高中数学导数微积分测试题

1、1、（2012德州二模）如图，在边长为的正方形内的正弦曲线轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往正方形内投一个点P，则点P落在区域M内的概率是ABCD答案：B解析：区域M的面积为：SMcosx2，而正方形的面积为S，所以，所求概率为P，选B。2、（2012济南三模）已知函数，若成立，则_.答案：解析：因为f(x)dx (3x22x1)dx(x3x2x)|4，所以2(3a22a1)4a1或a.3、（2012莱芜3月模拟）函数的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为.【答案】【解析】4、（2012济南三模）已知、是三次函数的两个极值点，且，则的取值范围是（）A B C D答案：B解析：因为函数有两

2、个极值，则有两个不同的根，即，又，又，所以有，即。的几何意义是指动点到定点两点斜率的取值范围，做出可行域如图，由图象可知当直线经过AB时，斜率最小，此时斜率为，直线经过AD时，斜率最大，此时斜率为，所以，选B.5、（2012临沂3月模拟）函数在点处的切线与函数围成的图形的面积等于_；【答案】【解析】函数的导数为，所以，即切线方程为，整理得。由解得交点坐标为，所以切线与函数围成的图形的面积为。6、（2012临沂二模）已知，是由直线，和曲线围成的曲边三角形区域，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，则的值是（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】区边三角形的面积为，区域的面积为1，若向区域

3、上随机投一点，点落在区域内的概率，所以，所以，选D.7、（2012青岛二模）设，则二项式展开式中不含项的系数和是A B C D【答案】C【解析】，所以，二项式为，展开式的通项为，令，即，所以，所以的系数为，令，得所有项的系数和为，所以不含项的系数和为，选C.8、（2012青岛二模）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示. 下列关于的命题：函数的极大值点为，；函数在上是减函数；如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；当时，函数有个零点；函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个其中正确命题的序号是【答案】【解析】由导数图象可知，当或时，函数单调递增，当或，函数单调递减，当和

4、，函数取得极大值，当时，函数取得极小值,所以正确；正确；因为在当和，函数取得极大值，要使当函数的最大值是4，当，所以的最大值为5，所以不正确；由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有几个零点，所以不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分或两种情况，由图象知，函数和的交点个数有0,1,2，3,4等不同情形，所以正确，综上正确的命题序号为。9、（2012青岛3月模拟）直线与抛物线所围成封闭图形的面积是A B C D16答案：C【解析】联立方程求得交点分别为所以阴影部分的面积为10、（2012日照5月模拟）如图，由曲线，直线与轴围成的阴

5、影部分的面积是（A）1 （B）2（C）（D）3答案：D【解析】由定积分的几何意义，阴影部分的面积等于选D.11、（2012泰安一模）已知，A是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为A.B.C.D.【答案】D【解析】本题为几何概率.区域的面积为.区域A的面积为，所以点P落入区域A的概率为，选D.12、（2012滨州二模）已知函数f（x），g（x）elnx。（I）设函数F（x）f（x）g（x），求F（x）的单调区间；（II）若存在常数k，m，使得f（x）kxm，对xR恒成立，且g（x）kxm，对x（0，）恒成立，则称直线ykxm为函数f（x）与g（x）的“分界线”，试问

6、：f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由。解析：（I）由于函数f（x），g（x）elnx，因此，F（x）f（x）g（x）elnx，则，当0x时，0，所以F（x）在（0，）上是减函数；当x时，0，所以F（x）在（，）上是增函数；因此，函数F（x）的单调减区间是（0，），单调增区间是（，）。（II）由（I）可知，当x时，F（x）取得最小值F（）0，则f（x）与g（x）的图象在x处有公共点（，）。假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）。故设其方程为：，即，由f（x）对xR恒成立，则对xR恒成立，所以，0成立，因此k，“分界线“的方程为

7、：下面证明g（x）对x（0，）恒成立，设G（x），则，所以当0x时，当x时，0，当x时，G（x）取得最大值0，则g（x）对x（0，）恒成立，故所求“分界线“的方程为：13、（2012德州二模）设函数 （I）求函数f（x）在点处的切线方程； （II）设讨论函数的单调性； （III）设函数，是否同时存在实数m和，使得对每一个，直线都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。解析：（I）解：lnx1（x0），则函数在点处的斜率为2，f（e）e，所以，所求切线方程为ye2（xe），即y2xe（II），令0，则x或，当02，即时，令0，解得0x或x令0，解得x所以，F（x）在

8、（0，），（，）上单调递增，在（，）单调递减。当2，即时，0恒成立，所以，F（x）在（0，）上单调递增。当2，即时，所以，F（x）在（0，），（，）上单调递增，在（，）单调递减（III），令0，则x1，当x在区间内变化时，的变化情况如下表：0+单调递减极小值1单调递增2又的值域为1，2。据经可得，若，则对每一个，直线y=t与曲线都有公共点。并且对每一个，直线与曲线都没有公共点。综上，存在实数m=1和M2，使得对每一个，直线y=t与曲线都有公共点。14、（2012德州一模）已知函数 (I)求的单调区间； ()设，若对任意，总存在0，1， 使得，求实数a的取值范围解析：（I）。当时，由于x0，故a

9、x10，0，所以f（x）的单调递增区间为（0，）。当时，由0，得，在区间（0，）上，0，在区间（，）上，0，所以，当时，所以f（x）的单调递增区间为（0，）。当时，f（x）的单调递增区间为（0，），f（x）的单调递减区间为（，）（II）由已知，转化为，又g（0）1由（I）知，当时， f（x）在（0，）递增，值域为R，故不符合题意。当时，f（x）在（0，）递增，在（，）递减，故f（x）的极大值即为最大值，所以11ln（a），解得：a<-15、（2012济南3月模拟）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数.（1） 当a=-1时，求f（x）的最大值；（2） 若f（x

10、）在区间（0，e上的最大值为-3，求a的值；（3） 当a=-1时，试推断方程=是否有实数解.【答案】解：(1) 当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f(x)=1+1分当0<x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)<0.f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数3分=f（1）=-14分 (2) f(x)=a+，x(0,e，5分若a，则f(x)0，从而f(x)在(0,e上增函数=f（e）=ae+10.不合题意6分若a<，则由f(x)>0>0，即0<x<由f(x)<0<0，即<xe.从而f(x)在上增函数

11、,在为减函数=f=-1+ln8分令-1+ln=-3，则ln=-2=，即a=. <,a=为所求9分(3) 由（）知当a=-1时=f（1）=-1，|f（x）|110分又令g（x）=,g（x）=,令g(x)=0，得x=e,当0<x<e时，g(x)>0,g(x) 在(0,e)单调递增；当x>e时,g(x)<0，g(x) 在(e,+)单调递减11分=g（e）= <1, g(x)<112分|f（x）|>g(x),即|f(x)|> 13分方程|f（x）|=没有实数解.14分16、（2012莱芜3月模拟）已知函数（）若函数在1，2上是减函数，求实数a

12、的取值范围；（）令是否存在实数a，当（e是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（）当时，证明： (22).解：解：（）在1，2上恒成立，令，有得3分所以. 4分（）假设存在实数a，使有最小值3，. 5分当时，g(x)在0，e上单调递减，（舍去）.当时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，所以，满足条件.当时，g(x)在0，e上单调递减，（舍去）.综上，存在实数，使得当时，g(x)有最小值3.10分()令，由（2）知，令，当时，在上单调递增，所以.所以,即. 14分17、（2012青岛二模）已知函数.（）求函数的极大值；（）令（为实常数），试判断函数的单调性；

13、（）若对任意，不等式均成立，求实数的取值范围.解：（）, 的定义域为;由于，由,当时，；当时，.在上为增函数；在上为减函数，从而. 3分（），4分 当,即时，在上为增函数；5分当，即时，.由,（）若，则，时，在上为增函数；7分()若，则，时，；时，在上为增函数,在上为减函数.综上可知：当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数.9分（）由,而，要对任意，不等式均成立，必须：与不同时为0. 11分因当且仅当时，=0，所以为满足题意必有，即. 12分18、（2012青岛3月模拟）已知函数.（）记，求的极小值；（）若函数的图象上存在互相垂直的两条切线，求实数的值及相应的切点坐标.解：（）由

14、已知：，,由，或 ,当时，在为增函数，此时不存在极值； 当时，变化时，变化如下：0+0-0+极大极小由上表可知：.当时，变化时，变化如下：+0-0+极大极小由上表可知：.（）设两切点分别为，则即，方程的判别式,即,又，从而可得：上式要成立当且仅当，或此时方程的解为 .，存在，此时函数的图象在点处的切线和在点处的切线互相垂直.19、（2012日照5月模拟）已知二次函数的一个零点是，函数，.（）过坐标原点O作曲线的切线，证明切点的横坐标为1；（）令，若函数在区间（0，1上是单调函数，求的取值范围。解：（）-a是二次函数的一个零点，b=0. 2分设切点为则切线的斜率.整理得.显然，是这个方程的解.

15、4分又因为在（0，）上是增函数，所以方程有唯一实数解。故.6分（）7分设则.8分易知在上是减函数，从而.（1）当2-a0，即时，h(x)在间（0，1）上是增函数。在上恒成立，即在上恒成立。F(x)在区间上是减函数。所以，满足题意. 10分（2）当2-a<0，即a>2时，设函数的唯一零点为，则在（0，）上递增，在上递减。又.又，h(x)在（0，1）内有唯一一个零点，当时，h（x）<0,当时，h(x)>0.从而F（x）在（0，）递减，在（，1）递增，与在区间上是单调函数矛盾。a>2不合题意.综合（1）（2）得，.即a的取值范围是. 14分20、（2012威海二模）已知函数（）当时，求在区间上的最值；（）讨论函数的单调性；（）当时，有恒成立，求的取值范围解：（）当时，的定义域为，由得-2分在区间上的最值只可能在取到，而， -4分（）当，即时，在单调递减；-5分当时，在单调递增；-6分当时，由得或（舍去）在单调递增，在上单调递减；-8分综上，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减当时，在单调递减； -9分（）由（）知，当时，即原不等式等价于 -10分即整理得， -11分又，所以的取值范围为. -12分