高3数学12复数的向量表示及复数的三角形式

1、基础概念一、基础知识概述由于解方程的需要，我们引进了复数和及其四则运算，并建立了复数集和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对立，我们还学过向量及其运算，在些基础上，我们现在一起来学习复数的向量表示、复数的三角形式及其运算、复数的指数形式、复数的运算的几何意义二、重点知识归纳及讲解1、复数的向量表示：复数集与复平面内的向量集合（为原点）一一对应说明：（1）零向量表示复数0，相等的向量表示同一个复数；（2）向量的模就是复数（、）的模，即2、复数的三角形式及运算：（1）复数的幅角：设复数对应向量，以轴的正半轴为始边，向量所在的射线（起点为）为终边的角，叫做复数的辐角，记作，其中适合的辐角的值，叫做

2、辐角的主值，记作说明：不等于零的复数的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差的整数倍（2）复数的三角形式：叫做复数的三角形式，其中，说明：任何一个复数均可表示成的形式其中为的模，为的一个辐角（3）复数的三角形式的运算：设，则 1）乘法：； 2）除法：； 3）乘方：； 4）开方：3、复数的几何意义：（1）复数模的几何意义：，即点到原点的距离，一般地即点到点的距离（2）复数加、减法的几何意义：图中给出的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义即，（3）复数乘、除法的几何意义：设，则的几何意义是把的对应向量按逆时针方向旋转一个角（如果，就要把按顺时针方向旋转一个角，再把它的模变为原来的倍

3、，所得向量即表示积，如图，的几何意义是把的对应向量按顺时针方向旋转一个角（如果，就要把按逆时针方向旋转一个角，再把它的模变为原来的倍，所得的向量即表示商4、复数的指数形式：把模为1，辐角为（以弧度为单位）的复数用记号表示，即，由此任何一个复数就可以表示为形式，我们把这一表达式叫做复数的指数形式3、 难点知识剖析复数的几何意义的理解是本讲的难点由于复数集与平面点集间的一一对应关系，使得复数问题常常可用几何方法来解决，几何问题常常可用复数语言来表述，要善于运用“数形结合”的解题思想来思考，分析这类问题，找出最简捷的解题方法复数的模可以帮助我们表示出一些常用曲线方程如圆：；线段中垂线：；椭圆：；双曲

4、线：典型例题例1、已知，且，复数（1）求的三角形式；（2）若，求的取值范围解析：（1）， 1）当时，则， 而，此时三角形式为 2）当时，则， 而，此时三角形式为（2）当， 而，；当， 而，评析：化含三角函数关系的复数为三角形式时，应把握概念，准确运用有关三角公式例2、设，且，（1）存在实数、，使成立，求、；（2）若，求解析：（1）依题意可设，则，且， 即，且当时，当时，（2）若，则，即，例3、复数与满足：，且，问：当为何值时，取得最大值和最小值？并求出这一最大值和这一最小值解析： 设，则，且，即，（显然），即当时，解得或；当时，即或时，而时，例4、设复数、满足：，其中，若、在复平面上所对应的点

5、分别是、，求的面积解析：由复数及复数乘法的几何意义，点在单位圆上，设其辐角主值为，点是，其辐角主值是，点是将逆时针旋转角后对应向量的终点，同理向量则是由向量逆时针旋转后，再将模伸长为模的3倍而得到如图所示：例5、已知复数满足，求复数的模的最大、小值及对应的解析：方法一：、， 而当时，当时，；而当时，方法二： 设，且当时，； 当时，高考中对复数的考查多集中在复数的概念以及复数的代数运算，对复数的三角形式的考查不多有时可能采取一题多法，即设复数的代数形式和复数的三角形式均可解，只不过运用三角形式解答时较方便基础练习1、 选择题1、复数的辐角主值是（）A BCD2、设，给出复数：，其中能确定为复数的

6、三角形式的有（）A3个B2个C1个D0个3、已知，（，），则（）A BCD4、若，则复数的辐角主值是（）A BCD5、若，则（）2、 BC0D16、设，若，则最小的正整数（）A1B2C5D77、在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（）4、 BCD8、是两个非零复数，且分别对应点、，则的充要条件是（）A B的实部为0 CD的虚部为09、复数满足条件：，则的最大值是（）A BCD10、设（、），且，则复数的对应点的轨迹是（）A 圆B抛物线C椭圆D双曲线2、 综合题11、已知和均为复数，且，为纯虚数，求和的取值范围12、设复数、分别对应复平面上的、点，、的辐角分别为、，且的面积为定