选修2-31.3.2杨辉三角与二项式系数的性质

1、1.3.2 杨辉三角杨辉三角 和二项式系数性质和二项式系数性质精选课件2复习回顾复习回顾: :二项式定理及展开式二项式定理及展开式: :011()()nnnkn k kn nnnnna bC aC a bC abC b n N 二项式系数二项式系数1kn kkknTC ab (0,1, )knCkn 通通 项项精选课件3计算计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表展开式的二项式系数并填入下表: 通过计算填表，你发现了什么？通过计算填表，你发现了什么？ n (a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 61 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5

2、10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 每一行的系数具有每一行的系数具有对称性对称性, ,除此以外还有什么规律呢除此以外还有什么规律呢?精选课件41 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1()ab 2()ab 3()ab 4()ab 5()ab 6()ab 上表写成如下形式上表写成如下形式: :1 7 21 35 35 21 7 17()ab 1 Cn-11 Cn-12 Cn-1k-1 Cn-1k Cn-1n-2 1 能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗?1 1

3、1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1()ab 2()ab 3()ab 4()ab 5()ab 6()ab 上表写成如下形式上表写成如下形式: :精选课件61 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1()ab 2()ab 3()ab 4()ab 5()ab 6()ab 上表写成如下形式上表写成如下形式: :在同一行中在同一行中,每行两端都是每行两端都是1,与这两个与这两个1等距等距离的项的系数相等离的项的系数相等.在相邻的两行中在相邻的两行中,除

4、除1以外的每一个数都等于以外的每一个数都等于它它“肩上肩上”两个数的和两个数的和.mn mnnCC 11rrrnnnCCC 这样的二项式系这样的二项式系数表，早在我国南数表，早在我国南宋数学家杨辉宋数学家杨辉1261 年所著的年所著的详解九详解九章算法章算法一书里就一书里就已经出现了，在这已经出现了，在这本书里，记载着类本书里，记载着类似下面的表：似下面的表： 展开式的二项式系展开式的二项式系数依次是：数依次是： ()nab 012C ,C ,C ,Cnnnnn 从函数角度看，从函数角度看， 可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 , ,其定义域是：其定义域是： Crn( )f r

5、 0,1,2,n 当当n= 6时时,其图象是其图象是7个孤立点个孤立点f（r）63O6152011.对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个的两个二项式系数二项式系数相相等等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到CCmn mnn 图象的对称轴：图象的对称轴：2nr f（r）63O6152012.增减性与最大值增减性与最大值 1(1)(2)(1)1CC(1)!kknnn nnn kn kk kk 所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 Ckn1Ckn 1nkk由由：1112n knkk 12nk 可知，当可知，当 时，时， 二项式系数二项式系数是

6、逐渐增大是逐渐增大的，由对称性可知它的的，由对称性可知它的后半部分后半部分是逐渐减小的是逐渐减小的, ,且且中间项中间项取得最大值。取得最大值。 精选课件11f（r）rnO2n2n122n Onf（r）n为奇数为奇数122n n为偶数为偶数当当n是偶数是偶数时，中间的时，中间的一一项项 取得取得最大最大值值.2nnC当当n是奇数是奇数时，中间的时，中间的两两项项 和和 相等相等,且同时取得且同时取得最大最大值值12nnC 12nnC 3.各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1ab 012CCCC2nnnnnn 这就是说，这就是说， 的展开式的各

7、二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于()nab 2n同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：0C1n 123CCCC21nnnnnn 这是组合总数公式这是组合总数公式 精选课件13 一般地，一般地， 展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：nba)( （1 1）nnnnCCC,10mnnmnCC （2 2） （3 3）当）当 时，时， （4 4）mnmnmnCCC1121nr1rnrnCC 当当 时，时，21nrrnrnCC1nnnnnCCC210精选课件14例例1.证明证明:在在(a+b)n 的展开式中，奇数项的二的展开式中，奇数项的二项式系数

8、的和等于偶数项的二项式系数的和项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和01()nnnrn rrnnnnnnabC aC a bC abC b 1,1ab 令令0123(11)( 1)nnnnnnnnCCCCC 02130()()nnnnCCCC 0213nnnnCCCC =2n-1在展开式在展开式证明证明:得得即即所以所以赋值法赋值法即在即在(a+b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和的和等于偶数项的二项式系数的和精选课件15课堂练习：课堂练习：1）已知）已知 ，那么，那么 = ；2）若）若 的展开式中的第十项和第十一的展开式中的第十项

9、和第十一项的二项式系数最大，则项的二项式系数最大，则n= ；591515,Ca Cb1016C()nab精选课件163.在在(ab)20展开式中，与第五项的系数相同的项是展开式中，与第五项的系数相同的项是( ).A 第第15项项 B 第第16项项 C 第第17项项 D 第第18项项C4.在在(ab)10展开式中，系数最大的项是展开式中，系数最大的项是( ).A 第第6项项 B 第第7项项 C 第第6项和第项和第7项项 D 第第5项和第项和第7项项A5.在在(ab)10展开式中，系数最大的项是展开式中，系数最大的项是( ).A 第第6项项 B 第第7项项 C 第第6项和第项和第7项项 D 第第5

10、项和第项和第7项项D6.在在(ab)11展开式中，系数最大的项是展开式中，系数最大的项是( ).A 第第6项项 B 第第7项项 C 第第6项和第项和第7项项 D 第第5项和第项和第7项项C7.在在(ab)11展开式中，系数最大的项是展开式中，系数最大的项是( ).A 第第6项项 B 第第7项项 C 第第6项和第项和第7项项 D 第第5项和第项和第7项项B精选课件17例例2、若若 展开式中前三项系数成等差展开式中前三项系数成等差 数列，求数列，求（1）展开式中含）展开式中含x的一次幂的项；的一次幂的项； （2）展开式中所有展开式中所有x 的有理项；的有理项； （3）展开式中系数最大的项。）展开式

11、中系数最大的项。42 xn1( x+)精选课件189.若若 的展开式中，所有的展开式中，所有奇数项的系数之和为奇数项的系数之和为1024，求它的中间项，求它的中间项.35211()nxx解：解：展开式中各项的二项式系数与该项的展开式中各项的二项式系数与该项的 的系数相等的系数相等由已知可得：由已知可得：2n-1=1024解得解得 n=11，有两个中间项分别为有两个中间项分别为T6=462x-4，T7=462x 1561 8.求二项式求二项式(2-3x)10展开式所有项系数的和展开式所有项系数的和精选课件19 二项展开式中的二项式系数都是一些特二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意