第16讲高等数学十六2011新版

1、校：授课+名师答疑+在线模考+，考试通过无忧！ 考试问吧，有问必答！音频、讲义，勿上当，咨询：转 601第四节无穷级数一、数项级数（一）常数项级数的概念和性质1 常数项级数的概念¥数列 u n（ n = 1 , 2 , ）的各项依次相加的表达式å un 称为无穷级数，第 n 项 un 称为级数的n=1¥¥n通项，前 n 项之和 Sn = å ui 称为级数å un 的部分和。若则称级数å un 收敛，并称级数n=1lim sn = Sn®¥i =1n=1¥¥¥¥&#

2、229; un 的和为 S ;n=1，则称级数å un 发散n=1当级数å un 收敛时，n=1rn = å ui 称为级数的余i=n+1若lim sn 不。n®¥项，有lim rn = 0。n®¥2 常数项级数的性质¥¥¥）若å unn=1= S,则å kun = k å un =ks （ k 为常数)；（1n=1n=1¥¥¥¥¥）若å un =S，则åån=1（un ± v

3、n) = å un ± åvn =S ± T;2vn =T, 则（n=1n=1n=1n=13（）收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和；（4）在级数中改变有限项，不影响其收敛性；¥å）若级数u 收敛，则lim u 0；反之，不一定成立。（5nnn®¥n=13 典型级数¥a（ l ）几何级数ån=1³ 1 时，级数发散；aqn-1，当q< 1 时，收敛于，当q1- q¥（ 2 ） p-级数ån=1 1 （p> 0 ) ，当 p > 1 时，级数收

4、敛，当 0p £ 1 时，级数发散.np造价工程师 | 监理工程师 |咨询工程师 | 会计证 |师 | 安全工程师 | 会计|会计师 |英语 |税务师 | 银行从业 | 证券从业 | 期货从业 |师 | 报关员 | 外销员 | 执业药师 | 卫生| 助理医师 |日语 |计算机 | 雅思 | 公共英语 | 自考英语 | 新概念 | BEC | 托福 | 人力资源师 |高考 | 中考 | 司法考试 |1页校：授课+名师答疑+在线模考+，考试通过无忧！ 考试问吧，有问必答！音频、讲义，勿上当，咨询：转 601（二）常数项级数的审敛法1 正项级数审敛法¥¥若级数å

5、; un ，其中 un ³ 0n=1， ），则称级数å un 为正项级数。n=1（ n=1 , 2（ l ）收敛准则：正项级羚收敛的充分必要条件是其部分和有界。¥¥（ 2 ）比较审敛法：设å un 、å时， 0 £ un £ Cvn（ C >vn 为正项级数，对某个 N > 0 ，当 n Nn=1n=1¥¥¥¥0 为常数）。若å vn 收敛，则å un 收敛；若å un 发散，则åvn 发散。n=1n=1n=1n=1

6、5;¥unl（vn ¹ 0 ) ，则当 0 l 十¥ 时， å un 和å vn 同时收敛或比较审敛法的极限形式：若limn®¥ vnn=1n=1同时发散。un + 1¥（ 3 ）比值审敛法：设å u 为正项级数，若lim= l ，则当 l < l时，级数收敛；当 l > 1 或n®¥nun=1nl = + ¥ 时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。¥（ 4) 根值审敛法：设å u 为正项级数，若lim= l,则当 l &l

7、t; l 时，级数收敛;当 l > 1 或 l = + ¥n un®¥nnn=1时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。2 任意项级数审敛法¥¥若级数å un ，其中 un（n = 1 , 2n=1 ）为任意实数，则称级数å un 为任意项级数。若级数的各项n=1，¥¥正负交替出现，即可写作ån=1）或ån=1（-1）nun（un > 0（- l ） n+ l un（un 0 ） ，则称级数为交错级数。¥¥¥¥若级数

8、å un 为任意项级数，而级数å收敛，则称级数å un 绝对收敛；若å un 收敛，而unn=1n=1n=1n=1造价工程师 | 监理工程师 | 咨询工程师 |税务师 | 银行从业 | 证券从业 | 期货从业 | 会计证 |师 | 安全工程师 | 会计|会计师 |英语 |师 | 报关员 | 外销员 | 执业药师 | 卫生| 助理医师 |日语 |计算机 | 雅思 | 公共英语 | 自考英语 | 新概念 | BEC | 托福 | 人力资源师 |高考 | 中考 | 司法考试 |2页校：授课+名师答疑+在线模考+，考试通过无忧！ 考试问吧，有问必答！音频、讲义，

9、勿上当，咨询：转 601¥¥ån=1发散，则称级数å un 条件收敛。n=1un¥判别法：若交错级数ån=10 ）满足： 1 ）u n ³ u n+1（n 1 ,） n u n（ u n（ l ）（- llim¥u n = 0 ，则级数ån=1£ u n+1（n 1 , 2, ）（- 1 ）nun 收敛，且有余项2 ） ; 2 ）rnn®¥¥（ 2 ）若任意项级数å un 绝对收敛，则该级数收敛。n=1¥（ 3 ）设å u 为任意项级数，若lim（或limun +1= ln l ） ，则当 l < 1时，级数绝n®¥n®¥nun=1nl = + ¥对收敛；当l > 1或时，级数发散；当l = 1时，级数可能收敛也可能发散。造价工程师 | 监理工程师 | 咨询工程师|会计证 |师 | 安全