同济高等数学第六版上册

1、同济高等数学第六版上册2222,( ),(),.d yddydfyfxdxdx dxdx 3333,( ),d yd fyfxdxdx 同理二阶导数的导数称为三阶导数同理二阶导数的导数称为三阶导数. . 记为记为 函数函数 y =(x) 的导数的导数 仍仍 x 是的函数是的函数. 若若 在点在点 x 处仍可导处仍可导, 则称则称 在在 x 处的导数为函数处的导数为函数 y =(x) 在在 x 处处的二阶导数的二阶导数 . 记为记为( )fx( )fx( )fx一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数. .记为记为44(4)(4)44,(),d y

2、dfyfxdxdx0()( ) ( )limxfxxfxfxx 即即(1)(1)( )0()( )( )limnnnxfxxfxfxx ()(1)nnyy 定义定义1 一般地一般地,如果函数如果函数 y =(x)的的n-1 阶导数仍可导时阶导数仍可导时, 则函数则函数 y =(x)的的 n 1阶导数的导数称为函数阶导数的导数称为函数 y =(x)的的n 阶阶导数导数, 即即( )( ) ,( ),.nnnnnnd y d fyfxdxdx并记为并记为(0)( )( )f xfx 注注1 二阶和二阶以上的导数为高阶导数二阶和二阶以上的导数为高阶导数. .为了方便为了方便, , 记记注注2 求高阶

3、导数就是逐阶求导数求高阶导数就是逐阶求导数, 一般可通过从低阶导数一般可通过从低阶导数找规律找规律, 得到函数的得到函数的n 阶导数阶导数.二、高阶导数求法举例二、高阶导数求法举例1.1.直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.2 9102, yxx 解解1810yx ( )0(4)nyn 例例1 求函数求函数323526yxxx 的各阶导数：的各阶导数：18,y 例例2 求函数求函数(ln)yfx 的二阶导数：的二阶导数：(ln ) (ln ) yfxx 解解(ln )fxx 2 (ln )(ln )( )x fxfx xyx 12 (1) (), (

4、)(1 , ),xxxx 解解( )()(1)(1)nnxnx 例例3 求下列函数的求下列函数的 n 阶导数阶导数：(1)() (2)(01)xyxRyaa (3)ln(1)yx (4) sinyx ( )(1)( )! , ( )0nnnnxnx 特别地特别地2(ln ) (ln )(ln )x fxxfxx 2(ln )(ln )fxfxx 2(2) ()ln , ()ln,xxxxaaaaaa 21,(1)yx 1 1yx ，(3)32!,(1)yx (4)43!,(1)yx ( )()lnxnxnaaa ( )1(1)!( )( 1)(1)nnnnyx ( )()xnxee 特别地特别

5、地( )1(1)!(ln )( 1)nnnnxx 特别地特别地(4) (sin)cossin()2xxx (sin)sin(3),2xx (sin)sin()2xx ( )(sin )sin()2nxxn cos()sin(2)22xx ( )(cos )cos()2nxxn 同理可得同理可得【分析】注意对于抽象函数求高阶导数【分析】注意对于抽象函数求高阶导数, 往采用递推法往采用递推法.2( ) ( )fxf x 解解22( ) ( ) ( )( )fxf xf xfx24( )2 3 ( )( )3! ( ) ,fxf xfxf x( )1 ( )! ( ) nnfxnf x 故故32 (

6、 )f x2( ) ( )fxf x 例例5 (x)具有任意阶导数具有任意阶导数, 且且 , 则当则当n 是是( )( ). nfx大于大于2的正整数时的正整数时, 求求(x)的的n 阶导数阶导数抽象函数求高阶导数抽象函数求高阶导数 ( )( )dyfxdxf x 解解2222( )( )( )( )d yfx f xfxdxfx 已知已知( ) ( )0, ln ( ), fxf xyf x 存存在在，且且22 .d ydx求求( )( )f xfxe 解解 2( )( )( )( )f xf xfxefxe 2( )3( )( )2( )2f xf xfxefxe ( )1( ) ( )(

7、 1)(1)!nnnf xfxne 故故( )( ),(0)1f xfxef 设设(x)具有任意阶导数具有任意阶导数, 且且 , 则求则求( )(0). nf(4)3( )4( )( )3 2( )3 2,.,f xf xfxefxe 所以所以( )1 (0)( 1)(1)!nnnfne 2( ) ( ) ( )2( ),( ).nyf xfxfxfx 足足求求2 ( )2( ),fxfx 解解223( )2( )2 2 ( )( )2 2( )fxfxf x fxfx 2322( )2 2( )2 23( )( )fxfxfx fx 342 3!( )fx ( )1:( )2!( ).nnn

8、fxn fx 猜想猜想(1)1121() ,1( )2!( ) 2!(1)( )( ) 2(1)!( ) nnnnnnnnnnfxn fxn nfx fxnfx 时时成成立立 条条件件 ；假假设设 成成立立 对对有有成成立立. .2. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则设设 u = u(x), v = v(x)都都 n 阶可导阶可导, 则则()()()()nnnuvuv (1)()()()(nnCuCuC (2) 为常数为常数 )(0)(0)(1)(1),.!knn nnkuu vv Ck ()()()0()nnknkknkuvC uv (3)其中其中 上述的乘积公式称为莱布尼兹公式上述的乘

9、积公式称为莱布尼兹公式.( )sin()2nuxn ( )2,2 ,0(3)nvxvvn 例例6 设设 , , 求求 . .2sinyxx (10)y 解解令令 , 则则2sin,ux vx 由莱布尼兹公式由莱布尼兹公式(10)0(10)(0)1(9)2(8)101010yC uvC u vC u v 210 9sin(10) 10 2 sin(9)2sin(8)2222xxxxx 2sin20cos90sinxxxx 2 2(20,. xyx ey ）设设求求解解 设设22,xuevx则则( )22kkxue 2,vx 2 ,v ( )0kv 代入莱布尼兹公式代入莱布尼兹公式 , 得得(20

10、)202219218220 19220 22222!xxxyexexe 20222(2095)xexx (1, 2 , 20 )k (3 , 20)k 3. .间接法间接法: :利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, , 通过四则运算通过四则运算, , 变量代换等变量代换等方法方法, , 求出求出n 阶导数阶导数. . 常用高阶导数公式常用高阶导数公式:( )(1)()=ln( 0)xnxnaaaa( )()=xnxee( )(2)(sin)=sin(+)2nnkxkkxn( )(3)(cos)=cos(+)2nnkxkkxn( )(4)()= ( -1)( - +1)nnxnx ( )-1(1)!(5)(ln )=(-1)nnnnxx ( )11!( )=(-1)nnnnxx 21.1ynx 求求函函数数的的 阶阶导导数数例例721111()2 111yxxx 因因为为 解解( )11!1( 1)( )(0,1,2,)2 (1)(1)nnnnnynxx 得得 ( )-1(1)!(6)(ln 1