宏观经济学分析方法系列课堂放映版11硕已讲拓扑空间不动点定理

1、=附录：宏观经济学分析方法：不动点定理（09、10、11硕已讲，2009年01月21日，精细订正）我们开始讨论不动点定理，那么什么是不动点定理？所谓不动点，就是使方程有解的点，这里可以是单变量函数，也可以是度量空间到自身上的映射。因为点是在的映射下固定不变的点，我们称为不动点。所谓不动点定理就是描述方程的解的存在条件的定理。不动点的存在性问题就称为不动点问题，不动点定理由此得名。有许多不同的不动点定理。其中一些是构造性的，但大多数不是构造性的，例如，最著名的布劳威尔不动点定理就不是构造性的，布劳威尔不动点理只告诉我们不动点是存在的，但没有说明寻找不动点的方法。在数学中，有许多类似描述解的存在性

2、定理，其中最著名的就是代数基本定理和微积分中的各种中值定理，正如我们已经看到的一样，这样的存在性定理在理论上和实际应用中都是非常重要的。设想使用计算机去寻找近似解，如果我们知道解是存在的，我们就不会无的放矢。（不讲，跳过）事实上，不动点问题是普遍存在的，我们知道的许多问题都可以转化为不动点问题。例如：设是一个映射，我们欲解方程，其中。这个问题就等价于不动点方程 或 ；更一般地，等价于，式中满足，当且仅当。我们将介绍三个重要的不动点定理：巴拿赫（Banach）不动点定理，布劳威尔（Brouwer）不动点定理和角谷（Kakutani）不动点定理。一、压缩映射与巴拿赫不动点定理我们首先介绍巴拿赫不动

3、点定理，这个定理也称为压缩映射原理。这是一构造性定理，定理的证明提供一个构造不动点的方法，这个方法称为逐次逼近法（即迭代法）。在介绍巴拿赫不动点定理之前，先引进压缩映射的概念。定义16.26 设是度量空间，是一个映射，如果对任意，有 （16-14）其中，我们说满足李普希茨（Lipschitz）条件，并称为为压缩映射，称为压缩常数。虽然，压缩映射是连续的，对于压缩映射我们有：定理16.23（巴拿赫不动点定理） 设是完备度量空间，是一个压缩映射，则在上存在唯一的不动点，任取，并令，有（1），（2），其中，是压缩常数。证明：先证明唯一性：设是的两个不动点，即是压缩映射。由于，故，从而再证明存在性：任

4、取，取（这就是递推式！），根据李普希茨条件，有因此，对于任何正整数时，由三角不等式及李普希茨条件，得其中，当且仅当时取，所以为非零定数，且，当时，故是柯西序列，满足柯西收敛准则，由于是完备空间，存在，使得，由连续性得，于是故。这就证明了不动点的存在性。在不等式中，令，即证得（1）中的估计式。例16-25 设存在，且，则根据微分中值定理，我们得是区间上的压缩映射，所以在区间上有不动点。例16-26 考虑非线性积分方程 （16-15）其中，应用压缩映射原理，证明积分方程（16-15）存在唯一的实值连续函数解证明 在连续函数空间上，取距离为则是一个完备度量空间，定义映射由于，有设，于是于是，左边取最

5、大值，得，故是压缩映射。由压缩映射原理，存在唯一的不动点，使得，即积分方程（16-15）有唯一解。巴拿赫不动点定理的应用是非常广泛的，它可以很容易地导出非线性常微分方程解的存在唯一性定理，也可以导出隐函数定理。下面两个例子说明定理的条件不满足时，结论不成立。例16-27 设是实数空间的子空间，易见，是连续的，满足，并且没有不动点。例16-28 设是实数空间的子空间，显然是压缩映射，但没有不动点。（想一想，为什么？）二、布劳威尔不动点定理布劳威尔不动点定理是现代数学中最重要的结果之一。它的叙述简单，但证明却很困难，直观上，任何人都能理解布劳威尔不动点定理的结论，其证明通常需要在研究生的课程代数拓

6、扑中介绍。布劳威尔不动点定理在数学的许多分支中有大量的应用。例如：它是常微分方程理论中的基本工具，它在无限维空间上的推广肖德（Schauder）定理被用于偏微分方程和积分方程领域中，建立了许多重要的结果。在经济学领域，著名诺贝尔奖获得者纳什就是因为用布劳威尔不动点定理证明了多人非合作对策的基本定理而获奖的。现在我们叙述布劳威尔不动点定理。定理16.24（布劳威尔不动点定理） 设是维单位球到自身的连续映射，则至少存在中的一点，使得换句话说，中的单位球到自身的连续映射必有一个不动点，用我们日常的通俗语言解释是：设想有一杯牛奶放在桌子上，轻轻地、连续地转动几下杯子使牛奶在杯中运动。当牛奶停止运动后，

7、牛奶中至少有一点恰好回到它原来所在杯中的位置。对于的情形，布劳威尔不动点定理为：如果是区间上的连续函数，且满足，则存在，使得. 此时，对函数利用连续函数零点定理易证。参见图16-8.必须注意，我们用到了所有的假设条件，如果有条件不满足，则定理不成立，例如：函数在区间上没有不动点，这里不成立；另外设分段定义函数，且，则也没有不动点，这时不连续。对于的情形，布劳威尔不动点定理成为：单位圆盘上到自身的连续映射，必有一点，其映象为自己。同样，如果有条件不满足，则定理不成立，还有一点需要注意，如果把换成其他区域，定理也可能不成立。例如：在圆环上，绕原点旋转角度的旋转映射没有不动点，如图16-9.布劳威尔

8、不动点定理的证明方法有很多，大都需要代数拓扑或微分形式的结论。我们将介绍一个初等的证明，在给出劳威尔不动点定理的证明之前，先作一些说明。设是一个度量空间，如果任意到自身的连续映射均有不动点，则称具有不动点性质，我们有引理16.3 设与同胚，则如果具有不动点性质，那么也具有不动点性质。证明 设是同胚映射，且具有不动点性质，如果是到其自身的连续映射，那么是到自身的连续映射，见下面交换图表。依假设，存在，使得，即令，则有，即也具有不动点性质。根据定理16.14，中的任意凸体与某一个同胚。因此，如果布劳威尔不动点定理成立，则中的任意凸体具有不动点性质。事实上，我们将对一类特殊的凸体证明其具有不动点性质

9、，从而证明布劳威尔不动点定理。设中个点是几何无关的，即线性无关，我们称的子集为一个维单形，记作；常数称为点x的重心坐标，点称为单形的顶点。根据定义，容易证明，单形中任意一点重心坐标是唯一的；任意单形都是凸体。以单形的部分顶点定义的维单形称为的一个维面。易见，如果，则的重心坐标满足， （16-16）所以当时，维面中的点都是单形的边界点。显然，一个维单形有个不同的维面。依定义可见，一维单形是线段，二维单形是三角形，三维单形是四面体，如图16-10所示，从定理16.14的证明中，可以看出维单形与同胚，我们将证明布劳威尔不动点定理的一个简单形式。定理16.25 任意单形具有不动点性质。以下的讨论都是在

10、给定维单形内进行的，设是到自身的连续映射，我们用表示的重心坐标。引理16.4 是的不动点，当且仅当 （16-17）证明 如果是不动点，则，于是和有相同的重心坐标，即， （16-18）显然不等式（16-17）成立；反之，如果不等式（16-17）成立，则由于对任意，有 （16-19）即得式（16-18）也成立。根据引理16.4，我们证明定理16.25的思路是：假设没有不动点，即任意点都是的动点，不满足不等式（16-17），然后找到一点满足不等式（16-17），矛盾，由此证明不动点定理成立。为此需要研究动点重心坐标的性质。设是一动点，即，则依等式（16-19），存在，使得。我们定义映射在处的指数是满

11、足重心坐标严格不等式的最小下标，即 （16-20）引理16.5 如果是维面中的点，则有此时，我们说指数满足边界条件。证明 由式（16-16），当时，有，故根据指数的定义，只能取其中之一，图16-11是的情形。下面考察单形的重分。对于任意正整数和非负整数，满足取点这样我们得到个点，由这些点为顶点可以得以个大小相同的维小单形，这些小单形只可能在它们的边界上相交，它们就像细胞一样，一个紧贴一个，组成整个单形，因此我们称这些小单形为单形的胞腔。如图16-12，这是的情形。设单形的直径是d，在的n重分中，每个胞腔的直径是，即当，胞腔的直径趋于零。现在我们来做一个填数字的游戏：对于的重分中每个顶点，从中选

12、一个数字，填在该点上，称为的指数，记作.对于已经定义指数的单形，如果某一胞腔在其个顶点处的指数取遍所有数字，那么就称这个胞腔是全指数的。如图16-13所示，阴影胞腔是全指数的。一般来说，全指数胞腔不一定存在，但上面引理16.5中定义的边界条件下，全指数胞腔一定存在，这就是斯潘纳（Sperner）引理。引理16.6（斯潘纳引理） 设是维单形，重分；并且表示在中所有顶点上的指数，满足条件：如果，有则存在一个全指数胞腔。证明 事实上，我们将证明全指数胞腔的个数是奇数。我们称中任意一个胞腔的每个维面为维子胞腔。如果是一个维子胞腔，其个顶点的指数分别是，则称的类型为，记作这里不考虑的顺序，需要考虑某一值

13、重数。例如：我们用表示中类型为的维子胞腔的个数，我们要证：=奇数.当时，一维胞腔的面是其端点。设是珍上一维胞腔，如果的类型是（0,0），则其两个端点的指数均是0；如果的类型是（0,1），则一个端点的指数是0，另一个端点的指数是1；如果的类型是，则两个端点的指数均是。因此，表示指数为零的顶点出现在所有胞腔中总的次数。但如果指数为零的顶点是单形的内点，则该顶点恰是两个胞腔的端点，即出现两次；如果是的边界点，则只出现在一个胞腔中，即出现一次，边界只有一个指数为零，故 （16-21）式中表示指数为零的内部顶点个数。这说明是奇数。图16-14是一个5重分的例子，这里，满足式（16-21），故全指数胞腔有

14、三个（用粗线段表示）。下面考察一般情形，如果胞腔的类型是，其中，则它有两个类型为的面：如果的类型是，则它有一个类型为的面。因此，表示类型为的子胞腔在所有胞腔中出现的次数总和。如果在的内部，则它是两个胞腔的面：如果在的边界，则它只是一个胞腔的面，故式中表示类型为的内部子胞腔的个数，表示类型为的边界子胞腔的个数。根据边界条件，类型为的边界子胞腔只能出现在内。由此利用归纳法原理，可得是奇数，故也是奇数。现在我们可以证明布劳威尔不动点定理。布劳威尔不动点定理的证明 设是单形到自身的连续映射，且没有不动点，则对于任意，则式（16-20）定义的指数是有意义的，并且满足边界条件，根据斯潘纳定理，对于任意整数

15、，在的重分中存在一个胞腔是全指数胞腔，设其顶点为，满足由指数的定义，我们知道：，（16-22）并且由于当时，胞腔的直径是趋于零的，故 （16-23）考察序列，由于是紧集，存在收敛子列，由式（16-23）得，由连续性，得，注意x的重心坐标是点x的连续函数，由此在不等式（16-22）中，取，并令，得关于坐标的不等式故由引理16.4得，我们完成了布劳威尔不动点定理的证明。三、角谷不动点定理许多经济学家都引用过角谷不动点定理，但角谷不动点定理对我们来说是全新的，这里由于它涉及的对象不是通常的映射，而是一种被称为集值映射的对应。定义16.27 设和为任意集合，如果对每个，总有一个确定的非空子集合与之对应

16、，则称为从到的集值映射，记作一个直观的例子是，对某个学校的每一个学生表示由知道姓名的人组成的集合。在经济学中集值映射是非常重要的概念。许多问题的解往往不止一个，因此经济学家必须讨论集值映射而不是函数，我们以前讨论的映射都是集值映射的特例。设集值映射，则的子集合称为的图像，如图16-15。另一方面，中的每个子集确定了一个关系：如果对于每一个是到的一个集值映射。为了讨论不动点的存在性，我们必须讨论集值映射的连续性。直观上说，连续是指当在一个很小的范围内变化，因变量集合也应该在很小的范围内变化，我们用距离来描述远近和范围，因此在下面的讨论中均假设和是度量空间。定义16.28 设是集值映射，如果对于中

17、任意收敛于的序列，当，且收敛于时，则有，我们就称在处上半连续；如果在每个处都是上半连续的，则称集值映射是上半连续的。根据定义，容易证明集值映射是上半连续的当且仅当其图像是的闭集，上半连续可以看作是函数连续概念的推广。事实上，如果是单值映射，且是紧集，则连续的充分必要条件是其图像的闭集，必要性是显然的，下面我们证明充分性，设是的闭集，任给和收敛于的序列，令，且，则是中的序列，由于是紧集，存在一收敛子列，设其收敛点为，于是收敛于，依照设，故同理，可得的任意收敛子列都收敛于，因此收敛于故是连续的。要注意：当不是紧集时，图像为闭集的函数不一定连续，例如：的图像是中的闭集，但在不连续。现在我们可以叙述角

18、谷不动点定理。定理16.26（角谷不动点定理） 设是凸集，集值映射是上半连续的，并且对每个，集值是凸集，则存在，使得。证明 我们首先证明当是中的维单形的情形。设，在其重分上定义映射如下：当是任意胞腔的顶点时，取等于中的一点；如果不是任何胞腔的顶点，而是某一胞腔中的点，设其重心坐标是()，即记，定义 （16-25）注意，当在两个胞腔的公共面时，由两个胞腔定义的是一致的，因此是映射，显然，在每个胞腔上是连续的，依粘接定理得是X上的连续映射。根据布劳威尔定理，存在，使得 （16-26）如果恰好是一个顶，则由的定义，有；当不是顶点时，设其满足式（1624）和式（1625），考察下列序列.由博尔查诺一魏尔斯特拉斯定理，存在收剑子列，设当时，有则由式（16-26）及式（16-25），得 （16-27）由于胞腔是收缩到一点的，所以当时，.注意，且收敛于，而是上半连续的，故即依假设，是凸集，由式（16-27），得至此，我们证明了当