数列与不等式证明方法归纳解析版

1、共归纳了五大类，16种放缩技巧，30道典型例题及解析，供日后学习使用。1、 数列求和（1） 放缩成等比数列再求和（2） 放缩成差比数列再错位相减求和（3） 放缩成可裂项相消再求和（4） 数列和比大小可比较单项2、 公式、定理（1） 利用均值不等式（2） 利用二项式定理（3） 利用不动点定理（4） 利用二次函数性质3、 累加、累乘（1） 累加法（2） 利用类等比数列累乘4、 证明不等式常用方法（1） 反证法（2） 数学归纳法及利用数学归纳法结论5、 其它方法（1） 构造新数列（2） 看到“指数的指数”取对数（3） 将递推等式化为递推不等式（4） 符号不同分项放缩一、数列求和（1）放缩成等比数列再

2、求和典例1已知数列，。（）求证：当时：；（）记，求证。解析（）令，得（*）；又，两式相减得，即与同号（*）；由（*）、（*）得；（）令，得；由（）得单调递减，即；所以；即。典例2已知数列满足，。（）求的通项公式；（）设的前项和为，求证：。解析（）由得，即；所以是公比为的等比数列，首项为，所以，即；（）由（）得；所以典例3设数列满足，。（）证明：；（）求正整数，使最小。解析（）因为，且，即数列递增，所以，则，累加得，即，即；（）由（）得，且；累加得；即，所以；所以正整数，使得最小。（2） 放缩成差比数列再错位相减求和典例1已知数列满足：，求证：。解析因为，所以与同号；又因为，所以，即，即，所以数

3、列为递增数列，所以，即；累加得：；令，所以，两式相减得：，所以，所以；故得。典例2已知数列与其前项和满足。（）求数列的通项公式；（）证明：。解析（）设公差为，所以，解得，所以；因为，所以，两式相减得；将代入原等式，解得，所以；（）由（）得，所以（糖水原理）；所以，有错位相减法得，所以，。（3） 放缩成可裂项相消再求和典例1已知。求证：。解析即证；因为；所以；即证；记，下证；因为；所以，即原不等式成立。典例2已知数列满足，。（）求证：是等比数列；（）求证：。解析（）因为，两式相减得；所以，是公比为3的等比数列；（）由（）得；因为；所以典例3设是数列前项之积，满足，。（）求数列的通项公式；（）设，

4、求证：。解析（）因为，所以，即，所以是公差为1的等差数列，首项为2，所以，即，所以；（）设，因为，即是递增数列，所以，即不等式左端成立；又因为，即不等式右端成立；综上，。（4） 数列和比大小可比较单项典例1已知数列满足，。（）求的通项公式；（）设的前项和为，求证：。解析（）由得，即；所以是公比为的等比数列，首项为，所以，即；（）设为数列的前项和，；所以，要证，只需证，即；即，显然成立；所以，从而。典例2已知，圆：与轴正半轴的焦点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为。对，证明：（）；（）若，则。解析（）由点在曲线上可得，又点在圆上，则，从而的方程为，由点在上得：，将代入化简得，则；（）原不等式化

5、为，将不等式左右两端分别看成数列、的前项和，则只需证，即；因为，故，所以有；又因为当时，有，即，即，即；因为，所以，所以有；综上，即二、公式、定理（1）利用均值不等式典例数列定义如下：，。证明：（）；（）；（）。解析（）由，得；（）因为，所以，累乘得；（）先证；由，得，即；累加得，即不等式左端成立再证；因为，所以只需证，即；因为，即；所以，即不等式右端成立；综上，。（2）利用二项式定理典例已知数列满足：，。（）求数列的通项公式；（）设，证明：。解析（）设即与比较系数得，即又，故是首项为公比为的等比数列，故；（）即证，当时显然成立。易验证当且仅当时，等号成立；设下面先研究其单调性；当时，；所以，

6、所以；即数列是递减数列；因为，故只须证，即证；因为故上不等式成立；综上，原不等式成立。（3） 利用不动点定理求数列通项典例1已知函数，数列满足，。（）求的取值范围，使对任意的正整数，都有；（）若，求证：，解析（）因为（*），即，解得，所以；下证：时，恒有。因为，且，即与同号，所以恒有，由（*）得；综上，；（）由不动点定点得与均是以为公比的等比数列；所以，所以，即不等式左端成立；又因为；累乘得，即不等式右端成立；综上，典例2已知函数，数列满足，。（）求的实数解；（）是否存在实数，使得对所有的都成立？证明你的结论；（）设数列的前项和为，证明：。解析（），；（）由（）及不动点定理得是以为首项，为公比

7、的等比数列；所以，显然，所以取奇数时有，取偶数时有，即存在实数，使得对所有的都成立；（）由（）得；先证；只需证（为奇数），即，即；因为为奇数，上述不等式化为；因为；所以，成立，即不等式左端成立；再证；只需证，由（）得为偶数时，成立；为奇数时，即为奇数时，成立；所以，成立，即不等式右端成立；综上，。（4） 利用二次函数性质典例在正项数列中，为的前项和，且（）比较与的大小；（）令，数列的前项和为。解析（）令，则有，所以，即，所以；（），所以，。三、累加、累乘（1）累加法典例1已知数列，。（）求证：当时：；（）记，求证：。解析（）令，得（*）；又，两式相减得，即与同号（*）；由（*）、（*）得；（）

8、因为，所以累加得；即，即。典例2已知，数列的首项，。（）求证：；（）求证：，。解析（），所以；因为，所以，所以；（）由递推关系可得，；所以（*）；又，得，即；所以（*）；结合（*）、（*），得，。典例3已知数列满足=且=-（）（）证明：1（）；（）设数列的前项和为，证明（）.解析（）因为，所以，即数列递减，所以；又因为，即与同号，所以；所以，即；（）因为，累加得；原不等式化为，即，即，即；因为，即；又因为，所以，即，累加得，所以，即，所以。（2） 利用类等比数列累乘典例1设，给定数列，其中，。求证：。解析因为，所以；累乘得，即。典例2已知数列满足：，且，设。（）比较和的大小；（）求证：；（）设

9、为数列的前项和，求证：。解析（）因为，所以；（）因为，所以，即；因为，所以，即；故；（）由（）中可知，且，所以；又因为，所以，累乘得；所以，即原不等式成立。典例3已知函数，数列(0)的第一项1，以后各项按如下方式取定：曲线在处的切线与经过（0，0）和（）两点的直线平行（如图）求证：当时，（）；（）。解析（）证明：因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以.（）因为函数当时单调递增；而；所以，即因此又因为令则因为所以因此故典例4设数列满足，其中。证明：（）；（）。解析（）因为，所以与同号，因为，所以；所以，累乘得，即；（）由（）得；所以，即原不等式成立。四、证明不等式常用方法（1）反

10、证法典例1设，给定数列，其中，。求证：（），；（）如果，那么当时，必有。解析（）用数学归纳法可证；因为，所以；即；（）反证法：若当时，有；因为，且由（）得单调递减；所以，即，与假设矛盾，所以当时，必有。典例2已知数列的各项均为非负数，其前项和为，且对任意的，都有，且。求证：。解析先用反证法证明；若当且仅当时，有；令，则有，因而与矛盾，假设不成立；若当时，有；令，则有，再令，则有，因而与矛盾，假设不成立；若当时有，则，且由题意得，当时，因而与矛盾，假设不成立；结合上述得，假设不成立，原命题成立，即；再用反证法证明；若存在时，有，即；由题意得，所以；累加得；所以当时，有，因而与矛盾；假设不成立，原

11、命题成立，即；综上，。（2）数学归纳法及利用数学归纳法结论典例设数列满足，证明对：（）；（）。解析（）数学归纳法：令，命题成立；假设时，命题成立，即；令，成立；由得，；（）由（）中数学归纳法中间步骤得，即；所以五、其它方法（1）构造新数列典例设数列满足，为的前项和。证明：对，（）当时，；（）当时，；（）当时，。解析（）由于（*）；又由于，即，即与同号，且，所以（*）；结合（*）、（*），得时，有；（）因为，且，所以，即是单调递增数列；由（）得；所以；（）由（）得，所以，所以，即不等式右端成立；令，由（）（）得；由，可得；从而；又，故，即；注意到；故；即，即，即不等式左端成立；综上，当时，有。（2） 看到“指数的指数”取对数典例已知数列满足：，。证明：。解析先证；因为；两边取以2为底的对数，得，即；累乘得，所以，即不等式左端成立；再证；因为，所以；所以，即；两边取以3为底的对数，得，即；累乘得，所以，即不等式右端成立；综上，。（3）将递推等式化为递推不等式典例1已知数列满足：，。（）求证：；（）求证：；（）若，求正整数的最小值。解析（）由于，且，所以；（）由（）得，所以，即；累加得，所以，即，即；（）取最小值时，有，；所以，即；所以，即；累加得，所以，即，即；由（）得，所以当时，有，所以最小值为2