第一章函数的极限与函数的连续性

1、第一章 函数的极限与函数的连续性一、学习目的与要求1、了解函数极限的定义，会用它证明一些简单函数的极限。2、了解无穷小，无穷大的概念。掌握无穷小的比较。3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。5、了解在闭区间上连续函数的性质。二、学习重点函数极限的概念及计算三、内容提要1、数列极限与函数极限（I）概念综述类型定义式说明趋于定值为有限值，为与之并趋于无穷大将“”换作“+”或“-”时，则得到正无穷大，负无穷大的定义。（II）极限的主要性质设表示数列变量或函数变量，在同一个极限过程中该极限过程可以是

2、数列极限或函数极限中的任一种,A、B、是常数，则极限有以下性质。运算性质线性规则：乘积规则：商规则：比较性质（1）若，则（2）若，则在某个范围X上有有界性质（1）若收敛，则有界（2）若，则在某个范围X上有界。存在性质（1）单调有界准则：单调有界数列必是收敛数列。（2）夹逼准则：若，且、趋于A，则亦趋于A（三个变量、极限过程相同）。 注 的形式与极限过程相关，当、是数列时，是某个自然数；当、是函数变量，极限过程是时，极限过程是，其余类推。 （III）基本极限公式，不存在不存在， 不存在。 （IV）极限之间的联系（1）（2）（3）对任意趋于的数列，有2无穷小量与无穷大量 （I）概念无穷小量 在指定

3、极限过程中以零为极限的变量无穷大量 在指定极限过程中趋于无穷大的变量 表示是较高阶的无穷小量，即 表示与是同阶的无穷小量，即是非零常数。 表示与是等价无穷小量，即无穷小的主部 设为常数，若，则说 的主部，称作基本无穷小，称作关于的阶数。（II）运算性质设、是无穷小量，为有界变量，为无穷大量，且在同一极限过程下考虑运算，有（1）均是无穷小量。（2）均是无穷大量。（III）等价无穷小替换原理设，则。（IV）常用等价替换公式在寻求无穷小量的等价基本无穷小时，可依据以下公式与结果（其中、可以是函数变量如，也可以是数列，如等等）；积与商 若，则和常用公式 设，则3函数的连续性（I）概念在一点连续 函数在

4、的某个领域。 在一点左（右）连续 函数在的某个左（右）邻域 上有定义，且 在连续 函数内的每个点连续。在上连续 函数在连续，且在左端点右连续，右端点左连续。间断点 当不成立时，称于处间断，间断点可分为以下几种类型： 名称 特 征第一类可去间断点与均存在不等跳跃间断点第二类与至少有一个不存在（II）主要性质（1）若均在点连续，则 也在点连续；若有定义，连续，在连续，则在连续。（2）局部保号性 若在连续,的某邻域（3）若的反函数为，且在连续，则 连续。（4）基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续。（III）闭区间上连续函数的性质设函数在闭区间上连续，则有（1）在上有界并取得最大值

5、与最小值（最值定理）。（2）若则存在（零点存在定理）。（3）若实数在之间，则存在（介值定值）。（4）上一致连续，即任给时便有。四、思考题1、在函数极限的定义中，回答下列问题:（1）为什么要任意给定？（2）对于给定的，对应的是否唯一？若不唯一，是否要找其中最小的？（3）定义中两个不等式0<x-x0<,<各表示什么意思，它们之间有什么联系？2、若极限存在，问：（1）在x=x0处是否一定有定义？（2）在x=x0附近是否有界？3、若存在，不存在，问：（1）是否一定不存在？（2）是否一定不存在？4、下列说法是否正确，为什么？（1）若函数在点x0有极限，则在点x0连续；（2）函数在定义域

6、内必处处连续；（3）函数在一点处左右极限都存在而且相等，则此点一定是函数的可去间断点；（4）若函数在（a,b）连续，则在（a,b）内函数存在着最大值和最小值。5、设和在x0点处连续，问和在x0点是否连续？五、典型例题分析例1 设，求的最大值.解 这道题用作图法最简单，如图所示，在同一坐标系下，作三直线，从图上可见，因此，的最大值是 例2 利用定义证明分析 ，为使<，只需<，即<2，取=2即可。证 对于任给的>0，存在=2，当0<<时恒成立，所以 例3 求分析 在极限运算中，运用恒等变换是个重要的手段，尤其是分子分母的极限都是零时（称型），或都是无穷大时（称型

7、），不能直接用极限运算法则，总要先作恒等变换。本题是“”型的极限，可将原分子、分母有理化，再消去极限为零的因子。解 =例4 求分析 这是属于“”型的极限，不能直接用极限的四则运算法则，而往往利用通分、乘共轭因式或三角恒等变形等方法，变为“”型或“”型，再求极限。解 =例5 判断函数当x0时极限的存在性分析 当x0时，是以任何方式趋于零，所以应考虑x0-，x0+两种情况，才能作出判断。解 当x0-时，于是当x0+时，于是，所以不存在例6 求a的值，使函数在x=0处的极限存在。分析 函数当xx0时极限存在的充要条件是左极限和右极限各自存在且相等，即这一结论是求极限以及证明极限不存在的有力工具，特别

8、是求分段函数在分段点处的极限时用得较多。解 因为，所以 当a=1时，例7 求分析 由于极限过程是x0，分式含三角函数，属“”型，因而想到应用重要极限。解 =在以上解题过程中，运用了等价无穷小替代以求极限，应熟记以下公式：当x0时，sinxxtanxarcsinxln(1+x)ex-1，1-cosx，另外必须注意的是，应该用分子或分母的整体或部分因子的等价无穷小进行代替。例8 求分析 极限过程是x，属“”型，因而容易想到应用重要极限。解法1 =解法2 = =例9 求分析 此题属“”型，可先作恒等变换将其化为“”型或“”型，再求极限。解 = =例10 求分析 当x-时，arctanx，所以极限属“

9、”型，一时不知如何下手。如果利用变量代换为三角函数的极限，也许有可能求得极限。解 令actanx=y，则x=tany。当x时，y。 = =1·（-1）= -1例11 求下列函数的间断点，并指出间断点的类型：（1）； （2）分析 如何求一个函数的间断点？如果所考虑的函数是初等函数，则其无定义的点（在此点的任何邻域内总有异于它而属于函数定义域的点）就是间断点；如果是分段函数，则分段点可能为间断点。如何判断间断点的类型？对于分段函数的分段点，常用左、右极限去判断；如果间断点是使函数表达式中分式的分母为零的点，则要注意该点是否也使分子为零，如果是这样，该点很可能是可去间断点。解（1）在=0处

10、，无定义，在=0的任何邻域内均有异于0而属于的定义域的点，所以=0是的间断点。由于 ， 所以x=0是的第一类不可去间断点，即跳跃间断点。（2）这是一个分段函数，x=0是分段点。由于 ，所以x=0是的第一类不可去间断点，即跳跃间断点。当x>0时，它在x=2的任何邻域内均有异于x=2 而属于函数定义域的点，所以x=2是函数的间断点。又由不存在，所以x=2是函数的第二类间断点。当x<0时，显然= -1，-3，-5，是函数的间断点，又由于 ，所以x= -1是的可去间断点，又由于当x0= -3，-5，时，所以x= -3，-5，都是函数的无穷间断点。例12 讨论函数的连续性，若有间断点试判别其

11、类型。分析 由于函数是在时的表达式，因此在求极限时，需要考虑x的取值情况，然后再考虑有无间断点。解下面判别函数的间断点。 因为 所以x=1是的第一类不可去间断点。 因为 所以x= -1是的第一类不可去间断点。例13 若函数在a,b上连续，a<x1<x2<<xn<b，则在x1,xn上必有一点，使得 分析 因为在a,b上连续，所以在x1,xn上连续，且在x1,xn上取得最大值和最小值，并且 ，将以上各式对应相加，运用介值定理即可得到证明。证 设在x1,xn上的最大值为，最小值为，则M, m,。将这个不等式对应相加，得即 因为函数在x1,xn上连续，由介值定理推论得知，在x1,xn上必有一点，使。例14 证明方程 x=sinx+2至少有一个不超过3的正根。分析 若能找到a,b两点，使，则利用闭区间上连续函数的零点定理，可知必有一点(a,b)，使f()=0，就是方程=0的根。本题可取=x-sin