向量组与线性方程组

1、一. 本章的基本要求与重点、难点熟练掌握向量的线性组合、线性表示，深刻理解向量组的线性相关性的概念，掌握向量组的线性相关性的判定方法、最大无关组及秩的性质. 熟练掌握齐次及非齐次线性方程组的求解方法. 理解基础解系的概念. 牢记解的结构及解的存在性判定定理.重点：线性相关性的判定; 方程组的求解.难点：线性相关性与向量空间的概念; 通解的建立过程.二. 本章重要定义、性质、定理及注释1. 向量间的线性关系（1）线性组合：对于给定的向量，如果存在一组数使关系式 成立，则称向量是向量组的一个线性组合，或称向量可由向量组线性表示. 由矩阵的运算知：非齐次线性方程组是否有解，相当于向量是否可由矩阵的列

2、向量组线性表示. 注意：任何一个维向量都可由维基本单位向量组（阶单位矩阵的个行向量）线性表示，且：.（2）线性相关与线性无关：设是一组维向量，如果存在一组不全为零的数，使 成立，则称向量组线性相关；如果上式仅当时成立，则称向量组线性无关. 齐次线性方程组是否有非零解，相当于的列向量组是否线性相关.几个常用结论： 单个非零向量是线性无关的； 含有零向量的向量组一定线性相关； 基本单位向量组一定线性无关； 两个向量组成的向量组线性相关的充要条件是：对应元素成比例.2. 向量组的秩和矩阵的秩（1）极（最）大线性无关组：设是一个维向量组，如果向量组中有个向量线性无关，且向量组中任何个向量线性相关，则这

3、个线性无关的向量就称为向量组的一个极（最）大线性无关组.相关结论：若是向量组的线性无关部分组，则它是极大线性无关组的充要条件是：向量组中每一个向量都可由线性表示.若向量组线性无关，则自身就是极大线性无关组. （2）向量组的等价性：设有向量组（A）：和向量组（B）：，如果向量组（A）的每个向量都可由向量组（B）线性表示，则称向量组（A）可由向量组（B）线性表示.如果向量组（A）和向量组（B）可以相互线性表示，则称向量组（A）和（B）等价. 向量组的等价具有：反身性、对称性、传递性. 几个常用结论： 任一向量组和它的极大线性无关组等价； 向量组的任意两个极大线性无关组等价； 两个等价的线性无关向量

4、组所含的向量个数相同； 向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相同. （3）向量组的秩：向量组的任一极大线性无关组所含的向量个数称为该向量组的秩.记为： 秩（），或.若向量组只含零向量，则规定它的秩为零. （4）矩阵的秩：设，则有矩阵的行向量组的秩和列向量组的秩相等. 矩阵的行秩和列秩统称为矩阵 ，或.几个常用结论： 对于矩阵，有：当时，的行向量组线性无关，此时称行满秩；当时，的列向量组线性无关，此时称列满秩； 矩阵的初等行（列）变换不改变矩阵的秩，且不改变其列（行）向量间的线性关系； 求向量组的秩可转化为求矩阵行（列）向量组的秩，可用初等变换求秩；3. 重要定理与公式定理1、向量组线性

5、相关的充分必要条件为：向量组中至少有一向量可由其余的个向量线性表示. 定理2、若线性无关，而线性相关，则可由向量组线性表示，且表示法唯一. 定理3、若线性相关，则线性相关. 定理4、若线性无关，则无论如何扩充向量组各向量的分量，所得的向量组仍线性无关. 定理5、若向量组中向量的个数大于向量的维数，则向量组线性相关.定理6、个维向量线性无关的充分必要条件为：由向量组构成的矩阵的行列式不等于零.定理7、矩阵的秩等于矩阵行（列）向量组的秩.定理8、向量组的任意一个极大线性无关组与向量组本身是等价的.定理9、两个等价的线性无关组所含的向量个数相等.定理10、两个等价的向量组具有相同的秩.定理11、设有

6、两个向量组；，若向量组可由向量组线性表示，线性无关，则. 定理12 、若维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关. 4. 线性方程组解的判定（1）齐次线性方程组：该方程组一定有解（至少有零解）， 当 时，有唯一解（只有零解）；当 时，有非零解，且有个线性无关的解向量.（2）非齐次线性方程组：当 时，方程组无解；当 时，方程组有解. 并当时，有唯一解；当时，有无穷多解；5. 两类方程组解的关系：有唯一解 只有零解；有无穷多解有非零解；6. 线性方程组解的性质（1）如果是的解，则也是的解；（2）如果是的解，则对于任意常数，也是的解；由（1）、（2）知：的所有解向量组成的维向量集合构成一个向量空间

7、，称为方程组的解空间，记为.（3）如果是的一个解，是的一个解，则是的解；（4）如果是的两个解，则是的解；（5）如果是的个解，常数，满足：，则仍是的解；7. 线性方程组解的结构（1）齐次线性方程组解的结构：若是的个线性无关解，而的任何一个解均可表示为的线性组合，则称为的一个基础解系. 即：方程组的基础解系就是方程组的解空间的基. 方程组解空间的基就称为方程组的基础解系. 若，则的基础解系包含个线性无关的解向量，即：方程组解空间的维数为：.若为的一个基础解系，则的通解为：， 其中：为任意常数.注：的基础解系的求法，通过例题说明. （2）非齐次线性方程组解的结构：非齐次线性方程组有解时，其任意一个解

8、，均可表示为的一个特解与的某个解之和. 当非齐次线性方程组有无穷多个解时，它的通解可表示为：. 其中为的一个特解，为任意常数，为的一个基础解系.三. 题型分析题型1 向量组线性相关性的判定解题思路(1) 利用定义判别: 这是判别向量组线性相关性的基本方法, 既适用于分量没有具体给出的抽象向量组, 又适用于分量已具体给出的向量组.(2) 利用矩阵的秩判别: 设有个维列向量,记, 则可用矩阵的秩判别向量组的线性相关性. 当时, 向量组线性无关; 当时,向量组线性相关.(3) 利用行列式判别: 设有个维列向量, 记, 为方阵, 则可用的行列式值判别向量组的线性相关性. 当时, 向量组线性无关; 当时

9、,向量组线性相关. (4) 转化为齐次线性方程组的解向量进行判别: 若为的解向量, 且向量的个数大于基础解系所含向量的个数, 则此向量组线性相关.设,（1）问为何值时, 线性无关？（2）为何值时, 线性相关？（3）当 线性相关时, 将 表示为 的线性组合. 解（法一）设有使 即 ： ，该方程组的系数行列式（1）即：时，方程组有非零解， 故 线性相关.（2） 即：时，方程组只有零解， 故 线性无关.（3） 时，设 即有： （法二）记时，线性相关.时，线性无关. 其它同法一.（法三），时，线性相关，时，线性无关.其它同法一.设向量组 线性相关, 线性无关, 问：（1）能否由 线性表出？证明结论.

10、（2）能否由 线性表出？证明结论. 解（1）能由 线性表出证一因线性相关, 所以存在不全为零的数, 使若 , 则 不全为零, 由 知 线性相关, 于是 线性相关, 这与已知矛盾,故 . 这样, 就有。证二由 线性无关知, 必有 线性无关, 又 线性相关, 所以 为 的极大无关组, 故 能由 线性表出. （2）不能由 线性表出证（反证）能由 线性表出, 即有,由（1）又有, 将之代入上式得即 能由 线性表出, 所以 线性相关, 这与已知矛盾. 故 不能由 线性表出. 试证：向量组线性无关的充要条件是向量组线性无关. 证法一必要性：设有数, 使则有.由线性无关知, 仅有即仅有, 于是线性无关. 充

11、分性：设有数使 则有因线性无关, 所以仅有即得, 故线性无关.例3.2.5 已知, , , , , （1）为何值时, 不能表成的线性组合？ （2）为何值时, 有的唯一线性表达式？并写出该表达式？ 解 设, 则能否表成的线性组合, 转化为上述方程组是否有解的问题, 由所以当时, 不能表成的线性组合. 当时, 表式唯一, 且题型3 求向量组的极大线性无关组与秩解题思路: 初等行变换法： 将向量组中的各向量作为矩阵的各列; 对进行初等行变换, 注意仅作初等行变换; 化为行阶梯形, 在每一阶梯中取一列为代表, 则所得向量组即为原向量组的极大线性无关组. 用初等行变换法求极大线性无关组是最基本的方法.判

12、别向量组的线性相关性, 求一个极大无关组和向量组的秩, 并将其余向量用该极大无关组线性表示：, , , , .解作因而秩向量个数5, 故线性相关, 又所以为的一个极大无关组, 且有,.例求矩阵的列向量组的一个最大无关组:，所以第1、2、3列构成一个最大无关组题型4 线性方程组求解解题思路:初等行变换法对方程组的增广矩阵施行初等行变换, 将其化为行阶梯形矩阵, 然后根据方程组系数矩阵与增广矩阵的秩的情况判断方程组是否有解? 以及有解时求出方程组的通解; 如果所求线性方程组含有待定参数, 还要进一步讨论参数方程组解的情况.初等行变换法是求解线性方程组的最一般方法, 而克莱姆法则只在特殊情况下才使用.例求下列齐次线性方程组的基础解系:(1) (2)解(1)所以原方程组等价于取得取得因此基础解系为(2) 所以原方程组等价于取得取得因此基础解系为例4.2求方程组的一般解：解（1）对增广阵作初