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1、校:授课+名师答疑+在线模考+,考试通过无忧! 考试问吧,有问必答!音频、讲义,勿上当,咨询:转 601第四节无穷级数一、数项级数(一)常数项级数的概念和性质1 常数项级数的概念¥数列 u n( n = 1 , 2 , )的各项依次相加的表达式å un 称为无穷级数,第 n 项 un 称为级数的n=1¥¥n通项,前 n 项之和 Sn = å ui 称为级数å un 的部分和。若则称级数å un 收敛,并称级数n=1lim sn = Sn®¥i =1n=1¥¥¥¥
2、229; un 的和为 S ;n=1,则称级数å un 发散n=1当级数å un 收敛时,n=1rn = å ui 称为级数的余i=n+1若lim sn 不。n®¥项,有lim rn = 0。n®¥2 常数项级数的性质¥¥¥)若å unn=1= S,则å kun = k å un =ks ( k 为常数);(1n=1n=1¥¥¥¥¥)若å un =S,则åån=1(un ± v
3、n) = å un ± åvn =S ± T;2vn =T, 则(n=1n=1n=1n=13()收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和;(4)在级数中改变有限项,不影响其收敛性;¥å)若级数u 收敛,则lim u 0;反之,不一定成立。(5nnn®¥n=13 典型级数¥a( l )几何级数ån=1³ 1 时,级数发散;aqn-1,当q< 1 时,收敛于,当q1- q¥( 2 ) p-级数ån=1 1 (p> 0 ) ,当 p > 1 时,级数收
4、敛,当 0p £ 1 时,级数发散.np造价工程师 | 监理工程师 |咨询工程师 | 会计证 |师 | 安全工程师 | 会计|会计师 |英语 |税务师 | 银行从业 | 证券从业 | 期货从业 |师 | 报关员 | 外销员 | 执业药师 | 卫生| 助理医师 |日语 |计算机 | 雅思 | 公共英语 | 自考英语 | 新概念 | BEC | 托福 | 人力资源师 |高考 | 中考 | 司法考试 |1页校:授课+名师答疑+在线模考+,考试通过无忧! 考试问吧,有问必答!音频、讲义,勿上当,咨询:转 601(二)常数项级数的审敛法1 正项级数审敛法¥¥若级数å
5、; un ,其中 un ³ 0n=1, ),则称级数å un 为正项级数。n=1( n=1 , 2( l )收敛准则:正项级羚收敛的充分必要条件是其部分和有界。¥¥( 2 )比较审敛法:设å un 、å时, 0 £ un £ Cvn( C >vn 为正项级数,对某个 N > 0 ,当 n Nn=1n=1¥¥¥¥0 为常数)。若å vn 收敛,则å un 收敛;若å un 发散,则åvn 发散。n=1n=1n=1n=1
6、5;¥unl(vn ¹ 0 ) ,则当 0 l 十¥ 时, å un 和å vn 同时收敛或比较审敛法的极限形式:若limn®¥ vnn=1n=1同时发散。un + 1¥( 3 )比值审敛法:设å u 为正项级数,若lim= l ,则当 l < l时,级数收敛;当 l > 1 或n®¥nun=1nl = + ¥ 时,级数发散;当 l = 1 时,级数可能收敛也可能发散。¥( 4) 根值审敛法:设å u 为正项级数,若lim= l,则当 l &l
7、t; l 时,级数收敛;当 l > 1 或 l = + ¥n un®¥nnn=1时,级数发散;当 l = 1 时,级数可能收敛也可能发散。2 任意项级数审敛法¥¥若级数å un ,其中 un(n = 1 , 2n=1 )为任意实数,则称级数å un 为任意项级数。若级数的各项n=1,¥¥正负交替出现,即可写作ån=1)或ån=1(-1)nun(un > 0(- l ) n+ l un(un 0 ) ,则称级数为交错级数。¥¥¥¥若级数
8、å un 为任意项级数,而级数å收敛,则称级数å un 绝对收敛;若å un 收敛,而unn=1n=1n=1n=1造价工程师 | 监理工程师 | 咨询工程师 |税务师 | 银行从业 | 证券从业 | 期货从业 | 会计证 |师 | 安全工程师 | 会计|会计师 |英语 |师 | 报关员 | 外销员 | 执业药师 | 卫生| 助理医师 |日语 |计算机 | 雅思 | 公共英语 | 自考英语 | 新概念 | BEC | 托福 | 人力资源师 |高考 | 中考 | 司法考试 |2页校:授课+名师答疑+在线模考+,考试通过无忧! 考试问吧,有问必答!音频、讲义,
9、勿上当,咨询:转 601¥¥ån=1发散,则称级数å un 条件收敛。n=1un¥判别法:若交错级数ån=10 )满足: 1 )u n ³ u n+1(n 1 ,) n u n( u n( l )(- llim¥u n = 0 ,则级数ån=1£ u n+1(n 1 , 2, )(- 1 )nun 收敛,且有余项2 ) ; 2 )rnn®¥¥( 2 )若任意项级数å un 绝对收敛,则该级数收敛。n=1¥( 3 )设å u 为任意项级数,若lim(或limun +1= ln l ) ,则当 l < 1时,级数绝n®¥n®¥nun=1nl = + ¥对收敛;当l > 1或时,级数发散;当l = 1时,级数可能收敛也可能发散。造价工程师 | 监理工程师 | 咨询工程师|会计证 |师 | 安全
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