第四章 练习题及参考答案

1、1、设点电荷位于金属直角劈上方，其坐标如右图所示，求（1） 画出镜像电荷所在的位置（2） 直角劈内任意一点处的电位表达式图1图2解：（1）镜像电荷所在的位置如图1所示。（2）如图2所示任一点处的电位为其中，2、两个点电荷和位于半径为的接地导体球的直径延长线上，距球心均为。证明镜像电荷构成一位于球心的电偶极子，且偶极矩大小为。证明：由点电荷的球面镜像法知，Q和Q的镜像电荷分别位于球内Q和Q连线上大小分别为，且分别距球心为（分别位于球心两侧）。可见构成电偶极子，由电偶极距的定义式得偶极距的大小为：。结论得证。3、已知一个半径为的接地导体球，球外一个点电荷位于距球心O为处。利用镜像法求球外空间任意点

2、的电位分布。解：由点电荷的球面镜像法可知，的像电荷必定位于球内，且在与球心0连线上，位置在距离球心设为 处。建立直角坐标系，由边界条件球）=0可取球面上两个特殊点讨论。是与球心0连线所对应的直径与球面的两个交点。由图示及点电荷的电位公式得：，。解此方程组得：。所以任意场点处的电位为： 。其中分别是点电荷和 到场点的距离。值分别为。4、半径为的不接地导体球附近距球心O为（）处有一点电荷，用镜像法计算球外任一点的电位。解：由点电荷的球面镜像法可知，的像电荷除了有（即导体球接地时对应的结果，其位置为），还在球心处有另外一个镜像电荷，以保证导体球面电势不为零的边界条件成立，且可知。所以任意场点处的电位

3、为： 其中分别是点电荷、和到场点的距离（可在具体坐标系中表示出来）。5、接地无限大导体平面上半空间有一点电荷，电荷量为1，距导体平面为h。（1）导出电位函数满足的方程并应用镜像法求出位函数的解。（2）求导体表面上感应面电荷密度，并证明总感应电荷为1。解：（1）由题意知，导体平面上半空间无点电荷体分布，即。故电位函数满足拉普拉斯方程 。建立坐标系，令为导体平面，已知点电荷位于轴上，坐标为（0，0，）。边界条件为： 。则镜像电荷位于轴上（0，0，【坐标为（），】的电位为已知点电荷1与镜像电荷-1共同产生的，其值为。其中是场点分别到已知点电荷1与镜像电荷-1的距离，其值分别为。（2）证明：由上题电位

4、值可计算出点的电场强度各分量的值份分别为由静电场的边界条件，可得导体表面的电荷面密度为：所以导体表面上总感应电荷为： ，结论得证。6、如题图（）所示，在的下半空间是介电常数为的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为处有一点电荷。求（1）和的两个半空间内的电位；（2）介质表面的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷。解：（1）在点电荷的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（）、（）所示），位于，位于上半空间内的电位由点电荷和镜像电荷共同产生，即下半空间内的电位由点电荷和镜像电荷共同产生，即（2）由于分界

5、面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为极化电荷总电量为7、如图示，一个半径为的导体球带有电荷量为，在球体外距离球心为处有一个点电荷。（1）求点电荷与导体球之间的静电力；（2）证明当与同号，且成立时，表现为吸引力。 解：（1）导体球上除带有电荷量之外，点电荷还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜像法，像电荷和的大小和位置分别为（如题图所示），导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效。故点电荷受到的静电力为（2）当与同号，且表现为吸引力，即时，则应有由此可得出8、已知一点电荷与无穷大导体平面相距为，若把它移动到无穷远处需要作多少功？解：建立一维直角坐标系，坐标原点位于无穷大导体平面

6、上。令已知点电荷位于坐标轴上，距坐标原点为。直接计算电场力做功为其中电场是已知点电荷所在空间的电场（由以外的电荷所激发），即镜像电荷在此空间产生的电场：则要求的功为可见，电场力做负功，则外力克服电场力做功为9、无限大导体平面上方有一电荷线密度为的长直线电荷，电荷线与导体平面的距离为，求此电荷线单位长度所受的力。解：由于连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理可知，同样可以应用点电荷的平面镜像法求解。因此，长直线电荷的镜像电荷为线密度为，距离导体平面为的电荷。已知线电荷所受的力即镜像电荷在此空间产生的电场所施加。其电场为则长度为的线电荷（总电荷）所受的电场力为故单位长度所受的力为：10、一导体长槽两侧壁向方向无限延伸且电位为零，槽底面电位为，如图所示。求槽横截面内的电位分布。解：由于所求区域无源，且为二维场，电位函数满足的拉普拉斯方程为：边界条件为：利用分离变量法，令：则得：根据边界条件，的通解可写为：再由边界条件，可得利用三角函数的正交归一性，求得为：则得槽内的电位分布为11、如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘