力F的大小为： （1.2.8）其方向同样可表示为：这里定义：无量纲纵向力 无量纲侧向力 无量纲总切向力 （1.2.9）相对纵滑率 相对侧滑率 相对总滑移率 其中，轮胎垂直载荷，轮胎与路面之间的摩擦系数所以可得到

7、各切向力的无量纲表达式如下： （1.2.10）考虑到：，则x、y向的切向力和总切向力为：定义无量纲的相对剪应力，无量纲坐标为，则在无滑移条件下，有： （1.2.11）与： （1.2.12）回正力矩可根据印迹上的剪应力与求得： （1.2.13）其中定义：为纵向拖距，为横向拖距。上式两边除以，则得到无量纲回正力矩表达式为： （1.2.14）其中：1.2.2.2 接地印迹存在滑移的情况当接地印迹出现滑移时，根据滑移出现的力学条件可得滑移区内的合成应力表达式。设垂直载荷分布形式的无量纲函数为，则垂直载荷的一般形式为 （1.2.15）设起滑点B的坐标为，对应的无量纲值为，则由变形及刚度特性决定的起滑点B

8、的总切应力为 （1.2.16）其应等于由附着条件决定的切应力 （1.2.17）联立上两式可得进而求得起滑点条件为： （1.2.18）上式中，由于x的取值区间为02a，所以的取值区间为02。在已知侧偏角以及车速V时，可求得综合相对滑移率，从而根据上式可以求得起滑点位置（或）。假定滑移区内的切向力方向与附着区内的方向服从相同规律，则接地印迹上的总切向力为 其无量纲表达式为： （1.2.19）其中：根据假设的滑移区切向力方向与附着区一致，可得： （1.2.20）回正力矩可由横向应力与纵向应力对原始印迹中心点的力矩求积得到，其表达式为：其中，为接地印迹前端点的侧向变形。无量纲表达式为 （1.2.21）

9、先考虑上式中的第一个分量两边除以，得：2）其中，为垂直载荷偏距，表达式为：2）两边除以，并结合式（1.2.20），得：3）结论：由于是的函数，且与都是的函数，因此在垂直载荷分布函数一定时，是综合相对滑移率的单变量函数，且随而单调下降的。为此，当一定时，增大可使增大，从而使下降，当3）与无滑移区情况下的表达式相同。 下面来考察的另一个分量：4）其中，为附着区内胎面的侧向变形；为滑移区内的胎面侧向变形，假设滑移区内的胎面刚度也是，则其表达式为：4）两边除以，并考虑，得：其中：两边除以，并结合式（1.2.20），得：5）当时（即代表不存在滑移区），上式与无滑移区时的表达式相同。1.2.2.3 两种特

10、殊载荷分布函数下的轮胎模型（一）均匀载荷分布均匀载荷分布时，根据式（1.2.18）可得起滑点条件:1）当时，接地印迹不存在滑移区，参看式（1.2.10）可知此时的总切向力为：同时有x、y方向的无量纲切向力：因此可得回正力矩： 其中：2）当时，接地印迹存在滑移区，参看式（1.2.19）可知此时的总切向力为： 其中：，所以同时可知：对于均布载荷，载荷重心偏至距离，同时有将上两式代入纵向与横向拖距表达式可得：因此，将上面几式代入无量纲的回正力矩表达式，即可得到无量纲的回正力矩为：（二）抛物线对称分布的载荷函数为使载荷分布函数满足力和力矩平衡条件，可取载荷分布函数为：根据式（1.2.18）可得起滑点条

11、件: 或 1）当时，接地印迹不存在滑移区，参看式（1.2.10）可知此时的总切向力为：同时有x、y方向的无量纲切向力：因此可得回正力矩： 其中：2）当时，接地印迹存在滑移区，参看式（1.2.19）可知此时的总切向力为： 其中：，所以同时可知：对于抛物线对称载荷，载荷重心偏至距离，同时有将上两式代入纵向与横向拖距表达式可得：因此，将上面几式代入无量纲的回正力矩表达式，即可得到无量纲的回正力矩为：由此可得著名的fiala轮胎模型。小结：理论模型的求解步骤：1）获得垂直载荷分布函数；2）根据侧偏角，计算综合相对滑移率；3）基于，计算起滑位置，并判断是否存在滑移区；4）计算x、y方向的切向力、；5）计

12、算沿x、y方向的轮胎拖距，并由此求出回正力矩。根据上面分析可知，轮胎侧偏特性求解关键在于获得载荷分布函数。1.3 轮胎侧偏特性的半经验模型根据前面的分析可知，利用理论模型进行轮胎特性分析的前提是已经获得了轮胎的载荷分布函数，然而由于具有很强的非线性和随机性，因此很难获得的准确表达式，其给利用理论模型进行求解带来了困难。半经验模型是在试验数据的基础上，结合理论模型，拟合出轮胎的侧偏特性模型。由理论分析可知：，而其中是的函数，因此，对于特定的轮胎，是的函数，即：在（即没有纵滑）的特殊情况下，因此有根据上面的分析可知：在的特殊情况下，通过试验数据拟合得到的表达式，也就是在的条件下无量纲总切向力与相对

13、总滑移率的表达式。另外，根据轮胎拖距、的表达式可知，、也是即的函数，因此也可通过试验进行获取。这样我们便可利用试验数据直接拟合出轮胎特性模型而不需依赖对的掌握。“统一模型”(Unitire Model)“统一模型”是我国中国工程院院士郭孔辉提出的。“统一模型”是利用指数形式，针对试验数据拟合出轮胎的稳态侧偏、纵滑及纵滑侧偏联合工况下的侧向力、纵向力以及回正力矩的指数模型。其表达式如下：其中，为曲率系数，；为纵向摩擦系数，；为纵向摩擦系数，；为相对纵向滑移率，；为相对侧向滑移率，； ，；为侧向刚度，。以上公式中出现的参数均由轮胎试验数据，利用数学方法进行参数识别获得，其过程如下：1.3.2“魔术

14、模型”（Magic Formula Tire Model）由荷兰Delft大学的Hans B.Pacejka教授提出的。“魔术模型”是以三角函数的形式来拟合轮胎试验数据，其是一个能同时表达纵向力、侧向力和回正力矩的轮胎模型，故称为“魔术”模型，其形式如下：式中，可以代表纵向力或侧向力，只是在表示不同力的时候，其相应的模型参数都要进行调整；自变量可以表示轮胎的侧偏角或纵向滑移率。公式主要参数说明：1）、分别代表原点的水平偏移量和垂直偏移量，其主要是考虑轮胎制造误差带来的影响；2）代表峰值因子，代表形状因子，将模型表达式改为：由上面第一个方程可知，所以是的峰值；为形状因子，它控制着魔术公式中正弦函

15、数的范围，因此它决定了所得曲线的形状，C值可由曲线峰值以及稳态值决定，即；可用来展宽或者收缩的范围，称为刚度因子。3）BCD代表平移刚度，B代表刚度因子系数B、C、D的乘积对应于原点处的斜率，当时，此时，所以。当和确定后，即可由与的关系式求出，即，或者，所以也被称为刚度系数。4）代表曲率因子轮胎特性曲线与原始中心对称曲线通常有较大的偏差，为了能够产生这种不对称的轮胎特性曲线而引入了曲率因子，其用来控制曲线峰值处的曲率，为峰值处的自变量。其它细节参看书Tyre and Vehicle Dynamics，2002年出版，作者Hans B. Pacejka，魔术模型就是由Pacejka教授提出的。优

16、缺点说明：此处不对统一模型和魔术模型的优缺点进行评述，由于可调参数太多，同一个模型不同的人调试出来的结果可能都不一样，因此没有最好，只有更好。但应该说明一下，由于魔术模型在商业推广上做的较好，在大型动力学仿真软件Adams中的轮胎模型使用的便是魔术模型。1.4 轮胎的“环模型”刚性环模型主要是用于分析轮胎的动态特性。轮胎横截面如上图所示，依据刚度大小可将轮胎模型简化为三个部分：1、带束层，圆形、薄的环；2、胎侧，由径向与周向弹环组成；3、轮辋，由刚性的，有质量和惯量的圆组成。抽象的环模型1.4.1坐标系、位移和应变.1 坐标系的建立这里建立两个坐标系，一个是空间固定的坐标系；另一个是旋转坐标系

17、，旋转坐标系的角速度为车轮的旋转角速度；两个坐标系的原点重合，且原点固定不动。如下图所示。坐标用于描述轮辋中心在固定坐标系中的位置；坐标用于描述轮辋中心在旋转坐标系中的位置；环上任意点到车轮中心的向量在固定坐标系中描述为，在旋转坐标系中描述为，其中，为车轮的旋转角速度。从任意点的向量长度都是可知，固定坐标系与旋转坐标系的原点重合。因此，与有关系： （1.4.1）问题：为何要引入两个坐标系？1.4.1.2 任意点的位移设A点为圆环中面上的任意点，则在轮胎运动过程中，轮胎上任意点位移可由三部分组成：1）车轮旋转运动引起的；2）车轮平移运动引起的；3）轮胎变形引起的；设旋转坐标系中，圆环中面上任意点

18、为A，经车轮平动后为，经轮胎变形后为，由于是在旋转坐标中，所以可以忽略旋转运动所带来的位移。则分别为旋转坐标系中，A点到点的径向和切向位移；设为点到点的径向和切向位移，则有如下关系： （1.4.2）因此，在旋转坐标系中，从车轮中心到变形后的点的向量为： （1.4.3）式中：为旋转坐标系中，在轮胎变形前沿径向和切向的单位向量；为车轮半径。 应变位移关系设有变形前有两个点和，的位置用极坐标表示为，的位置为，则到的距离为： （1.4.4）设变形后的点为分别为、，如下图所示：则变形后，有关系：同理，有：因为，所以另外，从上图可以看出， （1.4.5）因此有、间的距离为： （1.4.6）式中： （1.4

19、.7）将上式代入到式（1.4.6）得到： （1.4.8）式中， （1.4.9）下图为变形前后的关系图，定义三个应变：切向应变：法向应变： （1.4.10）剪应变：根据余弦定义有关系：1）对比式（1.4.81）可得到：2）2）代入到式（1.4.10）有 （1.4.12）另外，由式（1.4.5）可得到：（1.4.13）将上式代入到式（1.4.9）得到：（1.4.14）再将上式代入到式（1.4.12），并考虑到环的变形量很小，略去小项后整理得： （1.4.15）考虑到环的厚度很小，所以认为沿厚度方向的径向变形都与中面上的径向变形相等，且剪应变与切向应变相比要小很多，对其进行忽略，因此有： （1.4.

20、16） （1.4.17） （1.4.18）另外，假设切向变形量沿厚度方向成线性变化，即有关系：9）上式中，为环的横截面的旋转角；是环横截面上距离中面的长度；、是中面上的径向与切向变形；将（1.4.19）和（1.4.16）代入到（1.4.18）得， （1.4.20）为方便描述，以下将，用、代替，其已经特指是中面上的变形。将式（1.4.19）和（1.4.20）代入到式（1.4.15）的第一式中，可得：（1.4.21）最后，将式（1.4.2）代入上式中，用和代替和，消元整理后得到： （1.4.22）另外，根据几何分析，还可推导出一个结论，轮胎变形后沿径向和切向的单位向量和与变形前径向和切向的单位向量

21、的关系为： （1.4.23）1.4.2动力学方程 1.4.2.1 哈密尔顿原理动力学系统的普遍方程有：拉格朗日方程和哈密尔顿方程。对一个复杂动力学系统而言，要建模首先想到的就是要借鉴这两个方程进行建模。拉格朗日方程是哈密尔顿方程的一个特例，它少了对弹性势能（非保守系统）的描述，由于轮胎具有弹性，必须考虑弹性势能的影响，因此，这里要使用哈密尔顿方程。设为拉格朗日函数，即其中，为系统的动能，为非保守力所作的功，为保守力所作的功；定义哈密尔顿作用量：拉格朗日函数在时间到的积分哈密尔顿原理：对于完整的、有势的力学系统，在相同的时间、相同的起始和终了位置、相同的约束条件下，系统在所有可能的各种运动中，真

22、实运动使哈密尔顿作用量取极值（通常是极小值）。 （1.4.24）满足：，为广义坐标。哈密尔顿原理也可以理解为：当哈密尔顿作用量的泛函时，所确定的运动为真实运动，以此来求出动力学方程。当系统是保守系统时，此时由式（1.4.24）便可得到拉格朗日方程：根据式（1.4.24）可知，要想建立起非保守系统的动力学方程，必须先确定系统的动能、保守力所作的功以及非保守力所作的功 轮辋轮胎系统的动能1）轮胎的动能由于轮胎环厚度很小，因此假设横截面上各点的速度都与中面上的点的速度相同。因此在旋转坐标系中可得轮胎的动能表达式：微元质量：由式（1.4.3），可以推导得到：其中，所以有 （1.4.25）将（1.4.2

23、5）代入到（1.4.24）得到 （1.4.26）式中，表示轮胎横截面的面积；为轮胎的角速度。2）轮辋的动能轮辋的运动由平动与转动构成，因此固定坐标系中轮辋的动能为：上式中，为轮辋的惯量；为轮辋角速度相对于轮胎角速度的波动角速度，上式在旋转坐标系统表示为： （1.4.27）1.4.2.3 非保守力做的功由于轮胎带束层具有弹性，因此轮胎环中非保守力所做的功即为弹性应变能。根据材料力学可知，由材料应变引起的能量表达式为： （1.4.28）式中，为由充气压力引起的带束层沿切向的初始应力，为由运动产生的应力增量。初始应力产生的应变能表达式如下：轮胎环上的微元受力图受力分析：1）轮胎微元受到胎体沿径向的弹

24、性力作用，为胎体沿圆周方向单位长度的径向弹性刚度，为胎体沿径向的初始变形；2）离心力作用，；3）胎体内气体的径向作用力，为胎体内气体压力；4）横截面上的切向力；5）横截面上的径向变形力，由于很小，且上、下两个截面的径向变形力方向相反，为此，径向变形力互相抵消。方向如图所示；根据以上分析，可列出沿径向的力平衡方程：根据，虎克定律有：其中，为材料的杨氏模量，为轮胎中面半径，为胎体沿径向的初始变形。将上两式结合，消去整理得到：由于相对较大，因此，上式可简化为： （1.4.29）将式（1.4.22）和式（1.4.29）代入式（1.4.28），整理后得到： （1.4.30）式中，为横截面的惯性积。1.4.2.4保守力做的功1）胎体的弹性变形能结合式（1.4.2）得到： （1.4.31）式中，为胎体沿圆周方向单为长度的切向弹性刚度；为胎体沿圆周方向单为长度的径向弹性