线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵对角化

1、 é ê ê ê ê 由此得到 U = ê ê ê ê ê ê ê ë 2 2 2 2 0 0 - 1 6 1 6 2 6 0 - - - 3 6 3 6 3 6 3 2 1 ù ú 2 ú é1 ù 1ú - ú ê 1 ú 2ú ê ú. , 对角矩阵为 ú ê ú 1 1 ê ú - 

2、0; 5û 2ú ë ú 1 ú ú 2 û 4证明： Þ 显然成立. Ü 因为 A, B 有相同的特征多项式 , 则 A, B 必有相同的特征根 . 不妨设这些根为 l1 , l2 , , ln , 因 为 A, B 均 为 n 阶 实 对 称 矩 阵 , 所 以 存 在 可 逆 矩 阵 P, Q 使 得 él1 ê l2 -1 P AP = ê ê ê ë ù él1 ú ê l2 ú , Q

3、 -1 BQ = ê ú ê ú ê ln û ë ù ú ú ú ú ln û . 由 此 可 知 P-1 AP = Q-1BQ , 所以有 A = (QP-1 -1 BQP-1 , 其中 QP -1 是可逆的, 因此 A 与 B 相 似. l -1 1 解： 因为 lE - A = 0 -1 0 l -2 0 -1 0 = l (l - 2 2 , 所以 A 特征值为 0,2,2.（然后 l -1 验证 A 可对角化，从而 B 可对角化） 因为 B = ( kE

4、 + A = k E+ 2 kA+ A = f ( A ( 其中 f ( x = x + 2kx + k , 所以 B 2 2 2 2 2 的特征值为 f (0 = k , f (2 = k + 4k + 4, f (2 = k + 4k + 4. 2 2 2 ék 2 ê 所以 L = ê ê ë ù ú k 2 + 4k + 4 ú. 2 k + 4k + 4 ú û 习题 5.5 5 解： 因为 l E - A = l - (n - 1b(l + bn-1 , 所以 A 的特征值为一个一重

5、特征值 (n - 1b 和一个 n - 1 重特征值 -b . 因为秩( (n - 1bE - A = n - 1 , 所以 n1 = n - ( n -1 = 1 与 重数相同. 因为秩( -bE - A =1 , 所以 n2 = n - 1 与重数相同. 所以 A 能对角化（也可 é(n - 1b ê -b 由实对称矩阵得到）, 与其相似的对角矩阵为 ê ê ê ë ù ú ú. ú ú -b û 6证明：设 l 为 n 阶方阵 A 的特征值, x 为 A 的属于 l 的

6、特征向量, 则有 Ax = lx . 所以 A2x = l 2x = x , 即有 l 2 = 1 , 因此 A 的特征值或为 1，或为-1. 7 解： (1 因为矩阵 A 与 B 相似, 所以 trA=trB, A = B , 由此可以得到 í 而可知 a = 5, b = 6 . 当 a = 5, b = 6 时, 易知 A 的特征值为 2,2,6. ì5 + a = 4 + b, , 从 î 6a - 6 = 4b. é 1 -1 1 ù ê 4 -2 ú 求解方程组 (2 E - 2 ê ú X

7、= O , 得到属于 2 的线形无关的特征向量为 ê ë -3 -3 5 ú û 1, 0, 1 , -1, 1, 0 . T T é 1 -1 1 ù ê 4 -2 ú 求解方程组 (6 E - 2 ê ú X = O , 得到属于 6 的线形无关的特征向量为 ê ë -3 -3 5 ú û 2 é1 ù , - , 1ú . ê 3 ë3 û 所以此时 A 可以对角化。 类似可以证明此时 B

8、也可以对角化。所以由他们的特征值相同可以知道此时 A 与 B 合 同。 T 1 ù é ê1 -1 3 ú ê ú 2ú ê （2）由（1）可知 P = 0 1 - . ê 3ú ê ú 1 ú ê1 0 ê ú ë û l -1 8解：因为 l E - A = -a -2 -2 0 l -1 -3 -3 0 0 0 0 0 l -2 l -2 -c = (l - 1 2 (l - 2 2 , 所以 A 有一个两 重

9、特征值 1 和一个两重特征值 2. n1 = n - 秩( E - A , n2 = n - 秩( 2E - A , A 能与对 角 矩 阵 相 似 所 以 必 有 n1 = 2, n2 = 2 . 因 此 要 求 秩 ( E - A = 秩 ( 2E - A =2. é0 0 0 0ù é -1 -c -3 -2 ù ê -a 0 0 0 ú ê 0 -1 -3 -2 ú ê ú ú , 要使得秩 ( E - A =2, 必有 E-A= ¾¾ ®

10、4; ê -2 -3 -1 0 ú ê 0 0 0 -a ú ê ú ê ú ë -2 -3 -c -1û ë0 0 0 0 û 0ù é1 -a -2 -2 ù ê0 1 -3 -3 ú 0ú ú ¾¾ ú , a=0 ; ®ê ê0 0 0ú 0 -c ú ú ê ú 0û 0 0û ë0 0 ( 2E - A =2,