行列式的计算技巧——毕业论文

1、行列式的计算方法姓 名：_ * _院 别：_数学与信息科学学院_专 业：_数学与应用数学_学号：_0000000000_指导教师：_ * _2016年 5月 1日目录摘 要1关键词1Abstract1Key words10 引言21 基本理论22 行列式的计算技巧42.1 化三角形法42.2 递推法72.3降阶法82.4数学归纳法92.5 范德蒙德行列式法102.6 拉普拉斯定理法132.7 拆行(列)法152.8 构造法16参考文献17致 谢17行列式的计算方法摘 要行列式是代数学重要研究工具,并且在物理,经济,金融等各学科当中都着有广泛的应用.本文针对行列式的特点,利用行列式的性质,主要讨

2、论了行列式的计算方法,例如：三角形行列式法，递推法，降阶法，范德蒙德行列式法等，并且根据每一种计算方法的特点，通过典型的例题进行论述.关键词行列式;计算技巧;范德蒙行列式;上三角形The determinant calculation techniquesAbstractDeterminant is an important tool in algebra research, which has a wide range of applications in physics, economic, financial and so on. This paper according to the

3、character and quality of determinant, discuss the calculation method to determinant, for instance: the triangle method, the recursion method, the order reduction method, Vandermonde determinant method ect, basis on the character of every calculation method, discuss things through typical examples.Ke

4、y wordsThe determinant;Computing skills;Vandermonde determinant;The triangle0 引言行列式描述的是在维空间中,一个线性变换形成的平行多面体的体积,被广泛应用于解线性方程组,计算微积分,矩阵运算等.行列式最初是伴随着方程组的求解发展起来的.发展至今,行列式已成为代数学中的重要内容,在数学理论上有着十分重要的地位.行列式的概念最早是在十七世纪日本数学家关孝和在一部叫做解伏题之法的著作中提出来的.十八世纪法国数学家范德蒙德首先把行列式作为专门理论独立于线性方程组之外进行研究.而十九世纪,是行列式理论形成和发展的重要时期.18

5、15年,柯西在他的一篇论文当中给出了关于行列式的第一个系统的、并且几乎是近代的处理.当中主要结果之一则是是行列式的乘法定理.除此之外,他还是把行列式的元素排成方阵的第一人,并且采用双足标记法.他不仅引进了行列式特征方程的专业术语;还给出了相似行列式概念.本文主要讨论行列式解题方法和解题思路.本文重点讨论了8种较为典型的计算行列式的解题技巧,并在给每一种计算技巧都提供了典型的例题,帮助理解相对应的技巧方法.本文分成两个部分,第一部分重点叙述了行列式的定义,基本性质以及矩阵的定义.第二部分论述了计算行列式的方法以及应用. 以便可以更有针对性的根据行列式的特点选择出比较便捷的计算方法,从而更快的计算

6、出行列式,并且在物理,经济,金融等各学科当中能够取得更有效的学习.1 基本理论1.1定义1级行列式等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积(1)的代数和,这里是的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号: 当是偶排列时,(1)符号为正;当是奇排列时,(1)带有负号.此定义又可写成这里表示对所有级排列求和.1.2级行列式的基本性质性质1 行列互换,行列式不变.性质2 行列式中任意两个行或列互换,行列式值改变符号.性质3 某个数乘以行列式的某一行或者某一列,则可以将该数提取到行列式外.性质4 如果某一行(列)是两组数相加的和,那么此行列式就等于两个行列式的和,而这两个行列式除去这一行(列)之外,剩

7、下的元素全部对应相同.性质5 如果行列式中有两行或者两列的对应元素相同,则此行列式的值为零.性质6 如果在行列式中任意两行(列)对应成比例,则此行列式的值为零.性质7 把一行(列)的倍数加到另一行(列),则此行列式值符号相反.2 行列式的计算技巧行列式是线性代数中的一个重要研究对象,并且是线性代数中最基本,最常用的工具,因此研究行列式计算技巧实是为了更好的去了解行列式计算过程中的一些方法,为更快更好更方便的解答行列式的计算提供方法.2.1 化三角形法定义2 由个数排列成的行列的表称为一个矩阵.定义3数域上矩阵的初等行(列)变换是指以下三种变换:,(2)交换矩阵的两行(列);(3)以一个数乘矩阵

8、某一行(列)的所有元素;(4)把矩阵的某一行(列)所有元素的倍加到另一行(列)对应的元素上去;矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.定义4 数域上主对角线以下或以上的全体元素都是零的阶方阵，称为三角矩阵.定义5主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角行行列式.且对角线以下(上)的元素全为零的行列式叫做上(下)三角形行列式.命题1上三角形行列式等于主对角线上元素的乘积,即证明我们首先观察形如(1)式的项有哪一些不为零，然后再来决定他们的符号.项的一般形式为,在行列式中第行的元素除去以外全为零,因之,只要考虑的那些项.在第行中,除去外，其余的项全为零. 因之这两个可能.由于,所以就不能

9、等于了,从而.这样逐步推上去，不难看出,在展开式中,除去这一项外，其余项全是0.而这一项的列指标所成的排列是一个偶排列，所以这一项带正号.结论得证.如果把一个行列式经过适当变换之后化为三角形,那么其结果即为行列式主对角线上元素的乘积.化三角形法是把原行列式化成上(下)三角形行列式或者对角形行列式计算的方法.一般来说,每个行列式都可以利用行列式的性质转化为三角形行列式.但是对于阶数高的行列式,在通常情况下,计算往往会比较繁琐.因此,在许多的情况下,总是首先利用行列式的性质将原行列式作为某种保值变形,然后再将其化为三角形行列式. 任意一个阶方阵总可以经过行列初等变换化成上(下)三角形矩阵(证明见高

10、等代数).从而把行列式写成上(下)三角形行列式与一个数乘积的形式,其步骤如下:如果行列式的第一行第一个元素为零,首先可将第一行(列)与其他任一行(列)进行交换,使得第一行第一个元素化为不为零,然后把第一行的合适的倍数加到其他各行,使得第一列除了第一个元素之外其他元素全部为零,然后再用相同的方法处理除去第一行第一列余下的低阶行列式,依次化下去,直至化为上三角形行列式,此时行列式的值就等于主对角线上所有元素的乘积.例1计算下列行列式.解例2计算行列式.解2.2 递推法定义5 利用行列式性质,把一个n阶行列式表示成具有相同的结较低阶行列式的现行关系式,这种关系式被称为递推关系式.递推法是根据行列式构

11、造特点,建立与(或者)递推关系式,逐步推导下去,求出的值.也可以找到与,的递推关系,然后利用,求出的值.若阶行列式满足关系式.则作特征方程.(5)若,则特征方程有两个不等根,则.(6)若,则特征方程有重根,则在(5),(6)中,均为待定系数,可令求出.例3 计算行列式.解 按第一行展开,得由此递推,得出.(7)因为中与对称,则有.(8)当,由(7),(8)得.当,2.3 降阶法定义6 在行列式中划去元素所在的第行与列,剩下的个元素按原来的排法构成一个级的行列式称为的余子式,记为.而称为的代数余子式.推论1设为阶行列式,则.或.其中为中的元素的代数余子式.降阶法亦称为按行(列)展开法.即按照某一

12、行(列)展开行列式,即可以使得行列式降一阶.依次进行下去,直至化为二阶或者三阶行列式,可直接计算结果.如果行列式中的零元素比较多,我们则可以按照某一行(列)展开计算.若是行列式比较复杂,为使得计算比较简单,我们可以根据行列式的特点,首先利用行列式的性质将行列式进行化简,使得行列式中有较多的零元素出现,然后再展开.例4计算下列行列式.解.2.4数学归纳法定义7 当一个命题满足下面两个步骤 证明当取第一个值时命题成立; 假设时命题成立,证明时命题也成立.我们就可以断定这个命题对于从开始所有的正整数都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.数学归纳法是一种数学证明方法,典型地用于确定一个表达式在 所有自然

13、数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的.最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当属于所有自然数时一个表达式成,这种方法是由下面两步组成 递推的基础：证明当时表达式成立.递推的依据：证明如果当时成立,那么当时同样成立.(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设.不要把整个第二步称为归纳假设).当与为同型的行列式,我们一般考虑用数学归纳法求解.一般是先利用不完全归纳法找出行列式的猜想值,然后再利用数学归纳法证明猜想.因此,数学归纳法我们一般可以用来证明行列式等式.因为给定了一个行列式,我们要猜想行列式的值是不容易的,所以是先给定行列式的值,然后再去证明.例5 证明下列等式.

14、证明 当时,命题成立.假定对于阶行列式命题也成立,即.则按照第一列展开.所以对于阶行列式命题也成立.得证.2.5 范德蒙德行列式法范德蒙德,Vandermonde,法国数学家,17351796.除了把行列式应用在线性方程组之外,范德蒙德也是第一个行列式本身的表达式以及性质进行研究的数学家,他的主要贡献之一就是用方阵里较小的方阵行列式以表示的行列式方法.这种方法和其他一些相类似的方法,在简化大型的行列式计算方面是有着极其方便的效果的.正因为如此,范德蒙德被认为行列式理论的奠基人.根据行列式的特点,利用行列式的性质适当的变形,把所求行列式化为已知的或较为简单的形式.范德蒙行列式就是其中的一种.范德

15、蒙德行列式的每一列都是以不同整指数的某个数形式出现的,并且具有很强的规律性.幂次数的变化趋势呈现出由到递增或者递减的这一结构特点,从而把所给的行列式化为范德蒙行列式,然后进行简化计算.定义8行列式(9)称为级的范德蒙德行列式.定理1 对任意的级范德蒙德行列式等于这个数所有可能的差的乘积.即.证明 首先对作归纳法.当时,结果是正确的.设对于级的范德蒙德行列式结论成立.在(9)中,第行减去第行的倍,第行减去第行的倍.也就是由上而下依次地从每一行减去它上一行的倍,有后面这行列式是级的范德蒙德行列式,根据归纳法假设,它等于所有可能差的乘积;而包含的差全在前面出现了.故结论对级范德蒙德行列式也成立.推论

16、2范德蒙德行列式为零的充分必要条件是这个数中至少有两个相等.利用范德蒙德行列式的结论计算并不复杂,难的是如何将给定的行列式化成范式的标准形式.所给行列式各列(或各行) 都是某元素的不同次幂,但其幂次数的排列与范德蒙德行列式不完全相同,需利用行列式性质(如提取公因式,调换各行(或各列) 的次序,拆项等).例6计算阶行列式.解 显然此行列式与范德蒙行列式是相似的,但还是有所不同,所以要首先利用行列式的性质把它化成范德蒙行列式的类型.首先将行列式的第行依次与第行,行,行,行兑换,再将得到的新的行列式的第行与第行,行,行进行对换,直至最后将第行与第行进行对换,如此,共经过次行对换之后,得到上面式子右端

17、的行列式已经是范德蒙行列式,所以利用范德蒙行列式的结果得.例7 计算行列式解 由,可得2.6 拉普拉斯定理法定义9在一个级行列式中任意选定行列.位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的次序组成一个级行列式,称为行列式的一个级子式.当时,在中划去这行列后余下的元素按照原来的次序组成的级行列式称为级子式的余子式.定理2(拉普拉斯定理)设在行列式中任意取定了个行,由这行元素组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式.(证明见高等代数).拉普拉斯定理,在计算行列式的时候,主要应用的是的情形,很少用到一般的形式,不过当行列式的里面零元素很多时,我们运用一般情形的拉普拉斯定理,则会给我们的行列

18、式计算带来很大的方便.拉普拉斯定理四种特殊情形 (i).(ii) .(iii)(iv).证明(i)在左端的行列式中,取定前行,组成的阶式子中只有前列不为.根据拉普拉斯定理得 同样的方法可以证明(ii).证明(iii) 在左端的行列式中,取定前行,组成的阶式子中只有后列不为.根据拉普拉斯定理得.由于与奇偶性相同,所以 同理可证(iv).例8计算阶行列式解2.7 拆行(列)法定义10 由行列式拆项性质知,将已知行列式拆成若干个行列式之积,计算其值,再得原行列式值,此法称为拆行(列)法.由行列式的性质4知道,若行列式的某行(列)的元素都是两个数之和,则该行列式可拆成两个行列式的和,这两个行列式的某行(列)分别以这两数之一为该行(列)的元素,而其他各行(列)的元素与原行列式的对应行(列)相同,利用行列式的这一性质,有时较容易求得行列式的值.例9设n阶行列式且满足对任意数,求阶行列式.解.,且,有.因,也为反对称矩阵.又为的元素.故.从而知.2.8 用构造法解行列式构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察,深入的思考,移联想,确思维,妙地、合理地构造出某些元素,种模式,问题转化为新元素的问题,转化为新元素之间的一种新的组织形式,